Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znf1o Unicode version

Theorem znf1o 16787
 Description: The function enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each . When , so we let ; otherwise enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znf1o.z flds
znf1o.y ℤ/n
znf1o.b
znf1o.f RHom
znf1o.w ..^
Assertion
Ref Expression
znf1o

Proof of Theorem znf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znf1o.y . . . . . . . 8 ℤ/n
21zncrng 16780 . . . . . . 7
3 crngrng 15629 . . . . . . 7
42, 3syl 16 . . . . . 6
5 znf1o.z . . . . . . 7 flds
6 eqid 2404 . . . . . . 7 RHom RHom
75, 6zrhrhm 16748 . . . . . 6 RHom RingHom
8 zsubrg 16707 . . . . . . . 8 SubRingfld
95subrgbas 15832 . . . . . . . 8 SubRingfld
108, 9ax-mp 8 . . . . . . 7
11 znf1o.b . . . . . . 7
1210, 11rhmf 15782 . . . . . 6 RHom RingHom RHom
134, 7, 123syl 19 . . . . 5 RHom
14 znf1o.w . . . . . 6 ..^
15 sseq1 3329 . . . . . . 7 ..^ ..^
16 sseq1 3329 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^
17 ssid 3327 . . . . . . 7
18 elfzoelz 11095 . . . . . . . 8 ..^
1918ssriv 3312 . . . . . . 7 ..^
2015, 16, 17, 19keephyp 3753 . . . . . 6 ..^
2114, 20eqsstri 3338 . . . . 5
22 fssres 5569 . . . . 5 RHom RHom
2313, 21, 22sylancl 644 . . . 4 RHom
24 znf1o.f . . . . 5 RHom
2524feq1i 5544 . . . 4 RHom
2623, 25sylibr 204 . . 3
2724fveq1i 5688 . . . . . . . 8 RHom
28 fvres 5704 . . . . . . . . 9 RHom RHom
2928ad2antrl 709 . . . . . . . 8 RHom RHom
3027, 29syl5eq 2448 . . . . . . 7 RHom
3124fveq1i 5688 . . . . . . . 8 RHom
32 fvres 5704 . . . . . . . . 9 RHom RHom
3332ad2antll 710 . . . . . . . 8 RHom RHom
3431, 33syl5eq 2448 . . . . . . 7 RHom
3530, 34eqeq12d 2418 . . . . . 6 RHom RHom
36 simpl 444 . . . . . . 7
37 simprl 733 . . . . . . . 8
3821, 37sseldi 3306 . . . . . . 7
39 simprr 734 . . . . . . . 8
4021, 39sseldi 3306 . . . . . . 7
411, 6zndvds 16785 . . . . . . 7 RHom RHom
4236, 38, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . 6 RHom RHom
43 elnn0 10179 . . . . . . 7
44 simpl 444 . . . . . . . . . 10
45 simprl 733 . . . . . . . . . . 11
4621, 45sseldi 3306 . . . . . . . . . 10
47 simprr 734 . . . . . . . . . . 11
4821, 47sseldi 3306 . . . . . . . . . 10
49 moddvds 12814 . . . . . . . . . 10
5044, 46, 48, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . 9
5146zred 10331 . . . . . . . . . . 11
52 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . 12
5352adantr 452 . . . . . . . . . . 11
54 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . 16
55 ifnefalse 3707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
5714, 56syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
5857adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
5945, 58eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . 12 ..^
60 elfzole1 11102 . . . . . . . . . . . 12 ..^
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11
62 elfzolt2 11103 . . . . . . . . . . . 12 ..^
6359, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11
64 modid 11225 . . . . . . . . . . 11
6551, 53, 61, 63, 64syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10
6648zred 10331 . . . . . . . . . . 11
6747, 58eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . 12 ..^
68 elfzole1 11102 . . . . . . . . . . . 12 ..^
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . 11
70 elfzolt2 11103 . . . . . . . . . . . 12 ..^
7167, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11
72 modid 11225 . . . . . . . . . . 11
7366, 53, 69, 71, 72syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10
7465, 73eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9
7550, 74bitr3d 247 . . . . . . . 8
76 simpl 444 . . . . . . . . . 10
7776breq1d 4182 . . . . . . . . 9
78 id 20 . . . . . . . . . . . . 13
79 0nn0 10192 . . . . . . . . . . . . 13
8078, 79syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . 12
8180, 38sylan 458 . . . . . . . . . . 11
8280, 40sylan 458 . . . . . . . . . . 11
8381, 82zsubcld 10336 . . . . . . . . . 10
84 0dvds 12825 . . . . . . . . . 10
8583, 84syl 16 . . . . . . . . 9
