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Theorem znf1o 18717
Description: The function  F enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each  n. When  n  = 
0,  ZZ  /  0 ZZ  =  ZZ  /  {
0 }  ~~  ZZ so we let  W  =  ZZ; otherwise  W  =  { 0 , 
... ,  n  - 
1 } enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znf1o.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znf1o.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
znf1o.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znf1o.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
Assertion
Ref Expression
znf1o  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> B )

Proof of Theorem znf1o
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znf1o.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
21zncrng 18710 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
3 crngring 17336 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
4 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
54zrhrhm 18676 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
6 zringbas 18621 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
7 znf1o.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
86, 7rhmf 17502 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> B )
92, 3, 5, 84syl 21 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> B )
10 znf1o.w . . . . . 6  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
11 sseq1 3520 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  =  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  ->  ( ZZ  C_  ZZ  <->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ ) )
12 sseq1 3520 . . . . . . 7  |-  ( ( 0..^ N )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  ->  ( (
0..^ N )  C_  ZZ 
<->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  C_  ZZ )
)
13 ssid 3518 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  ZZ
14 elfzoelz 11826 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  e.  ZZ )
1514ssriv 3503 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ N )  C_  ZZ
1611, 12, 13, 15keephyp 4009 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ
1710, 16eqsstri 3529 . . . . 5  |-  W  C_  ZZ
18 fssres 5757 . . . . 5  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ --> B  /\  W  C_  ZZ )  -> 
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
199, 17, 18sylancl 662 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
20 znf1o.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
2120feq1i 5729 . . . 4  |-  ( F : W --> B  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
2219, 21sylibr 212 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
--> B )
2320fveq1i 5873 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 x )  =  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )
24 fvres 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2524ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2623, 25syl5eq 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2720fveq1i 5873 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  =  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )
28 fvres 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
2928ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
3027, 29syl5eq 2510 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( F `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
3126, 30eqeq12d 2479 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
) )
32 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  NN0 )
33 simprl 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  W )
3417, 33sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
35 simprr 757 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  W )
3617, 35sseldi 3497 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
371, 4zndvds 18715 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
3832, 34, 36, 37syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
39 elnn0 10818 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
40 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  NN )
41 simprl 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  W )
4217, 41sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
43 simprr 757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  W )
4417, 43sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
45 moddvds 14005 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
4640, 42, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
4742zred 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  RR )
48 nnrp 11254 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  RR+ )
50 nnne0 10589 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
51 ifnefalse 3956 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =/=  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
5310, 52syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
5541, 54eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ( 0..^ N ) )
56 elfzole1 11834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  x )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  0  <_  x )
58 elfzolt2 11835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  <  N )
5955, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  <  N )
60 modid 12023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  N ) )  ->  ( x  mod  N )  =  x )
6147, 49, 57, 59, 60syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
x  mod  N )  =  x )
6244zred 10990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  RR )
6343, 54eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ( 0..^ N ) )
64 elfzole1 11834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  y )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  0  <_  y )
66 elfzolt2 11835 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  y  <  N )
6763, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  <  N )
68 modid 12023 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( y  mod  N )  =  y )
6962, 49, 65, 67, 68syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
y  mod  N )  =  y )
7061, 69eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  x  =  y ) )
7146, 70bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
72 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  =  0 )
7372breq1d 4466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  0  ||  ( x  -  y
) ) )
74 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
75 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
7674, 75syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  N  e.  NN0 )
7776, 34sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
7876, 36sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
7977, 78zsubcld 10995 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
x  -  y )  e.  ZZ )
80 0dvds 14016 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  -  y )  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
0  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
8277zcnd 10991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  CC )
8378zcnd 10991 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  CC )
8482, 83subeq0ad 9960 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  -  y
)  =  0  <->  x  =  y ) )
8573, 81, 843bitrd 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
8671, 85jaoian 784 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( N  ||  (
x  -  y )  <-> 
x  =  y ) )
8739, 86sylanb 472 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
8831, 38, 873bitrd 279 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
8988biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
9089ralrimivva 2878 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  W  A. y  e.  W  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
91 dff13 6167 . . 3  |-  ( F : W -1-1-> B  <->  ( F : W --> B  /\  A. x  e.  W  A. y  e.  W  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
9222, 90, 91sylanbrc 664 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W -1-1-> B )
93 zmodfzo 12021 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9493ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9553adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
9694, 95eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  W )
97 zre 10889 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
98 modabs2 12033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( z  mod 
N )  mod  N
)  =  ( z  mod  N ) )
9997, 48, 98syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( z  mod 
N )  mod  N
)  =  ( z  mod  N ) )
100 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
10115, 94sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ZZ )
102 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
103 moddvds 14005 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( z  mod  N
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( z  mod  N )  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( (
z  mod  N )  -  z ) ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( z  mod  N )  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( (
z  mod  N )  -  z ) ) )
10599, 104mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( ( z  mod  N )  -  z ) )
106 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN0 )
1081, 4zndvds 18715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( z  mod  N
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  <->  N  ||  (
( z  mod  N
)  -  z ) ) )
109107, 101, 102, 108syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  <->  N  ||  (
( z  mod  N
)  -  z ) ) )
110105, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
111110eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  mod  N
) ) )
112 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  mod 
N )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
) )
113112eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  mod 
N )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  ( z  mod  N ) ) ) )
114113rspcev 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  mod  N
)  e.  W  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  mod  N
) ) )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
11596, 111, 114syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
116 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ZZ )
117116eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  (
z  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  <->  z  e.  ZZ ) )
118117biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )
119118, 10syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  W
)
120 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
121 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
) )
122121eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )
) )
123122rspcev 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  W  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
124119, 120, 123syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
125115, 124jaoian 784 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
)
12639, 125sylanb 472 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
12727, 28syl5eq 2510 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  W  ->  ( F `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
128127eqeq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
) )
129128rexbiia 2958 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y )  <->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
)
130126, 129sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y ) )
131130ralrimiva 2871 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y ) )
1321, 7, 4znzrhfo 18713 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B )
133 fofn 5803 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B  ->  ( ZRHom `  Y )  Fn  ZZ )
134 eqeq1 2461 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( x  =  ( F `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
135134rexbidv 2968 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
136135ralrn 6035 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y )  Fn  ZZ  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
137132, 133, 1363syl 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
138131, 137mpbird 232 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) )
139 forn 5804 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  B )
140132, 139syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  B )
141140raleqdv 3060 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) ) )
142138, 141mpbid 210 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) )
143 dffo3 6047 . . 3  |-  ( F : W -onto-> B  <->  ( F : W --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) ) )
14422, 142, 143sylanbrc 664 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W -onto-> B )
145 df-f1o 5601 . 2  |-  ( F : W -1-1-onto-> B  <->  ( F : W -1-1-> B  /\  F : W -onto-> B ) )
14692, 144, 145sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808    C_ wss 3471   ifcif 3944   class class class wbr 4456   ran crn 5009    |` cres 5010    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   RR+crp 11245  ..^cfzo 11821    mod cmo 11999    || cdvds 13998   Basecbs 14644   Ringcrg 17325   CRingccrg 17326   RingHom crh 17488  ℤringzring 18615   ZRHomczrh 18664  ℤ/nczn 18667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-imas 14925  df-qus 14926  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-rnghom 17491  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671
This theorem is referenced by:  zzngim  18718  znleval  18720  zntoslem  18722  znhash  18724  znunithash  18730  dchrisumlem1  23800
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