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Theorem znf1o 18459
Description: The function  F enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each  n. When  n  = 
0,  ZZ  /  0 ZZ  =  ZZ  /  {
0 }  ~~  ZZ so we let  W  =  ZZ; otherwise  W  =  { 0 , 
... ,  n  - 
1 } enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znf1o.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znf1o.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
znf1o.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znf1o.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
Assertion
Ref Expression
znf1o  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> B )

Proof of Theorem znf1o
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znf1o.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
21zncrng 18452 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
3 crngring 17081 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
4 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
54zrhrhm 18418 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
6 zringbas 18364 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
7 znf1o.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
86, 7rhmf 17247 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> B )
92, 3, 5, 84syl 21 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> B )
10 znf1o.w . . . . . 6  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
11 sseq1 3530 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  =  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  ->  ( ZZ  C_  ZZ  <->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ ) )
12 sseq1 3530 . . . . . . 7  |-  ( ( 0..^ N )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  ->  ( (
0..^ N )  C_  ZZ 
<->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  C_  ZZ )
)
13 ssid 3528 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  ZZ
14 elfzoelz 11809 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  e.  ZZ )
1514ssriv 3513 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ N )  C_  ZZ
1611, 12, 13, 15keephyp 4010 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ
1710, 16eqsstri 3539 . . . . 5  |-  W  C_  ZZ
18 fssres 5757 . . . . 5  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ --> B  /\  W  C_  ZZ )  -> 
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
199, 17, 18sylancl 662 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
20 znf1o.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
2120feq1i 5729 . . . 4  |-  ( F : W --> B  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
2219, 21sylibr 212 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
--> B )
2320fveq1i 5873 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 x )  =  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )
24 fvres 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2524ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2623, 25syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2720fveq1i 5873 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  =  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )
28 fvres 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
2928ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
3027, 29syl5eq 2520 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( F `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
3126, 30eqeq12d 2489 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
) )
32 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  NN0 )
33 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  W )
3417, 33sseldi 3507 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
35 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  W )
3617, 35sseldi 3507 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
371, 4zndvds 18457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
3832, 34, 36, 37syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
39 elnn0 10809 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
40 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  NN )
41 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  W )
4217, 41sseldi 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
43 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  W )
4417, 43sseldi 3507 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
45 moddvds 13871 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
4640, 42, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
4742zred 10978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  RR )
48 nnrp 11241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  RR+ )
50 nnne0 10580 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
51 ifnefalse 3957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =/=  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
5310, 52syl5eq 2520 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
5541, 54eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ( 0..^ N ) )
56 elfzole1 11816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  x )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  0  <_  x )
58 elfzolt2 11817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  <  N )
5955, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  <  N )
60 modid 12000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  N ) )  ->  ( x  mod  N )  =  x )
6147, 49, 57, 59, 60syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
x  mod  N )  =  x )
6244zred 10978 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  RR )
6343, 54eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ( 0..^ N ) )
64 elfzole1 11816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  y )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  0  <_  y )
66 elfzolt2 11817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  y  <  N )
6763, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  <  N )
68 modid 12000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( y  mod  N )  =  y )
6962, 49, 65, 67, 68syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
y  mod  N )  =  y )
7061, 69eqeq12d 2489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  x  =  y ) )
7146, 70bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
72 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  =  0 )
7372breq1d 4463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  0  ||  ( x  -  y
) ) )
74 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
75 0nn0 10822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
7674, 75syl6eqel 2563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  N  e.  NN0 )
7776, 34sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
7876, 36sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
7977, 78zsubcld 10983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
x  -  y )  e.  ZZ )
80 0dvds 13882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  -  y )  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
0  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
8277zcnd 10979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  CC )
8378zcnd 10979 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  CC )
8482, 83subeq0ad 9952 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  -  y
)  =  0  <->  x  =  y ) )
