Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znf1o Structured version   Unicode version

Theorem znf1o 18717
 Description: The function enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each . When , so we let ; otherwise enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znf1o.y ℤ/n
znf1o.b
znf1o.f RHom
znf1o.w ..^
Assertion
Ref Expression
znf1o

Proof of Theorem znf1o
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znf1o.y . . . . . . 7 ℤ/n
21zncrng 18710 . . . . . 6
3 crngring 17336 . . . . . 6
4 eqid 2457 . . . . . . 7 RHom RHom
54zrhrhm 18676 . . . . . 6 RHom ring RingHom
6 zringbas 18621 . . . . . . 7 ring
7 znf1o.b . . . . . . 7
86, 7rhmf 17502 . . . . . 6 RHom ring RingHom RHom
92, 3, 5, 84syl 21 . . . . 5 RHom
10 znf1o.w . . . . . 6 ..^
11 sseq1 3520 . . . . . . 7 ..^ ..^
12 sseq1 3520 . . . . . . 7 ..^ ..^ ..^ ..^
13 ssid 3518 . . . . . . 7
14 elfzoelz 11826 . . . . . . . 8 ..^
1514ssriv 3503 . . . . . . 7 ..^
1611, 12, 13, 15keephyp 4009 . . . . . 6 ..^
1710, 16eqsstri 3529 . . . . 5
18 fssres 5757 . . . . 5 RHom RHom
199, 17, 18sylancl 662 . . . 4 RHom
20 znf1o.f . . . . 5 RHom
2120feq1i 5729 . . . 4 RHom
2219, 21sylibr 212 . . 3
2320fveq1i 5873 . . . . . . . 8 RHom
24 fvres 5886 . . . . . . . . 9 RHom RHom
2524ad2antrl 727 . . . . . . . 8 RHom RHom
2623, 25syl5eq 2510 . . . . . . 7 RHom
2720fveq1i 5873 . . . . . . . 8 RHom
28 fvres 5886 . . . . . . . . 9 RHom RHom
2928ad2antll 728 . . . . . . . 8 RHom RHom
3027, 29syl5eq 2510 . . . . . . 7 RHom
3126, 30eqeq12d 2479 . . . . . 6 RHom RHom
32 simpl 457 . . . . . . 7
33 simprl 756 . . . . . . . 8
3417, 33sseldi 3497 . . . . . . 7
35 simprr 757 . . . . . . . 8
3617, 35sseldi 3497 . . . . . . 7
371, 4zndvds 18715 . . . . . . 7 RHom RHom
3832, 34, 36, 37syl3anc 1228 . . . . . 6 RHom RHom
39 elnn0 10818 . . . . . . 7
40 simpl 457 . . . . . . . . . 10
41 simprl 756 . . . . . . . . . . 11
4217, 41sseldi 3497 . . . . . . . . . 10
43 simprr 757 . . . . . . . . . . 11
4417, 43sseldi 3497 . . . . . . . . . 10
45 moddvds 14005 . . . . . . . . . 10
4640, 42, 44, 45syl3anc 1228 . . . . . . . . 9
4742zred 10990 . . . . . . . . . . 11
48 nnrp 11254 . . . . . . . . . . . 12
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11
50 nnne0 10589 . . . . . . . . . . . . . . . 16
51 ifnefalse 3956 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ..^ ..^
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15 ..^ ..^
5310, 52syl5eq 2510 . . . . . . . . . . . . . 14 ..^
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
5541, 54eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . 12 ..^
56 elfzole1 11834 . . . . . . . . . . . 12 ..^
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11
58 elfzolt2 11835 . . . . . . . . . . . 12 ..^
5955, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11
60 modid 12023 . . . . . . . . . . 11
6147, 49, 57, 59, 60syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
6244zred 10990 . . . . . . . . . . 11
6343, 54eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . 12 ..^
64 elfzole1 11834 . . . . . . . . . . . 12 ..^
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11
66 elfzolt2 11835 . . . . . . . . . . . 12 ..^
6763, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11
68 modid 12023 . . . . . . . . . . 11
6962, 49, 65, 67, 68syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
7061, 69eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9
7146, 70bitr3d 255 . . . . . . . 8
72 simpl 457 . . . . . . . . . 10
7372breq1d 4466 . . . . . . . . 9
74 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
75 0nn0 10831 . . . . . . . . . . . . 13
7674, 75syl6eqel 2553 . . . . . . . . . . . 12
7776, 34sylan 471 . . . . . . . . . . 11
7876, 36sylan 471 . . . . . . . . . . 11
7977, 78zsubcld 10995 . . . . . . . . . 10
80 0dvds 14016 . . . . . . . . . 10
8179, 80syl 16 . . . . . . . . 9
8277zcnd 10991 . . . . . . . . . 10
8378zcnd 10991 . . . . . . . . . 10
8482, 83subeq0ad 9960 . . . . . . . . 9
8573, 81, 843bitrd 279 . . . . . . . 8
8671, 85jaoian 784 . . . . . . 7
8739, 86sylanb 472 . . . . . 6
8831, 38, 873bitrd 279 . . . . 5
