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Theorem znidomb 18360
Description: The ℤ/nℤ structure is a domain (and hence a field) precisely when  n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
znidomb  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  <->  N  e.  Prime ) )

Proof of Theorem znidomb
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2z 10885 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
21a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  e.  ZZ )
3 nnz 10875 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
43adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  ZZ )
5 hash2 12423 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
6 isidom 17717 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
76simprbi 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. Domn )
8 domnnzr 17708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e. NzRing )
97, 8syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. IDomn  ->  Y  e. NzRing )
10 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
1110isnzr2 17686 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e. NzRing 
<->  ( Y  e.  Ring  /\  2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
1211simprbi 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( Y  e. NzRing  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
139, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  e. IDomn  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
1413adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
15 df2o2 7134 . . . . . . . . . 10  |-  2o  =  { (/) ,  { (/) } }
16 prfi 7784 . . . . . . . . . 10  |-  { (/) ,  { (/) } }  e.  Fin
1715, 16eqeltri 2544 . . . . . . . . 9  |-  2o  e.  Fin
18 fvex 5867 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
19 hashdom 12402 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  ( Base `  Y )  e.  _V )  ->  (
( # `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
2017, 18, 19mp2an 672 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
2114, 20sylibr 212 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) ) )
225, 21syl5eqbrr 4474 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  <_  ( # `  ( Base `  Y ) ) )
23 zntos.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2423, 10znhash 18357 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  Y
) )  =  N )
2524adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  (
# `  ( Base `  Y ) )  =  N )
2622, 25breqtrd 4464 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  2  <_  N )
27 eluz2 11077 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  2  <_  N ) )
282, 4, 26, 27syl3anbrc 1175 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2
) )
29 nncn 10533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  CC )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  CC )
31 nncn 10533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  CC )
3231ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  CC )
33 nnne0 10557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  x  =/=  0 )
3433ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  =/=  0 )
3530, 32, 34divcan1d 10310 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( N  /  x )  x.  x )  =  N )
3635fveq2d 5861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( ( N  /  x )  x.  x
) )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  N )
)
377ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  Y  e. Domn )
38 domnrng 17709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Y  e. Domn  ->  Y  e.  Ring )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  Y  e.  Ring )
40 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
4140zrhrhm 18309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
4239, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
43 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  ||  N
)
44 nnz 10875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
4544ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  ZZ )
463ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  ZZ )
47 dvdsval2 13839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  x  =/=  0  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
x  ||  N  <->  ( N  /  x )  e.  ZZ ) )
4845, 34, 46, 47syl3anc 1223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  ||  N  <->  ( N  /  x )  e.  ZZ ) )
4943, 48mpbid 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  x )  e.  ZZ )
50 zringbas 18255 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
51 zringmulr 18258 . . . . . . . . . . 11  |-  x.  =  ( .r ` ring )
52 eqid 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
5350, 51, 52rhmmul 17153 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  (ring RingHom  Y )  /\  ( N  /  x
)  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
( N  /  x
)  x.  x ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) ) )
5442, 49, 45, 53syl3anc 1223 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( ( N  /  x )  x.  x
) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) ) )
55 iddvds 13847 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  ||  N )
5646, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  ||  N
)
57 nnnn0 10791 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
5857ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  NN0 )
59 eqid 2460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
6023, 40, 59zndvds0 18349 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  N
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  N
) )
6158, 46, 60syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  N )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  N
) )
6256, 61mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  N )  =  ( 0g `  Y ) )
6336, 54, 623eqtr3d 2509 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y ) )
6450, 10rhmf 17152 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y
) )
6542, 64syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> ( Base `  Y )
)
6665, 49ffvelrnd 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x
) )  e.  (
Base `  Y )
)
6765, 45ffvelrnd 6013 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  (
Base `  Y )
)
6810, 52, 59domneq0 17710 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e. Domn  /\  (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  e.  ( Base `  Y
)  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  e.  (
Base `  Y )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
6937, 66, 67, 68syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) ) ( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7063, 69mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) )