8681zcnd 10332 . . . . . . . . . 10
8782zcnd 10332 . . . . . . . . . 10
8886, 87subeq0ad 9377 . . . . . . . . 9
8977, 85, 883bitrd 271 . . . . . . . 8
9075, 89jaoian 760 . . . . . . 7
9143, 90sylanb 459 . . . . . 6
9235, 42, 913bitrd 271 . . . . 5
9392biimpd 199 . . . 4
9493ralrimivva 2758 . . 3
95 dff13 5963 . . 3
9626, 94, 95sylanbrc 646 . 2
97 zmodfzo 11224 . . . . . . . . . . . 12 ..^
9897ancoms 440 . . . . . . . . . . 11 ..^
9957adantr 452 . . . . . . . . . . 11 ..^
10098, 99eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . 10
101 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . 14
102 modabs2 11230 . . . . . . . . . . . . . 14
103101, 52, 102syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13
104 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14
10519, 98sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14
106 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14
107 moddvds 12814 . . . . . . . . . . . . . 14
108104, 105, 106, 107syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13
109103, 108mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
110 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . 14
111110adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13
1121, 6zndvds 16785 . . . . . . . . . . . . 13 RHom RHom
113111, 105, 106, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12 RHom RHom
114109, 113mpbird 224 . . . . . . . . . . 11 RHom RHom
115114eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10 RHom RHom
116 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12 RHom RHom
117116eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11 RHom RHom RHom RHom
118117rspcev 3012 . . . . . . . . . 10 RHom RHom RHom RHom
119100, 115, 118syl2anc 643 . . . . . . . . 9 RHom RHom
120 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
121120eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12 ..^
122121biimpar 472 . . . . . . . . . . 11 ..^
123122, 14syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . 10
124 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10 RHom RHom
125 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12 RHom RHom
126125eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11 RHom RHom RHom RHom
127126rspcev 3012 . . . . . . . . . 10 RHom RHom RHom RHom
128123, 124, 127syl2anc 643 . . . . . . . . 9 RHom RHom
129119, 128jaoian 760 . . . . . . . 8 RHom RHom
13043, 129sylanb 459 . . . . . . 7 RHom RHom
13131, 32syl5eq 2448 . . . . . . . . 9 RHom
132131eqeq2d 2415 . . . . . . . 8 RHom RHom RHom
133132rexbiia 2699 . . . . . . 7 RHom RHom RHom
134130, 133sylibr 204 . . . . . 6 RHom
135134ralrimiva 2749 . . . . 5 RHom
1361, 11, 6znzrhfo 16783 . . . . . 6 RHom
137 fofn 5614 . . . . . 6 RHom RHom
138 eqeq1 2410 . . . . . . . 8 RHom RHom
139138rexbidv 2687 . . . . . . 7 RHom RHom
140139ralrn 5832 . . . . . 6 RHom RHom RHom
141136, 137, 1403syl 19 . . . . 5 RHom RHom
142135, 141mpbird 224 . . . 4 RHom
143 forn 5615 . . . . . 6 RHom RHom
144136, 143syl 16 . . . . 5 RHom
145144raleqdv 2870 . . . 4 RHom
146142, 145mpbid 202 . . 3
147 dffo3 5843 . . 3
14826, 146, 147sylanbrc 646 . 2
149 df-f1o 5420 . 2
15096, 148, 149sylanbrc 646 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wo 358   wa 359   wceq 1649   wcel 1721   wne 2567  wral 2666  wrex 2667   wss 3280  cif 3699   class class class wbr 4172   crn 4838   cres 4839   wfn 5408  wf 5409  wf1 5410  wfo 5411  wf1o 5412  cfv 5413  (class class class)co 6040  cr 8945  cc0 8946   clt 9076   cle 9077   cmin 9247  cn 9956  cn0 10177  cz 10238  crp 10568  ..^cfzo 11090   cmo 11205   cdivides 12807  cbs 13424   ↾s cress 13425  crg 15615  ccrg 15616   RingHom crh 15772  SubRingcsubrg 15819  ℂfldccnfld 16658  RHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736 This theorem is referenced by:  zzngim  16788  znleval  16790  zntoslem  16792  znhash  16794  znunithash  16800  dchrisumlem1  21136 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740
 Copyright terms: Public domain W3C validator