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Theorem znfld 19129
Description: The ℤ/nℤ structure is a finite field when  n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
znfld  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)

Proof of Theorem znfld
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 14624 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
2 nnnn0 10883 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
31, 2syl 17 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e. 
NN0 )
4 zntos.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
54zncrng 19113 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
63, 5syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. 
CRing )
7 crngring 17790 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
81, 2, 5, 74syl 19 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. 
Ring )
9 hash2 12588 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
10 prmuz2 14641 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
11 eluzle 11178 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Prime  ->  2  <_  N )
13 eqid 2422 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
144, 13znhash 19127 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  Y
) )  =  N )
151, 14syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( # `  ( Base `  Y
) )  =  N )
1612, 15breqtrrd 4450 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  2  <_ 
( # `  ( Base `  Y ) ) )
179, 16syl5eqbr 4457 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( # `  2o )  <_  ( # `
 ( Base `  Y
) ) )
18 2onn 7352 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
19 nnfi 7774 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2o  e.  Fin
21 fvex 5891 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
22 hashdom 12564 . . . . . . 7  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  ( Base `  Y )  e.  _V )  ->  (
( # `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
2320, 21, 22mp2an 676 . . . . . 6  |-  ( (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
2417, 23sylib 199 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
2513isnzr2 18486 . . . . 5  |-  ( Y  e. NzRing 
<->  ( Y  e.  Ring  /\  2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
268, 24, 25sylanbrc 668 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. NzRing
)
27 eqid 2422 . . . . . . . . 9  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
284, 13, 27znzrhfo 19116 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
293, 28syl 17 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
30 foelrn 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  x  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
31 foelrn 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )
3230, 31anim12dan 845 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  ( x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
3329, 32sylan 473 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
34 reeanv 2993 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  <->  ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  w )
) )
35 euclemma 14664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( z  x.  w )  <->  ( N  ||  z  \/  N  ||  w ) ) )
36353expb 1206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  ( z  x.  w
)  <->  ( N  ||  z  \/  N  ||  w
) ) )
378adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  Y  e.  Ring )
3827zrhrhm 19081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
40 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  z  e.  ZZ )
41 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  w  e.  ZZ )
42 zringbas 19043 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
43 zringmulr 19046 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r ` ring )
44 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
4542, 43, 44rhmmul 17954 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  (ring RingHom  Y )  /\  z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  ( z  x.  w ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
4639, 40, 41, 45syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  x.  w
) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
4746eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( z  x.  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  w )
)  =  ( 0g
`  Y ) ) )
48 zmulcl 10992 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  w
)  e.  ZZ )
49 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
504, 27, 49zndvds0 19119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( z  x.  w
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  x.  w
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( z  x.  w ) ) )
513, 48, 50syl2an 479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( z  x.  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( z  x.  w ) ) )
5247, 51bitr3d 258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( z  x.  w ) ) )
533adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  NN0 )
544, 27, 49zndvds0 19119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  z
) )
5553, 40, 54syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  z
) )
564, 27, 49zndvds0 19119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  w
) )
5753, 41, 56syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  w )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  w
) )
5855, 57orbi12d 714 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( N  ||  z  \/  N  ||  w ) ) )
5936, 52, 583bitr4d 288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6059biimpd 210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  w )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
61 oveq12 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
x ( .r `  Y ) y )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  w )
) )
6261eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  <->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  =  ( 0g `  Y ) ) )
63 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( x  =  ( 0g `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( 0g `  Y ) ) )
6463orbi1d 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( (
x  =  ( 0g
`  Y )  \/  y  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  y  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
65 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  ->  ( y  =  ( 0g `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  w )  =  ( 0g `  Y ) ) )
6665orbi2d 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  y  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6764, 66sylan9bb 704 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) )  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6862, 67imbi12d 321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) y )  =  ( 0g `  Y )  ->  ( x  =  ( 0g `  Y
)  \/  y  =  ( 0g `  Y
) ) )  <->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  w )  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
6960, 68syl5ibrcom 225 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  -> 
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7069rexlimdvva 2921 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  -> 
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7134, 70syl5bir 221 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  -> 
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7271imp 430 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) ) )  -> 
( ( x ( .r `  Y ) y )  =  ( 0g `  Y )  ->  ( x  =  ( 0g `  Y
)  \/  y  =  ( 0g `  Y
) ) ) )
7333, 72syldan 472 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( ( x ( .r `  Y ) y )  =  ( 0g `  Y )  ->  ( x  =  ( 0g `  Y
)  \/  y  =  ( 0g `  Y
) ) ) )
7473ralrimivva 2843 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  A. x  e.  ( Base `  Y
) A. y  e.  ( Base `  Y
) ( ( x ( .r `  Y
) y )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7513, 44, 49isdomn 18517 . . . 4  |-  ( Y  e. Domn 
<->  ( Y  e. NzRing  /\  A. x  e.  ( Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y
) ( ( x ( .r `  Y
) y )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7626, 74, 75sylanbrc 668 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Domn
)
77 isidom 18527 . . 3  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
786, 76, 77sylanbrc 668 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. IDomn
)
794, 13znfi 19128 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  Y )  e. 
Fin )
801, 79syl 17 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( Base `  Y )  e.  Fin )
8113fiidomfld 18531 . . 3  |-  ( (
Base `  Y )  e.  Fin  ->  ( Y  e. IDomn  <-> 
Y  e. Field ) )
8280, 81syl 17 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( Y  e. IDomn 
<->  Y  e. Field ) )
8378, 82mpbid 213 1  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872   A.wral 2771   E.wrex 2772   _Vcvv 3080   class class class wbr 4423   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   omcom 6706   2oc2o 7187    ~<_ cdom 7578   Fincfn 7580    x. cmul 9551    <_ cle 9683   NNcn 10616   2c2 10666   NN0cn0 10876   ZZcz 10944   ZZ>=cuz 11166   #chash 12521    || cdvds 14304   Primecprime 14621   Basecbs 15120   .rcmulr 15190   0gc0g 15337   Ringcrg 17779   CRingccrg 17780   RingHom crh 17939  Fieldcfield 17975  NzRingcnzr 18480  Domncdomn 18503  IDomncidom 18504  ℤringzring 19037   ZRHomczrh 19069  ℤ/nczn 19072
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-ec 7376  df-qs 7380  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-imas 15406  df-qus 15408  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-nsg 16814  df-eqg 16815  df-ghm 16880  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-rnghom 17942  df-drng 17976  df-field 17977  df-subrg 18005  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-lsp 18194  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-lidl 18396  df-rsp 18397  df-2idl 18455  df-nzr 18481  df-rlreg 18506  df-domn 18507  df-idom 18508  df-cnfld 18970  df-zring 19038  df-zrh 19073  df-zn 19076
This theorem is referenced by:  znidomb  19130  lgsqrlem1  24267  lgsqrlem2  24268  lgsqrlem3  24269  lgsqrlem4  24270  lgseisenlem3  24277  lgseisenlem4  24278
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