MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znle2 Structured version   Unicode version

Theorem znle2 17985
Description: The ordering of the ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znle2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znle2.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znle2.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
znle2.l  |-  .<_  =  ( le `  Y )
Assertion
Ref Expression
znle2  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )

Proof of Theorem znle2
StepHypRef Expression
1 eqid 2442 . . 3  |-  (RSpan ` ring )  =  (RSpan ` ring )
2 eqid 2442 . . 3  |-  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  =  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )
3 znle2.y . . 3  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
4 eqid 2442 . . 3  |-  ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  =  ( ( ZRHom `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )
5 znle2.w . . 3  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
6 znle2.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  Y )
71, 2, 3, 4, 5, 6znle 17966 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( ( ( ZRHom `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  o.  <_  )  o.  `' ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )
) )
81, 2, 3znzrh 17974 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  =  ( ZRHom `  Y ) )
98reseq1d 5108 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) )
10 znle2.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
119, 10syl6eqr 2492 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  =  F )
1211coeq1d 5000 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  o.  <_  )  =  ( F  o.  <_  )
)
1311cnveqd 5014 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  `' ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  =  `' F )
1412, 13coeq12d 5003 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )  o.  <_  )  o.  `' ( ( ZRHom `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  |`  W )
)  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
157, 14eqtrd 2474 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  .<_  =  ( ( F  o.  <_  )  o.  `' F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ifcif 3790   {csn 3876   `'ccnv 4838    |` cres 4841    o. ccom 4843   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   0cc0 9281    <_ cle 9418   NN0cn0 10578   ZZcz 10645  ..^cfzo 11547   lecple 14244    /.s cqus 14442   ~QG cqg 15676  RSpancrsp 17251  ℤringzring 17882   ZRHomczrh 17930  ℤ/nczn 17933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-fz 11437  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-0g 14379  df-mnd 15414  df-mhm 15463  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-subg 15677  df-ghm 15744  df-cmn 16278  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-cring 16647  df-rnghom 16805  df-subrg 16862  df-cnfld 17818  df-zring 17883  df-zrh 17934  df-zn 17937
This theorem is referenced by:  znleval  17986
  Copyright terms: Public domain W3C validator