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Theorem znf1o 16787
Description: The function  F enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each  n. When  n  = 
0,  ZZ  /  0 ZZ  =  ZZ  /  {
0 }  ~~  ZZ so we let  W  =  ZZ; otherwise  W  =  { 0 , 
... ,  n  - 
1 } enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
znf1o.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
znf1o.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znf1o.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
znf1o.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znf1o.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
Assertion
Ref Expression
znf1o  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> B )

Proof of Theorem znf1o
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znf1o.y . . . . . . . 8  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
21zncrng 16780 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
3 crngrng 15629 . . . . . . 7  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
42, 3syl 16 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
Ring )
5 znf1o.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (flds  ZZ )
6 eqid 2404 . . . . . . 7  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
75, 6zrhrhm 16748 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  ( Z RingHom  Y ) )
8 zsubrg 16707 . . . . . . . 8  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
95subrgbas 15832 . . . . . . . 8  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
108, 9ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
11 znf1o.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
1210, 11rhmf 15782 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y )  e.  ( Z RingHom  Y )  ->  ( ZRHom `  Y
) : ZZ --> B )
134, 7, 123syl 19 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> B )
14 znf1o.w . . . . . 6  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
15 sseq1 3329 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  =  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  ->  ( ZZ  C_  ZZ  <->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ ) )
16 sseq1 3329 . . . . . . 7  |-  ( ( 0..^ N )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  ->  ( (
0..^ N )  C_  ZZ 
<->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  C_  ZZ )
)
17 ssid 3327 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  ZZ
18 elfzoelz 11095 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  e.  ZZ )
1918ssriv 3312 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ N )  C_  ZZ
2015, 16, 17, 19keephyp 3753 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ
2114, 20eqsstri 3338 . . . . 5  |-  W  C_  ZZ
22 fssres 5569 . . . . 5  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ --> B  /\  W  C_  ZZ )  -> 
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
2313, 21, 22sylancl 644 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
24 znf1o.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
2524feq1i 5544 . . . 4  |-  ( F : W --> B  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
2623, 25sylibr 204 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
--> B )
2724fveq1i 5688 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 x )  =  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )
28 fvres 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2928ad2antrl 709 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
3027, 29syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
3124fveq1i 5688 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  =  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )
32 fvres 5704 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
3332ad2antll 710 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
3431, 33syl5eq 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( F `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
3530, 34eqeq12d 2418 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
) )
36 simpl 444 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  NN0 )
37 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  W )
3821, 37sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
39 simprr 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  W )
4021, 39sseldi 3306 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
411, 6zndvds 16785 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
4236, 38, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
43 elnn0 10179 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
44 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  NN )
45 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  W )
4621, 45sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
47 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  W )
4821, 47sseldi 3306 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
49 moddvds 12814 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
5044, 46, 48, 49syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
5146zred 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  RR )
52 nnrp 10577 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
5352adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  RR+ )
54 nnne0 9988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
55 ifnefalse 3707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =/=  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
5654, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
5714, 56syl5eq 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
5857adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
5945, 58eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ( 0..^ N ) )
60 elfzole1 11102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  x )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  0  <_  x )
62 elfzolt2 11103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  <  N )
6359, 62syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  <  N )
64 modid 11225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  N ) )  ->  ( x  mod  N )  =  x )
6551, 53, 61, 63, 64syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
x  mod  N )  =  x )
6648zred 10331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  RR )
6747, 58eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ( 0..^ N ) )
68 elfzole1 11102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  y )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  0  <_  y )
70 elfzolt2 11103 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  y  <  N )
7167, 70syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  <  N )
72 modid 11225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( y  mod  N )  =  y )
7366, 53, 69, 71, 72syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
y  mod  N )  =  y )
7465, 73eqeq12d 2418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  x  =  y ) )
7550, 74bitr3d 247 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
76 simpl 444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  =  0 )
7776breq1d 4182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  0  ||  ( x  -  y
) ) )
78 id 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
79 0nn0 10192 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
8078, 79syl6eqel 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  N  e.  NN0 )
8180, 38sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
