Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znfld Structured version   Unicode version

Theorem znfld 19129
 Description: The ℤ/nℤ structure is a finite field when is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y ℤ/n
Assertion
Ref Expression
znfld Field

Proof of Theorem znfld
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 14624 . . . . 5
2 nnnn0 10883 . . . . 5
31, 2syl 17 . . . 4
4 zntos.y . . . . 5 ℤ/n
54zncrng 19113 . . . 4
63, 5syl 17 . . 3
7 crngring 17790 . . . . . 6
81, 2, 5, 74syl 19 . . . . 5
9 hash2 12588 . . . . . . 7
10 prmuz2 14641 . . . . . . . . 9
11 eluzle 11178 . . . . . . . . 9
1210, 11syl 17 . . . . . . . 8
13 eqid 2422 . . . . . . . . . 10
144, 13znhash 19127 . . . . . . . . 9
151, 14syl 17 . . . . . . . 8
1612, 15breqtrrd 4450 . . . . . . 7
179, 16syl5eqbr 4457 . . . . . 6
18 2onn 7352 . . . . . . . 8
19 nnfi 7774 . . . . . . . 8
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7
21 fvex 5891 . . . . . . 7
22 hashdom 12564 . . . . . . 7
2320, 21, 22mp2an 676 . . . . . 6
2417, 23sylib 199 . . . . 5
2513isnzr2 18486 . . . . 5 NzRing
268, 24, 25sylanbrc 668 . . . 4 NzRing
27 eqid 2422 . . . . . . . . 9 RHom RHom
284, 13, 27znzrhfo 19116 . . . . . . . 8 RHom
293, 28syl 17 . . . . . . 7 RHom
30 foelrn 6056 . . . . . . . 8 RHom RHom
31 foelrn 6056 . . . . . . . 8 RHom RHom
3230, 31anim12dan 845 . . . . . . 7 RHom RHom RHom
3329, 32sylan 473 . . . . . 6 RHom RHom
34 reeanv 2993 . . . . . . . 8 RHom RHom RHom RHom
35 euclemma 14664 . . . . . . . . . . . . 13
36353expb 1206 . . . . . . . . . . . 12
378adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16
3827zrhrhm 19081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 RHom ring RingHom
3937, 38syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom ring RingHom
40 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 zringbas 19043 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ring
43 zringmulr 19046 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ring
44 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4542, 43, 44rhmmul 17954 . . . . . . . . . . . . . . 15 RHom ring RingHom RHom RHomRHom
4639, 40, 41, 45syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . 14 RHom RHomRHom
4746eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . . . 13 RHom RHomRHom
48 zmulcl 10992 . . . . . . . . . . . . . 14
49 eqid 2422 . . . . . . . . . . . . . . 15
504, 27, 49zndvds0 19119 . . . . . . . . . . . . . 14 RHom
513, 48, 50syl2an 479 . . . . . . . . . . . . 13 RHom
5247, 51bitr3d 258 . . . . . . . . . . . 12 RHomRHom
533adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14
544, 27, 49zndvds0 19119 . . . . . . . . . . . . . 14 RHom
5553, 40, 54syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13 RHom
564, 27, 49zndvds0 19119 . . . . . . . . . . . . . 14 RHom
5753, 41, 56syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13 RHom
5855, 57orbi12d 714 . . . . . . . . . . . 12 RHom RHom
5936, 52, 583bitr4d 288 . . . . . . . . . . 11 RHomRHom RHom RHom
6059biimpd 210 . . . . . . . . . 10 RHomRHom RHom RHom
61 oveq12 6314 . . . . . . . . . . . 12 RHom RHom RHomRHom
6261eqeq1d 2424 . . . . . . . . . . 11 RHom RHom RHomRHom
63 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . 13 RHom RHom
6463orbi1d 707 . . . . . . . . . . . 12 RHom RHom
65 eqeq1 2426 . . . . . . . . . . . . 13 RHom RHom
6665orbi2d 706 . . . . . . . . . . . 12 RHom RHom RHom RHom
6764, 66sylan9bb 704 . . . . . . . . . . 11 RHom RHom RHom RHom
6862, 67imbi12d 321 . . . . . . . . . 10 RHom RHom RHomRHom RHom RHom
6960, 68syl5ibrcom 225 . . . . . . . . 9 RHom RHom
7069rexlimdvva 2921 . . . . . . . 8 RHom RHom
7134, 70syl5bir 221 . . . . . . 7 RHom RHom
7271imp 430 . . . . . 6 RHom RHom
7333, 72syldan 472 . . . . 5
7473ralrimivva 2843 . . . 4
7513, 44, 49isdomn 18517 . . . 4 Domn NzRing
7626, 74, 75sylanbrc 668 . . 3 Domn
77 isidom 18527 . . 3 IDomn Domn
786, 76, 77sylanbrc 668 . 2 IDomn
794, 13znfi 19128 . . . 4
801, 79syl 17 . . 3
8113fiidomfld 18531 . . 3 IDomn Field
8280, 81syl 17 . 2 IDomn Field
8378, 82mpbid 213 1 Field
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wo 369   wa 370   wceq 1437   wcel 1872  wral 2771  wrex 2772  cvv 3080   class class class wbr 4423  wfo 5599  cfv 5601  (class class class)co 6305  com 6706  c2o 7187   cdom 7578  cfn 7580   cmul 9551   cle 9683  cn 10616  c2 10666  cn0 10876  cz 10944  cuz 11166  chash 12521   cdvds 14304  cprime 14621  cbs 15120  cmulr 15190  c0g 15337  crg 17779  ccrg 17780   RingHom crh 17939  Fieldcfield 17975  NzRingcnzr 18480  Domncdomn 18503  IDomncidom 18504  ℤringzring 19037  RHomczrh 19069  ℤ/nℤczn 19072 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-inf2 8155  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623  ax-pre-sup 9624  ax-addf 9625  ax-mulf 9626 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-tpos 6984  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-2o 7194  df-oadd 7197  df-er 7374  df-ec 7376  df-qs 7380  df-map 7485  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-card 8381  df-cda 8605  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-fl 12034  df-mod 12103  df-seq 12220  df-exp 12279  df-hash 12522  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-dvds 14305  df-gcd 14468  df-prm 14622  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-sets 15126  df-ress 15127  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-starv 15204  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-unif 15212  df-0g 15339  df-imas 15406  df-qus 15408  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536  df-mhm 16581  df-grp 16672  df-minusg 16673  df-sbg 16674  df-mulg 16675  df-subg 16813  df-nsg 16814  df-eqg 16815  df-ghm 16880  df-cmn 17431  df-abl 17432  df-mgp 17723  df-ur 17735  df-ring 17781  df-cring 17782  df-oppr 17850  df-dvdsr 17868  df-unit 17869  df-invr 17899  df-rnghom 17942  df-drng 17976  df-field 17977  df-subrg 18005  df-lmod 18092  df-lss 18155  df-lsp 18194  df-sra 18394  df-rgmod 18395  df-lidl 18396  df-rsp 18397  df-2idl 18455  df-nzr 18481  df-rlreg 18506  df-domn 18507  df-idom 18508  df-cnfld 18970  df-zring 19038  df-zrh 19073  df-zn 19076 This theorem is referenced by:  znidomb  19130  lgsqrlem1  24267  lgsqrlem2  24268  lgsqrlem3  24269  lgsqrlem4  24270  lgseisenlem3  24277  lgseisenlem4  24278
 Copyright terms: Public domain W3C validator