8573, 81, 843bitrd 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
8671, 85jaoian 782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( N  ||  (
x  -  y )  <-> 
x  =  y ) )
8739, 86sylanb 472 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
8831, 38, 873bitrd 279 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
8988biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
9089ralrimivva 2888 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  W  A. y  e.  W  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
91 dff13 6165 . . 3  |-  ( F : W -1-1-> B  <->  ( F : W --> B  /\  A. x  e.  W  A. y  e.  W  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
9222, 90, 91sylanbrc 664 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W -1-1-> B )
93 zmodfzo 11998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9493ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9553adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
9694, 95eleqtrrd 2558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  W )
97 zre 10880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
98 modabs2 12010 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( z  mod 
N )  mod  N
)  =  ( z  mod  N ) )
9997, 48, 98syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( z  mod 
N )  mod  N
)  =  ( z  mod  N ) )
100 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
10115, 94sseldi 3507 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ZZ )
102 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
103 moddvds 13871 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( z  mod  N
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( z  mod  N )  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( (
z  mod  N )  -  z ) ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( z  mod  N )  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( (
z  mod  N )  -  z ) ) )
10599, 104mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( ( z  mod  N )  -  z ) )
106 nnnn0 10814 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN0 )
1081, 4zndvds 18457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( z  mod  N
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  <->  N  ||  (
( z  mod  N
)  -  z ) ) )
109107, 101, 102, 108syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  <->  N  ||  (
( z  mod  N
)  -  z ) ) )
110105, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
111110eqcomd 2475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  mod  N
) ) )
112 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  mod 
N )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
) )
113112eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  mod 
N )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  ( z  mod  N ) ) ) )
114113rspcev 3219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  mod  N
)  e.  W  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  mod  N
) ) )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
11596, 111, 114syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
116 iftrue 3951 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ZZ )
117116eleq2d 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  (
z  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  <->  z  e.  ZZ ) )
118117biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )
119118, 10syl6eleqr 2566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  W
)
120 eqidd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
121 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
) )
122121eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )
) )
123122rspcev 3219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  W  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
124119, 120, 123syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
125115, 124jaoian 782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
)
12639, 125sylanb 472 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
12727, 28syl5eq 2520 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  W  ->  ( F `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
128127eqeq2d 2481 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
) )
129128rexbiia 2968 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y )  <->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
)
130126, 129sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y ) )
131130ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y ) )
1321, 7, 4znzrhfo 18455 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B )
133 fofn 5803 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B  ->  ( ZRHom `  Y )  Fn  ZZ )
134 eqeq1 2471 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( x  =  ( F `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
135134rexbidv 2978 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
136135ralrn 6035 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y )  Fn  ZZ  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
137132, 133, 1363syl 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
138131, 137mpbird 232 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) )
139 forn 5804 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  B )
140132, 139syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  B )
141140raleqdv 3069 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) ) )
142138, 141mpbid 210 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) )
143 dffo3 6047 . . 3  |-  ( F : W -onto-> B  <->  ( F : W --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) ) )
14422, 142, 143sylanbrc 664 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W -onto-> B )
145 df-f1o 5601 . 2  |-  ( F : W -1-1-onto-> B  <->  ( F : W -1-1-> B  /\  F : W -onto-> B ) )
14692, 144, 145sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818    C_ wss 3481   ifcif 3945   class class class wbr 4453   ran crn 5006    |` cres 5007    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -onto->wfo 5592   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   RRcr 9503   0cc0 9504    < clt 9640    <_ cle 9641    - cmin 9817   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   RR+crp 11232  ..^cfzo 11804    mod cmo 11976    || cdivides 13864   Basecbs 14507   Ringcrg 17070   CRingccrg 17071   RingHom crh 17233  ℤringzring 18358   ZRHomczrh 18406  ℤ/nczn 18409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-tpos 6967  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-dvds 13865  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-0g 14714  df-imas 14780  df-qus 14781  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-mhm 15839  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-mulg 15932  df-subg 16070  df-nsg 16071  df-eqg 16072  df-ghm 16137  df-cmn 16673  df-abl 16674  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-oppr 17144  df-dvdsr 17162  df-rnghom 17236  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-lsp 17489  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-lidl 17691  df-rsp 17692  df-2idl 17750  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-zrh 18410  df-zn 18413
This theorem is referenced by:  zzngim  18460  znleval  18462  zntoslem  18464  znhash  18466  znunithash  18472  dchrisumlem1  23540
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