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Theorem znidomb 17953
Description: The ℤ/nℤ structure is a domain (and hence a field) precisely when  n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
znidomb  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  <->  N  e.  Prime ) )

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10674 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  e.  ZZ )
3 nnz 10664 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 462 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  ZZ )
5 hash2 12159 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
6 isidom 17354 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
76simprbi 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. Domn )
8 domnnzr 17345 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e. NzRing )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. NzRing )
10 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1110isnzr2 17323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. NzRing 
<->  ( Y  e.  Ring  /\  2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
1211simprbi 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. NzRing  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
139, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. IDomn  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
1413adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
15 df2o2 6930 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
16 prfi 7582 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  Fin
1715, 16eqeltri 2511 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  Fin
18 fvex 5698 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
19 hashdom 12138 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  ( Base `  Y )  e.  _V )  ->  (
( # `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
2017, 18, 19mp2an 667 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
2114, 20sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) ) )
225, 21syl5eqbrr 4323 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  <_  ( # `  ( Base `  Y ) ) )
23 zntos.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2423, 10znhash 17950 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  Y
) )  =  N )
2524adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  (
# `  ( Base `  Y ) )  =  N )
2622, 25breqtrd 4313 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  <_  N )
27 eluz2 10863 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
282, 4, 26, 27syl3anbrc 1167 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) )
29 nncn 10326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
3029ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  CC )
31 nncn 10326 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
3231ad2antrl 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  CC )
33 nnne0 10350 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
3433ad2antrl 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  =/=  0 )
3530, 32, 34divcan1d 10104 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( N  /  x )  x.  x )  =  N )
3635fveq2d 5692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( ( N  /  x )  x.  x
) )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  N )
)
377ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  Y  e. Domn )
38 domnrng 17346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e.  Ring )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  Y  e.  Ring )
40 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
4140zrhrhm 17902 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
4239, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
43 simprr 751 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  ||  N
)
44 nnz 10664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
4544ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
463ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
47 dvdsval2 13534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  x )  e.  ZZ ) )
4845, 34, 46, 47syl3anc 1213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  ||  N  <->  ( N  /  x )  e.  ZZ ) )
4943, 48mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  x )  e.  ZZ )
50 zringbas 17848 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
51 zringmulr 17851 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r ` ring )
52 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
5350, 51, 52rhmmul 16805 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  (ring RingHom  Y )  /\  ( N  /  x
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
( N  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) ) )
5442, 49, 45, 53syl3anc 1213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( ( N  /  x )  x.  x
) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) ) )
55 iddvds 13542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  N )
5646, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  ||  N
)
57 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
5857ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  NN0 )
59 eqid 2441 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
6023, 40, 59zndvds0 17942 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  N
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  N
) )
6158, 46, 60syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  N )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  N
) )
6256, 61mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  N )  =  ( 0g `  Y ) )
6336, 54, 623eqtr3d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y ) )
6450, 10rhmf 16804 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y
) )
6542, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
6665, 49ffvelrnd 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x
) )  e.  (
Base `  Y )
)
6765, 45ffvelrnd 5841 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  (
Base `  Y )
)
6810, 52, 59domneq0 17347 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e. Domn  /\  (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
6937, 66, 67, 68syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7063, 69mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) )
7123, 40, 59zndvds0 17942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  x ) ) )
7258, 49, 71syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( N  /  x ) ) )
73 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
7473ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  RR )
75 nnre 10325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
7675ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  RR )
77 nngt0 10347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
7877ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  N )
79 nngt0 10347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  0  <  x )
8079ad2antrl 722 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  x )
8174, 76, 78, 80divgt0d 10264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  ( N  /  x ) )
82 elnnz 10652 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  /  x )  e.  NN  <->  ( ( N  /  x )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  x
) ) )
8349, 81, 82sylanbrc 659 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  x )  e.  NN )
84 dvdsle 13574 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  x
)  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
8546, 83, 84syl2anc 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
86 1red 9397 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  1  e.  RR )
87 0lt1 9858 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  1 )
89 lediv2 10218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( x  <_  1  <->  ( N  /  1 )  <_  ( N  /  x ) ) )
9076, 80, 86, 88, 74, 78, 89syl222anc 1229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  <_  1  <->  ( N  / 
1 )  <_  ( N  /  x ) ) )
91 nnle1eq1 10346 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  <_  1  <->  x  = 
1 ) )
9291ad2antrl 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  <_  1  <->  x  =  1
) )
9330div1d 10095 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  1 )  =  N )
9493breq1d 4299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( N  /  1 )  <_ 
( N  /  x
)  <->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
9590, 92, 943bitr3rd 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  <_  ( N  /  x
)  <->  x  =  1
) )
9685, 95sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  x  = 
1 ) )
9772, 96sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  x  = 
1 ) )
9823, 40, 59zndvds0 17942 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  x
) )
9958, 45, 98syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  x
) )
100 nnnn0 10582 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
101100ad2antrl 722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  NN0 )
102 dvdseq 13576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( x  ||  N  /\  N  ||  x ) )  ->  x  =  N )
103102expr 612 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  ||  N )  ->  ( N  ||  x  ->  x  =  N ) )
104101, 58, 43, 103syl21anc 1212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  x  ->  x  =  N ) )
10599, 104sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y )  ->  x  =  N ) )
10697, 105orim12d 829 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) )  -> 
( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
10770, 106mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) )
108107expr 612 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  ||  N  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
109108ralrimiva 2797 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  A. x  e.  NN  (
x  ||  N  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
110 isprm2 13767 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  NN  ( x  ||  N  -> 
( x  =  1  \/  x  =  N ) ) ) )
11128, 109, 110sylanbrc 659 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  Prime )
112111ex 434 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  ->  N  e. 
Prime ) )
11323znfld 17952 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
114 fldidom 17355 . . 3  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
115113, 114syl 16 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. IDomn
)
116112, 115impbid1 203 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  <->  N  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   _Vcvv 2970   (/)c0 3634   {csn 3874   {cpr 3876   class class class wbr 4289   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   2oc2o 6910    ~<_ cdom 7304   Fincfn 7306   CCcc 9276   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415    / cdiv 9989   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   #chash 12099    || cdivides 13531   Primecprime 13759   Basecbs 14170   .rcmulr 14235   0gc0g 14374   Ringcrg 16635   CRingccrg 16636   RingHom crh 16794  Fieldcfield 16813  NzRingcnzr 17317  Domncdomn 17329  IDomncidom 17330  ℤringzring 17842   ZRHomczrh 17890  ℤ/nczn 17893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-tpos 6744  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-sup 7687  df-card 8105  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-rp 10988  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-hash 12100  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-prm 13760  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-0g 14376  df-imas 14442  df-divs 14443  df-mnd 15411  df-mhm 15460  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-mulg 15541  df-subg 15671  df-nsg 15672  df-eqg 15673  df-ghm 15738  df-cmn 16272  df-abl 16273  df-mgp 16582  df-ur 16594  df-rng 16637  df-cring 16638  df-oppr 16705  df-dvdsr 16723  df-unit 16724  df-invr 16754  df-rnghom 16796  df-drng 16814  df-field 16815  df-subrg 16843  df-lmod 16930  df-lss 16992  df-lsp 17031  df-sra 17231  df-rgmod 17232  df-lidl 17233  df-rsp 17234  df-2idl 17292  df-nzr 17318  df-rlreg 17332  df-domn 17333  df-idom 17334  df-cnfld 17778  df-zring 17843  df-zrh 17894  df-zn 17897
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