8280, 40sylan 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
8381, 82zsubcld 10336 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
x  -  y )  e.  ZZ )
84 0dvds 12825 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  -  y )  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
8583, 84syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
0  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
8681zcnd 10332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  CC )
8782zcnd 10332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  CC )
8886, 87subeq0ad 9377 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  -  y
)  =  0  <->  x  =  y ) )
8977, 85, 883bitrd 271 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
9075, 89jaoian 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( N  ||  (
x  -  y )  <-> 
x  =  y ) )
9143, 90sylanb 459 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
9235, 42, 913bitrd 271 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
9392biimpd 199 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
9493ralrimivva 2758 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  W  A. y  e.  W  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
95 dff13 5963 . . 3  |-  ( F : W -1-1-> B  <->  ( F : W --> B  /\  A. x  e.  W  A. y  e.  W  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
9626, 94, 95sylanbrc 646 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W -1-1-> B )
97 zmodfzo 11224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9897ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9957adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
10098, 99eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  W )
101 zre 10242 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
102 modabs2 11230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( z  mod 
N )  mod  N
)  =  ( z  mod  N ) )
103101, 52, 102syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( z  mod 
N )  mod  N
)  =  ( z  mod  N ) )
104 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
10519, 98sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ZZ )
106 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
107 moddvds 12814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( z  mod  N
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( z  mod  N )  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( (
z  mod  N )  -  z ) ) )
108104, 105, 106, 107syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( z  mod  N )  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( (
z  mod  N )  -  z ) ) )
109103, 108mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( ( z  mod  N )  -  z ) )
110 nnnn0 10184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
111110adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN0 )
1121, 6zndvds 16785 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( z  mod  N
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  <->  N  ||  (
( z  mod  N
)  -  z ) ) )
113111, 105, 106, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  <->  N  ||  (
( z  mod  N
)  -  z ) ) )
114109, 113mpbird 224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
115114eqcomd 2409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  mod  N
) ) )
116 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  mod 
N )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
) )
117116eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  mod 
N )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  ( z  mod  N ) ) ) )
118117rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  mod  N
)  e.  W  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  mod  N
) ) )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
119100, 115, 118syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
120 iftrue 3705 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ZZ )
121120eleq2d 2471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  (
z  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  <->  z  e.  ZZ ) )
122121biimpar 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )
123122, 14syl6eleqr 2495 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  W
)
124 eqidd 2405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
125 fveq2 5687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
) )
126125eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )
) )
127126rspcev 3012 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  W  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
128123, 124, 127syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
129119, 128jaoian 760 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
)
13043, 129sylanb 459 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
13131, 32syl5eq 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  W  ->  ( F `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
132131eqeq2d 2415 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
) )
133132rexbiia 2699 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y )  <->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
)
134130, 133sylibr 204 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y ) )
135134ralrimiva 2749 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y ) )
1361, 11, 6znzrhfo 16783 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B )
137 fofn 5614 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B  ->  ( ZRHom `  Y )  Fn  ZZ )
138 eqeq1 2410 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( x  =  ( F `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
139138rexbidv 2687 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
140139ralrn 5832 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y )  Fn  ZZ  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
141136, 137, 1403syl 19 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
142135, 141mpbird 224 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) )
143 forn 5615 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  B )
144136, 143syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  B )
145144raleqdv 2870 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) ) )
146142, 145mpbid 202 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) )
147 dffo3 5843 . . 3  |-  ( F : W -onto-> B  <->  ( F : W --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) ) )
14826, 146, 147sylanbrc 646 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W -onto-> B )
149 df-f1o 5420 . 2  |-  ( F : W -1-1-onto-> B  <->  ( F : W -1-1-> B  /\  F : W -onto-> B ) )
15096, 148, 149sylanbrc 646 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   ifcif 3699   class class class wbr 4172   ran crn 4838    |` cres 4839    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -onto->wfo 5411   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946    < clt 9076    <_ cle 9077    - cmin 9247   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   RR+crp 10568  ..^cfzo 11090    mod cmo 11205    || cdivides 12807   Basecbs 13424   ↾s cress 13425   Ringcrg 15615   CRingccrg 15616   RingHom crh 15772  SubRingcsubrg 15819  ℂfldccnfld 16658   ZRHomczrh 16733  ℤ/nczn 16736
This theorem is referenced by:  zzngim  16788  znleval  16790  zntoslem  16792  znhash  16794  znunithash  16800  dchrisumlem1  21136
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740
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