7123, 40, 59zndvds0 18349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( N  /  x
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( N  /  x ) ) )
7258, 49, 71syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( N  /  x ) ) )
73 nnre 10532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  N  e.  RR )
75 nnre 10532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
7675ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  RR )
77 nngt0 10554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
7877ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  N )
79 nngt0 10554 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  NN  ->  0  <  x )
8079ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  x )
8174, 76, 78, 80divgt0d 10470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  ( N  /  x ) )
82 elnnz 10863 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  /  x )  e.  NN  <->  ( ( N  /  x )  e.  ZZ  /\  0  < 
( N  /  x
) ) )
8349, 81, 82sylanbrc 664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  x )  e.  NN )
84 dvdsle 13879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  ( N  /  x
)  e.  NN )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
8546, 83, 84syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
86 1red 9600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  1  e.  RR )
87 0lt1 10064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  1
8887a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  0  <  1 )
89 lediv2 10424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  0  <  x )  /\  ( 1  e.  RR  /\  0  <  1 )  /\  ( N  e.  RR  /\  0  <  N ) )  -> 
( x  <_  1  <->  ( N  /  1 )  <_  ( N  /  x ) ) )
9076, 80, 86, 88, 74, 78, 89syl222anc 1239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  <_  1  <->  ( N  / 
1 )  <_  ( N  /  x ) ) )
91 nnle1eq1 10553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  NN  ->  (
x  <_  1  <->  x  = 
1 ) )
9291ad2antrl 727 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  <_  1  <->  x  =  1
) )
9330div1d 10301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  /  1 )  =  N )
9493breq1d 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( ( N  /  1 )  <_ 
( N  /  x
)  <->  N  <_  ( N  /  x ) ) )
9590, 92, 943bitr3rd 284 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  <_  ( N  /  x
)  <->  x  =  1
) )
9685, 95sylibd 214 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  ( N  /  x
)  ->  x  = 
1 ) )
9772, 96sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  x  = 
1 ) )
9823, 40, 59zndvds0 18349 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  x
) )
9958, 45, 98syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  x
) )
100 nnnn0 10791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
101100ad2antrl 727 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  x  e.  NN0 )
102 dvdseq 13881 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  ( x  ||  N  /\  N  ||  x ) )  ->  x  =  N )
103102expr 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( x  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  /\  x  ||  N )  ->  ( N  ||  x  ->  x  =  N ) )
104101, 58, 43, 103syl21anc 1222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( N  ||  x  ->  x  =  N ) )
10599, 104sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y )  ->  x  =  N ) )
10697, 105orim12d 835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  ( N  /  x ) )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  x )  =  ( 0g `  Y ) )  -> 
( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
10770, 106mpd 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  ( x  e.  NN  /\  x  ||  N ) )  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) )
108107expr 615 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  /\  x  e.  NN )  ->  ( x  ||  N  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
109108ralrimiva 2871 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  A. x  e.  NN  (
x  ||  N  ->  ( x  =  1  \/  x  =  N ) ) )
110 isprm2 14073 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  <->  ( N  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  A. x  e.  NN  ( x  ||  N  -> 
( x  =  1  \/  x  =  N ) ) ) )
11128, 109, 110sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  Y  e. IDomn )  ->  N  e.  Prime )
112111ex 434 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  ->  N  e. 
Prime ) )
11323znfld 18359 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
114 fldidom 17718 . . 3  |-  ( Y  e. Field  ->  Y  e. IDomn )
115113, 114syl 16 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. IDomn
)
116112, 115impbid1 203 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Y  e. IDomn  <->  N  e.  Prime ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   A.wral 2807   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   {csn 4020   {cpr 4022   class class class wbr 4440   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   2oc2o 7114    ~<_ cdom 7504   Fincfn 7506   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481   1c1 9482    x. cmul 9486    < clt 9617    <_ cle 9618    / cdiv 10195   NNcn 10525   2c2 10574   NN0cn0 10784   ZZcz 10853   ZZ>=cuz 11071   #chash 12360    || cdivides 13836   Primecprime 14065   Basecbs 14479   .rcmulr 14545   0gc0g 14684   Ringcrg 16979   CRingccrg 16980   RingHom crh 17138  Fieldcfield 17173  NzRingcnzr 17680  Domncdomn 17692  IDomncidom 17693  ℤringzring 18249   ZRHomczrh 18297  ℤ/nczn 18300
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-tpos 6945  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-ec 7303  df-qs 7307  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-sup 7890  df-card 8309  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-rp 11210  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-hash 12361  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-dvds 13837  df-gcd 13993  df-prm 14066  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-0g 14686  df-imas 14752  df-divs 14753  df-mnd 15721  df-mhm 15770  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-sbg 15853  df-mulg 15854  df-subg 15986  df-nsg 15987  df-eqg 15988  df-ghm 16053  df-cmn 16589  df-abl 16590  df-mgp 16925  df-ur 16937  df-rng 16981  df-cring 16982  df-oppr 17049  df-dvdsr 17067  df-unit 17068  df-invr 17098  df-rnghom 17141  df-drng 17174  df-field 17175  df-subrg 17203  df-lmod 17290  df-lss 17355  df-lsp 17394  df-sra 17594  df-rgmod 17595  df-lidl 17596  df-rsp 17597  df-2idl 17655  df-nzr 17681  df-rlreg 17695  df-domn 17696  df-idom 17697  df-cnfld 18185  df-zring 18250  df-zrh 18301  df-zn 18304
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