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Theorem znfld 18363
Description: The ℤ/nℤ structure is a finite field when  n is prime. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zntos.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
znfld  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)

Proof of Theorem znfld
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prmnn 14072 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  NN )
2 nnnn0 10798 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
31, 2syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e. 
NN0 )
4 zntos.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
54zncrng 18347 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
63, 5syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. 
CRing )
7 crngrng 16993 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
81, 2, 5, 74syl 21 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. 
Ring )
9 hash2 12430 . . . . . . 7  |-  ( # `  2o )  =  2
10 prmuz2 14087 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  Prime  ->  N  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
11 eluzle 11090 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  2  <_  N )
1210, 11syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Prime  ->  2  <_  N )
13 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
144, 13znhash 18361 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 ( Base `  Y
) )  =  N )
151, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( # `  ( Base `  Y
) )  =  N )
1612, 15breqtrrd 4473 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  2  <_ 
( # `  ( Base `  Y ) ) )
179, 16syl5eqbr 4480 . . . . . 6  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( # `  2o )  <_  ( # `
 ( Base `  Y
) ) )
18 2onn 7286 . . . . . . . 8  |-  2o  e.  om
19 nnfi 7707 . . . . . . . 8  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
2018, 19ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  2o  e.  Fin
21 fvex 5874 . . . . . . 7  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
22 hashdom 12409 . . . . . . 7  |-  ( ( 2o  e.  Fin  /\  ( Base `  Y )  e.  _V )  ->  (
( # `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
2320, 21, 22mp2an 672 . . . . . 6  |-  ( (
# `  2o )  <_  ( # `  ( Base `  Y ) )  <-> 
2o  ~<_  ( Base `  Y
) )
2417, 23sylib 196 . . . . 5  |-  ( N  e.  Prime  ->  2o  ~<_  ( Base `  Y ) )
2513isnzr2 17690 . . . . 5  |-  ( Y  e. NzRing 
<->  ( Y  e.  Ring  /\  2o  ~<_  ( Base `  Y
) ) )
268, 24, 25sylanbrc 664 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. NzRing
)
27 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
284, 13, 27znzrhfo 18350 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
293, 28syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
30 foelrn 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  x  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
31 foelrn 6038 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y ) )  ->  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )
3230, 31anim12dan 835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ -onto-> ( Base `  Y )  /\  ( x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y ) ) )  ->  ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
3329, 32sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
34 reeanv 3029 . . . . . . . 8  |-  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  <->  ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  w )
) )
35 euclemma 14101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( z  x.  w )  <->  ( N  ||  z  \/  N  ||  w ) ) )
36353expb 1197 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( N  ||  ( z  x.  w
)  <->  ( N  ||  z  \/  N  ||  w
) ) )
378adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  Y  e.  Ring )
3827zrhrhm 18313 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
3937, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
40 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  z  e.  ZZ )
41 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  w  e.  ZZ )
42 zringbas 18259 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
43 zringmulr 18262 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  x.  =  ( .r ` ring )
44 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( .r
`  Y )  =  ( .r `  Y
)
4542, 43, 44rhmmul 17157 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
)  e.  (ring RingHom  Y )  /\  z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  ( z  x.  w ) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
4639, 40, 41, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  x.  w
) )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) ) )
4746eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( z  x.  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  w )
)  =  ( 0g
`  Y ) ) )
48 zmulcl 10907 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( z  x.  w
)  e.  ZZ )
49 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
504, 27, 49zndvds0 18353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( z  x.  w
)  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  x.  w
) )  =  ( 0g `  Y )  <-> 
N  ||  ( z  x.  w ) ) )
513, 48, 50syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  ( z  x.  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( z  x.  w ) ) )
5247, 51bitr3d 255 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  N  ||  ( z  x.  w ) ) )
533adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  N  e.  NN0 )
544, 27, 49zndvds0 18353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  z
) )
5553, 40, 54syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  z
) )
564, 27, 49zndvds0 18353 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  w  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  w
) )
5753, 41, 56syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  w )  =  ( 0g `  Y )  <->  N  ||  w
) )
5855, 57orbi12d 709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( N  ||  z  \/  N  ||  w ) ) )
5936, 52, 583bitr4d 285 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6059biimpd 207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  w )  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
