MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znhash Structured version   Unicode version

Theorem znhash 18126
Description: The ℤ/nℤ structure has  n elements. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zntos.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znhash.1  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
znhash  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 B )  =  N )

Proof of Theorem znhash
StepHypRef Expression
1 nnnn0 10701 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
2 zntos.y . . . . . 6  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
3 znhash.1 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  Y
)
4 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) )  =  ( ( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )
5 eqid 2454 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
62, 3, 4, 5znf1o 18119 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
71, 6syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B )
8 nnne0 10469 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
9 ifnefalse 3912 . . . . 5  |-  ( N  =/=  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
10 f1oeq2 5744 . . . . 5  |-  ( if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N )  ->  ( (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
118, 9, 103syl 20 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) -1-1-onto-> B  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B ) )
127, 11mpbid 210 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B )
13 ovex 6228 . . . 4  |-  ( 0..^ N )  e.  _V
1413f1oen 7443 . . 3  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  |`  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) ) : ( 0..^ N ) -1-1-onto-> B  ->  ( 0..^ N )  ~~  B )
15 ensym 7471 . . 3  |-  ( ( 0..^ N )  ~~  B  ->  B  ~~  (
0..^ N ) )
16 hasheni 12240 . . 3  |-  ( B 
~~  ( 0..^ N )  ->  ( # `  B
)  =  ( # `  ( 0..^ N ) ) )
1712, 14, 15, 164syl 21 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 B )  =  ( # `  (
0..^ N ) ) )
18 hashfzo0 12313 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( # `  ( 0..^ N ) )  =  N )
191, 18syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( 0..^ N ) )  =  N )
2017, 19eqtrd 2495 1  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 B )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   ifcif 3902   class class class wbr 4403    |` cres 4953   -1-1-onto->wf1o 5528   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ~~ cen 7420   0cc0 9397   NNcn 10437   NN0cn0 10694   ZZcz 10761  ..^cfzo 11669   #chash 12224   Basecbs 14296   ZRHomczrh 18066  ℤ/nczn 18069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-ec 7216  df-qs 7220  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7806  df-card 8224  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-fl 11763  df-mod 11830  df-seq 11928  df-hash 12225  df-dvds 13658  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-0g 14503  df-imas 14569  df-divs 14570  df-mnd 15538  df-mhm 15587  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-sbg 15670  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-nsg 15802  df-eqg 15803  df-ghm 15868  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-oppr 16848  df-dvdsr 16866  df-rnghom 16939  df-subrg 16996  df-lmod 17083  df-lss 17147  df-lsp 17186  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-lidl 17388  df-rsp 17389  df-2idl 17447  df-cnfld 17954  df-zring 18019  df-zrh 18070  df-zn 18073
This theorem is referenced by:  znfi  18127  znfld  18128  znidomb  18129  frlmpwfi  29624  isnumbasgrplem3  29632
  Copyright terms: Public domain W3C validator