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Theorem znfld 18726
Description: The ℤ/nℤ structure is a finite field when  n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
znfld  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)

Proof of Theorem znfld
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 14232 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
2 nnnn0 10823 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e. 
NN0 )
4 zntos.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
54zncrng 18710 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. 
CRing )
7 crngring 17336 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
81, 2, 5, 74syl 21 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. 
Ring )
9 hash2 12474 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
10 prmuz2 14247 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
11 eluzle 11118 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Prime  ->  2  <_  N )
13 eqid 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
144, 13znhash 18724 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  Y
) )  =  N )
151, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( # `  ( Base `  Y
) )  =  N )
1612, 15breqtrrd 4482 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  2  <_ 
( # `  ( Base `  Y ) ) )
179, 16syl5eqbr 4489 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( # `  2o )  <_  ( # `
 ( Base `  Y
) ) )
18 2onn 7307 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
19 nnfi 7729 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2o  e.  Fin
21 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
22 hashdom 12450 . . . . . . 7  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  ( Base `  Y )  e.  _V )  ->  (
( # `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
2320, 21, 22mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
2417, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
2513isnzr2 18038 . . . . 5  |-  ( Y  e. NzRing 
<->  ( Y  e.  Ring  /\  2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
268, 24, 25sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. NzRing
)
27 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
284, 13, 27znzrhfo 18713 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
293, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
30 foelrn 6051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  x  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
31 foelrn 6051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )
3230, 31anim12dan 837 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  ( x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
3329, 32sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
34 reeanv 3025 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  <->  ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  w )
) )
35 euclemma 14261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( z  x.  w )  <->  ( N  ||  z  \/  N  ||  w ) ) )
36353expb 1197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  ( z  x.  w
)  <->  ( N  ||  z  \/  N  ||  w
) ) )
378adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  Y  e.  Ring )
3827zrhrhm 18676 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
40 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  z  e.  ZZ )
41 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  w  e.  ZZ )
42 zringbas 18621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
43 zringmulr 18624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r ` ring )
44 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
4542, 43, 44rhmmul 17503 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  (ring RingHom  Y )  /\  z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  ( z  x.  w ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
4639, 40, 41, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  x.  w
) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
4746eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( z  x.  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  w )
)  =  ( 0g
`  Y ) ) )
48 zmulcl 10933 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  w
)  e.  ZZ )
49 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
504, 27, 49zndvds0 18716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( z  x.  w
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  x.  w
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( z  x.  w ) ) )
513, 48, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( z  x.  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( z  x.  w ) ) )
5247, 51bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( z  x.  w ) ) )
533adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  NN0 )
544, 27, 49zndvds0 18716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  z
) )
5553, 40, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  z
) )
564, 27, 49zndvds0 18716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  w
) )
5753, 41, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  w )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  w
) )
5855, 57orbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( N  ||  z  \/  N  ||  w ) ) )
5936, 52, 583bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6059biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  w )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
61 oveq12 6305 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
x ( .r `  Y ) y )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  w )
) )
6261eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  <->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  =  ( 0g `  Y ) ) )
63 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( x  =  ( 0g `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( 0g `  Y ) ) )
6463orbi1d 702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( (
x  =  ( 0g
`  Y )  \/  y  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  y  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
65 eqeq1 2461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  ->  ( y  =  ( 0g `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  w )  =  ( 0g `  Y ) ) )
6665orbi2d 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  y  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6764, 66sylan9bb 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) )  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6862, 67imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) y )  =  ( 0g `  Y )  ->  ( x  =  ( 0g `  Y
)  \/  y  =  ( 0g `  Y
) ) )  <->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  w )  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
6960, 68syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  -> 
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7069rexlimdvva 2956 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  -> 
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7134, 70syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  -> 
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7271imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) ) )  -> 
( ( x ( .r `  Y ) y )  =  ( 0g `  Y )  ->  ( x  =  ( 0g `  Y
)  \/  y  =  ( 0g `  Y
) ) ) )
7333, 72syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( ( x ( .r `  Y ) y )  =  ( 0g `  Y )  ->  ( x  =  ( 0g `  Y
)  \/  y  =  ( 0g `  Y
) ) ) )
7473ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  A. x  e.  ( Base `  Y
) A. y  e.  ( Base `  Y
) ( ( x ( .r `  Y
) y )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7513, 44, 49isdomn 18070 . . . 4  |-  ( Y  e. Domn 
<->  ( Y  e. NzRing  /\  A. x  e.  ( Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y
) ( ( x ( .r `  Y
) y )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7626, 74, 75sylanbrc 664 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Domn
)
77 isidom 18080 . . 3  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
786, 76, 77sylanbrc 664 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. IDomn
)
794, 13znfi 18725 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  Y )  e. 
Fin )
801, 79syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( Base `  Y )  e.  Fin )
8113fiidomfld 18084 . . 3  |-  ( (
Base `  Y )  e.  Fin  ->  ( Y  e. IDomn  <-> 
Y  e. Field ) )
8280, 81syl 16 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( Y  e. IDomn 
<->  Y  e. Field ) )
8378, 82mpbid 210 1  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   class class class wbr 4456   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   omcom 6699   2oc2o 7142    ~<_ cdom 7533   Fincfn 7535    x. cmul 9514    <_ cle 9646   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   #chash 12408    || cdvds 13998   Primecprime 14229   Basecbs 14644   .rcmulr 14713   0gc0g 14857   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326   RingHom crh 17488  Fieldcfield 17524  NzRingcnzr 18032  Domncdomn 18055  IDomncidom 18056  ℤringzring 18615   ZRHomczrh 18664  ℤ/nczn 18667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-imas 14925  df-qus 14926  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-unit 17418  df-invr 17448  df-rnghom 17491  df-drng 17525  df-field 17526  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-nzr 18033  df-rlreg 18058  df-domn 18059  df-idom 18060  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671
This theorem is referenced by:  znidomb  18727  lgsqrlem1  23742  lgsqrlem2  23743  lgsqrlem3  23744  lgsqrlem4  23745  lgseisenlem3  23752  lgseisenlem4  23753
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