8988biimpd 207 . . . 4
9089ralrimivva 2878 . . 3
91 dff13 6167 . . 3
9222, 90, 91sylanbrc 664 . 2
93 zmodfzo 12021 . . . . . . . . . . . 12 ..^
9493ancoms 453 . . . . . . . . . . 11 ..^
9553adantr 465 . . . . . . . . . . 11 ..^
9694, 95eleqtrrd 2548 . . . . . . . . . 10
97 zre 10889 . . . . . . . . . . . . . 14
98 modabs2 12033 . . . . . . . . . . . . . 14
9997, 48, 98syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13
100 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14
10115, 94sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . . 14
102 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14
103 moddvds 14005 . . . . . . . . . . . . . 14
104100, 101, 102, 103syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13
10599, 104mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12
106 nnnn0 10823 . . . . . . . . . . . . . 14
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13
1081, 4zndvds 18715 . . . . . . . . . . . . 13 RHom RHom
109107, 101, 102, 108syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12 RHom RHom
110105, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . 11 RHom RHom
111110eqcomd 2465 . . . . . . . . . 10 RHom RHom
112 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12 RHom RHom
113112eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11 RHom RHom RHom RHom
114113rspcev 3210 . . . . . . . . . 10 RHom RHom RHom RHom
11596, 111, 114syl2anc 661 . . . . . . . . 9 RHom RHom
116 iftrue 3950 . . . . . . . . . . . . 13 ..^
117116eleq2d 2527 . . . . . . . . . . . 12 ..^
118117biimpar 485 . . . . . . . . . . 11 ..^
119118, 10syl6eleqr 2556 . . . . . . . . . 10
120 eqidd 2458 . . . . . . . . . 10 RHom RHom
121 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12 RHom RHom
122121eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11 RHom RHom RHom RHom
123122rspcev 3210 . . . . . . . . . 10 RHom RHom RHom RHom
124119, 120, 123syl2anc 661 . . . . . . . . 9 RHom RHom
125115, 124jaoian 784 . . . . . . . 8 RHom RHom
12639, 125sylanb 472 . . . . . . 7 RHom RHom
12727, 28syl5eq 2510 . . . . . . . . 9 RHom
128127eqeq2d 2471 . . . . . . . 8 RHom RHom RHom
129128rexbiia 2958 . . . . . . 7 RHom RHom RHom
130126, 129sylibr 212 . . . . . 6 RHom
131130ralrimiva 2871 . . . . 5 RHom
1321, 7, 4znzrhfo 18713 . . . . . 6 RHom
133 fofn 5803 . . . . . 6 RHom RHom
134 eqeq1 2461 . . . . . . . 8 RHom RHom
135134rexbidv 2968 . . . . . . 7 RHom RHom
136135ralrn 6035 . . . . . 6 RHom RHom RHom
137132, 133, 1363syl 20 . . . . 5 RHom RHom
138131, 137mpbird 232 . . . 4 RHom
139 forn 5804 . . . . . 6 RHom RHom
140132, 139syl 16 . . . . 5 RHom
141140raleqdv 3060 . . . 4 RHom
142138, 141mpbid 210 . . 3
143 dffo3 6047 . . 3
14422, 142, 143sylanbrc 664 . 2
145 df-f1o 5601 . 2
14692, 144, 145sylanbrc 664 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wrex 2808   wss 3471  cif 3944   class class class wbr 4456   crn 5009   cres 5010   wfn 5589  wf 5590  wf1 5591  wfo 5592  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296  cr 9508  cc0 9509   clt 9645   cle 9646   cmin 9824  cn 10556  cn0 10816  cz 10885  crp 11245  ..^cfzo 11821   cmo 11999   cdvds 13998  cbs 14644  crg 17325  ccrg 17326   RingHom crh 17488  ℤringzring 18615  RHomczrh 18664  ℤ/nℤczn 18667 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-dvds 13999  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-0g 14859  df-imas 14925  df-qus 14926  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-mhm 16093  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-nsg 16326  df-eqg 16327  df-ghm 16392  df-cmn 16927  df-abl 16928  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-oppr 17399  df-dvdsr 17417  df-rnghom 17491  df-subrg 17554  df-lmod 17641  df-lss 17706  df-lsp 17745  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-lidl 17947  df-rsp 17948  df-2idl 18007  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-zrh 18668  df-zn 18671 This theorem is referenced by:  zzngim  18718  znleval  18720  zntoslem  18722  znhash  18724  znunithash  18730  dchrisumlem1  23800
 Copyright terms: Public domain W3C validator