61 oveq12 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
x ( .r `  Y ) y )  =  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) ( .r
`  Y ) ( ( ZRHom `  Y
) `  w )
) )
6261eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  <->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )
( .r `  Y
) ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  =  ( 0g `  Y ) ) )
63 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( x  =  ( 0g `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( 0g `  Y ) ) )
6463orbi1d 702 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( (
x  =  ( 0g
`  Y )  \/  y  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  y  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
65 eqeq1 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  ->  ( y  =  ( 0g `  Y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  w )  =  ( 0g `  Y ) ) )
6665orbi2d 701 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  ->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  y  =  ( 0g
`  Y ) )  <-> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( 0g
`  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6764, 66sylan9bb 699 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) )  <->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
)  =  ( 0g
`  Y ) ) ) )
6862, 67imbi12d 320 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( ( x ( .r `  Y ) y )  =  ( 0g `  Y )  ->  ( x  =  ( 0g `  Y
)  \/  y  =  ( 0g `  Y
) ) )  <->  ( (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
) ( .r `  Y ) ( ( ZRHom `  Y ) `  w ) )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( (
( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( 0g `  Y )  \/  (
( ZRHom `  Y
) `  w )  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
6960, 68syl5ibrcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
z  e.  ZZ  /\  w  e.  ZZ )
)  ->  ( (
x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  -> 
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7069rexlimdvva 2962 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( E. z  e.  ZZ  E. w  e.  ZZ  (
x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  -> 
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7134, 70syl5bir 218 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) )  ->  (
( x ( .r
`  Y ) y )  =  ( 0g
`  Y )  -> 
( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7271imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  ( E. z  e.  ZZ  x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  /\  E. w  e.  ZZ  y  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  w
) ) )  -> 
( ( x ( .r `  Y ) y )  =  ( 0g `  Y )  ->  ( x  =  ( 0g `  Y
)  \/  y  =  ( 0g `  Y
) ) ) )
7333, 72syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  Prime  /\  (
x  e.  ( Base `  Y )  /\  y  e.  ( Base `  Y
) ) )  -> 
( ( x ( .r `  Y ) y )  =  ( 0g `  Y )  ->  ( x  =  ( 0g `  Y
)  \/  y  =  ( 0g `  Y
) ) ) )
7473ralrimivva 2885 . . . 4  |-  ( N  e.  Prime  ->  A. x  e.  ( Base `  Y
) A. y  e.  ( Base `  Y
) ( ( x ( .r `  Y
) y )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) )
7513, 44, 49isdomn 17711 . . . 4  |-  ( Y  e. Domn 
<->  ( Y  e. NzRing  /\  A. x  e.  ( Base `  Y ) A. y  e.  ( Base `  Y
) ( ( x ( .r `  Y
) y )  =  ( 0g `  Y
)  ->  ( x  =  ( 0g `  Y )  \/  y  =  ( 0g `  Y ) ) ) ) )
7626, 74, 75sylanbrc 664 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Domn
)
77 isidom 17721 . . 3  |-  ( Y  e. IDomn 
<->  ( Y  e.  CRing  /\  Y  e. Domn ) )
786, 76, 77sylanbrc 664 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. IDomn
)
794, 13znfi 18362 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( Base `  Y )  e. 
Fin )
801, 79syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( Base `  Y )  e.  Fin )
8113fiidomfld 17725 . . 3  |-  ( (
Base `  Y )  e.  Fin  ->  ( Y  e. IDomn  <-> 
Y  e. Field ) )
8280, 81syl 16 . 2  |-  ( N  e.  Prime  ->  ( Y  e. IDomn 
<->  Y  e. Field ) )
8378, 82mpbid 210 1  |-  ( N  e.  Prime  ->  Y  e. Field
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   class class class wbr 4447   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   omcom 6678   2oc2o 7121    ~<_ cdom 7511   Fincfn 7513    x. cmul 9493    <_ cle 9625   NNcn 10532   2c2 10581   NN0cn0 10791   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11078   #chash 12367    || cdivides 13840   Primecprime 14069   Basecbs 14483   .rcmulr 14549   0gc0g 14688   Ringcrg 16983   CRingccrg 16984   RingHom crh 17142  Fieldcfield 17177  NzRingcnzr 17684  Domncdomn 17696  IDomncidom 17697  ℤringzring 18253   ZRHomczrh 18301  ℤ/nczn 18304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-inf2 8054  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565  ax-pre-sup 9566  ax-addf 9567  ax-mulf 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-tpos 6952  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-ec 7310  df-qs 7314  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-rp 11217  df-fz 11669  df-fzo 11789  df-fl 11893  df-mod 11960  df-seq 12071  df-exp 12130  df-hash 12368  df-cj 12889  df-re 12890  df-im 12891  df-sqrt 13025  df-abs 13026  df-dvds 13841  df-gcd 13997  df-prm 14070  df-struct 14485  df-ndx 14486  df-slot 14487  df-base 14488  df-sets 14489  df-ress 14490  df-plusg 14561  df-mulr 14562  df-starv 14563  df-sca 14564  df-vsca 14565  df-ip 14566  df-tset 14567  df-ple 14568  df-ds 14570  df-unif 14571  df-0g 14690  df-imas 14756  df-divs 14757  df-mnd 15725  df-mhm 15774  df-grp 15855  df-minusg 15856  df-sbg 15857  df-mulg 15858  df-subg 15990  df-nsg 15991  df-eqg 15992  df-ghm 16057  df-cmn 16593  df-abl 16594  df-mgp 16929  df-ur 16941  df-rng 16985  df-cring 16986  df-oppr 17053  df-dvdsr 17071  df-unit 17072  df-invr 17102  df-rnghom 17145  df-drng 17178  df-field 17179  df-subrg 17207  df-lmod 17294  df-lss 17359  df-lsp 17398  df-sra 17598  df-rgmod 17599  df-lidl 17600  df-rsp 17601  df-2idl 17659  df-nzr 17685  df-rlreg 17699  df-domn 17700  df-idom 17701  df-cnfld 18189  df-zring 18254  df-zrh 18305  df-zn 18308
This theorem is referenced by:  znidomb  18364  lgsqrlem1  23341  lgsqrlem2  23342  lgsqrlem3  23343  lgsqrlem4  23344  lgseisenlem3  23351  lgseisenlem4  23352
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