MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znle2 Structured version   Unicode version

Theorem znle2 19123
Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znle2.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znle2.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
znle2.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
Assertion
Ref Expression
znle2  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )

Proof of Theorem znle2
StepHypRef Expression
1 eqid 2422 . . 3  |-  (RSpan ` ring )  =  (RSpan ` ring )
2 eqid 2422 . . 3  |-  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  =  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )
3 znle2.y . . 3  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
4 eqid 2422 . . 3  |-  ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  =  ( ( ZRHom `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )
5 znle2.w . . 3  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
6 znle2.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  Y )
71, 2, 3, 4, 5, 6znle 19106 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( ( ( ZRHom `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  o.  <_  )  o.  `' ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )
) )
81, 2, 3znzrh 19112 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  =  ( ZRHom `  Y ) )
98reseq1d 5123 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) )
10 znle2.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
119, 10syl6eqr 2481 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  =  F )
1211coeq1d 5015 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  o.  <_  )  =  ( F  o.  <_  )
)
1311cnveqd 5029 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  =  `' F )
1412, 13coeq12d 5018 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  o.  <_  )  o.  `' ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )
)  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
157, 14eqtrd 2463 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872   ifcif 3911   {csn 3998   `'ccnv 4852    |` cres 4855    o. ccom 4857   ` cfv 5601  (class class class)co 6306   0cc0 9547    <_ cle 9684   NN0cn0 10877   ZZcz 10945  ..^cfzo 11923   lecple 15197    /.s cqus 15404   ~QG cqg 16813  RSpancrsp 18394  ℤringzring 19038   ZRHomczrh 19070  ℤ/nczn 19073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6598  ax-cnex 9603  ax-resscn 9604  ax-1cn 9605  ax-icn 9606  ax-addcl 9607  ax-addrcl 9608  ax-mulcl 9609  ax-mulrcl 9610  ax-mulcom 9611  ax-addass 9612  ax-mulass 9613  ax-distr 9614  ax-i2m1 9615  ax-1ne0 9616  ax-1rid 9617  ax-rnegex 9618  ax-rrecex 9619  ax-cnre 9620  ax-pre-lttri 9621  ax-pre-lttrn 9622  ax-pre-ltadd 9623  ax-pre-mulgt0 9624  ax-addf 9626  ax-mulf 9627
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6268  df-ov 6309  df-oprab 6310  df-mpt2 6311  df-om 6708  df-1st 6808  df-2nd 6809  df-wrecs 7040  df-recs 7102  df-rdg 7140  df-1o 7194  df-oadd 7198  df-er 7375  df-map 7486  df-en 7582  df-dom 7583  df-sdom 7584  df-fin 7585  df-pnf 9685  df-mnf 9686  df-xr 9687  df-ltxr 9688  df-le 9689  df-sub 9870  df-neg 9871  df-nn 10618  df-2 10676  df-3 10677  df-4 10678  df-5 10679  df-6 10680  df-7 10681  df-8 10682  df-9 10683  df-10 10684  df-n0 10878  df-z 10946  df-dec 11060  df-uz 11168  df-fz 11793  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-mhm 16582  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-subg 16814  df-ghm 16881  df-cmn 17432  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782  df-cring 17783  df-rnghom 17943  df-subrg 18006  df-cnfld 18971  df-zring 19039  df-zrh 19074  df-zn 19077
This theorem is referenced by:  znleval  19124
  Copyright terms: Public domain W3C validator