MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znfi Structured version   Unicode version

Theorem znfi 17967
Description: The ℤ/nℤ structure is a finite ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zntos.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znhash.1  |-  B  =  ( Base `  Y
)
Assertion
Ref Expression
znfi  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )

Proof of Theorem znfi
StepHypRef Expression
1 zntos.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
2 znhash.1 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  Y
)
31, 2znhash 17966 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 B )  =  N )
4 nnnn0 10578 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
53, 4eqeltrd 2512 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( # `
 B )  e. 
NN0 )
6 fvex 5696 . . . 4  |-  ( Base `  Y )  e.  _V
72, 6eqeltri 2508 . . 3  |-  B  e. 
_V
8 hashclb 12120 . . 3  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
)
97, 8ax-mp 5 . 2  |-  ( B  e.  Fin  <->  ( # `  B
)  e.  NN0 )
105, 9sylibr 212 1  |-  ( N  e.  NN  ->  B  e.  Fin )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967   ` cfv 5413   Fincfn 7302   NNcn 10314   NN0cn0 10571   #chash 12095   Basecbs 14166  ℤ/nczn 17909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-tpos 6740  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-ec 7095  df-qs 7099  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-sup 7683  df-card 8101  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-rp 10984  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-hash 12096  df-dvds 13528  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-0g 14372  df-imas 14438  df-divs 14439  df-mnd 15407  df-mhm 15456  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-mulg 15539  df-subg 15669  df-nsg 15670  df-eqg 15671  df-ghm 15736  df-cmn 16270  df-abl 16271  df-mgp 16580  df-ur 16592  df-rng 16635  df-cring 16636  df-oppr 16703  df-dvdsr 16721  df-rnghom 16794  df-subrg 16841  df-lmod 16928  df-lss 16991  df-lsp 17030  df-sra 17230  df-rgmod 17231  df-lidl 17232  df-rsp 17233  df-2idl 17291  df-cnfld 17794  df-zring 17859  df-zrh 17910  df-zn 17913
This theorem is referenced by:  znfld  17968  dchrfi  22569  dchrabs  22574  dchrptlem1  22578  dchrptlem2  22579  dchrpt  22581  dchrsum  22583  dchrhash  22585  isnumbasgrplem3  29414
  Copyright terms: Public domain W3C validator