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Theorem znf1o 17989
Description: The function  F enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each  n. When  n  = 
0,  ZZ  /  0 ZZ  =  ZZ  /  {
0 }  ~~  ZZ so we let  W  =  ZZ; otherwise  W  =  { 0 , 
... ,  n  - 
1 } enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znf1o.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znf1o.b  |-  B  =  ( Base `  Y
)
znf1o.f  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
znf1o.w  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
Assertion
Ref Expression
znf1o  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> B )

Proof of Theorem znf1o
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znf1o.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
21zncrng 17982 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
3 crngrng 16660 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
4 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
54zrhrhm 17948 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y
) )
6 zringbas 17894 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
7 znf1o.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  Y
)
86, 7rhmf 16821 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y )  e.  (ring RingHom  Y )  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> B )
92, 3, 5, 84syl 21 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ --> B )
10 znf1o.w . . . . . 6  |-  W  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )
11 sseq1 3382 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  =  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  ->  ( ZZ  C_  ZZ  <->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ ) )
12 sseq1 3382 . . . . . . 7  |-  ( ( 0..^ N )  =  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  ->  ( (
0..^ N )  C_  ZZ 
<->  if ( N  =  0 ,  ZZ , 
( 0..^ N ) )  C_  ZZ )
)
13 ssid 3380 . . . . . . 7  |-  ZZ  C_  ZZ
14 elfzoelz 11558 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  e.  ZZ )
1514ssriv 3365 . . . . . . 7  |-  ( 0..^ N )  C_  ZZ
1611, 12, 13, 15keephyp 3859 . . . . . 6  |-  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  C_  ZZ
1710, 16eqsstri 3391 . . . . 5  |-  W  C_  ZZ
18 fssres 5583 . . . . 5  |-  ( ( ( ZRHom `  Y
) : ZZ --> B  /\  W  C_  ZZ )  -> 
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
199, 17, 18sylancl 662 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
20 znf1o.f . . . . 5  |-  F  =  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W )
2120feq1i 5556 . . . 4  |-  ( F : W --> B  <->  ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) : W --> B )
2219, 21sylibr 212 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
--> B )
2320fveq1i 5697 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 x )  =  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )
24 fvres 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2524ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2623, 25syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( F `  x )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
) )
2720fveq1i 5697 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 y )  =  ( ( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )
28 fvres 5709 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
2928ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y )  |`  W ) `
 y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
3027, 29syl5eq 2487 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( F `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
3126, 30eqeq12d 2457 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
) )
32 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  NN0 )
33 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  W )
3417, 33sseldi 3359 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
35 simprr 756 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  W )
3617, 35sseldi 3359 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
371, 4zndvds 17987 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
3832, 34, 36, 37syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
39 elnn0 10586 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  NN  \/  N  =  0 ) )
40 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  NN )
41 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  W )
4217, 41sseldi 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
43 simprr 756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  W )
4417, 43sseldi 3359 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
45 moddvds 13547 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
4640, 42, 44, 45syl3anc 1218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  N  ||  (
x  -  y ) ) )
4742zred 10752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  RR )
48 nnrp 11005 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR+ )
4948adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  e.  RR+ )
50 nnne0 10359 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  e.  NN  ->  N  =/=  0 )
51 ifnefalse 3806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( N  =/=  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  NN  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ( 0..^ N ) )
5310, 52syl5eq 2487 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
5453adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
5541, 54eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ( 0..^ N ) )
56 elfzole1 11565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  x )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  0  <_  x )
58 elfzolt2 11566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 0..^ N )  ->  x  <  N )
5955, 58syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  <  N )
60 modid 11737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( x  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  x  /\  x  <  N ) )  ->  ( x  mod  N )  =  x )
6147, 49, 57, 59, 60syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
x  mod  N )  =  x )
6244zred 10752 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  RR )
6343, 54eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ( 0..^ N ) )
64 elfzole1 11565 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  0  <_  y )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  0  <_  y )
66 elfzolt2 11566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( 0..^ N )  ->  y  <  N )
6763, 66syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  <  N )
68 modid 11737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  /\  ( 0  <_  y  /\  y  <  N ) )  ->  ( y  mod  N )  =  y )
6962, 49, 65, 67, 68syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
y  mod  N )  =  y )
7061, 69eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  mod  N
)  =  ( y  mod  N )  <->  x  =  y ) )
7146, 70bitr3d 255 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
72 simpl 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  N  =  0 )
7372breq1d 4307 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  0  ||  ( x  -  y
) ) )
74 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  N  =  0 )
75 0nn0 10599 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  NN0
7674, 75syl6eqel 2531 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  N  e.  NN0 )
7776, 34sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  ZZ )
7876, 36sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  ZZ )
7977, 78zsubcld 10757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
x  -  y )  e.  ZZ )
80 0dvds 13558 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  -  y )  e.  ZZ  ->  (
0  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
0  ||  ( x  -  y )  <->  ( x  -  y )  =  0 ) )
8277zcnd 10753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  x  e.  CC )
8378zcnd 10753 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  y  e.  CC )
8482, 83subeq0ad 9734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( x  -  y
)  =  0  <->  x  =  y ) )
8573, 81, 843bitrd 279 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  =  0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
8671, 85jaoian 782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W ) )  -> 
( N  ||  (
x  -  y )  <-> 
x  =  y ) )
8739, 86sylanb 472 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  ( N  ||  ( x  -  y )  <->  x  =  y ) )
8831, 38, 873bitrd 279 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  <->  x  =  y ) )
8988biimpd 207 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  W  /\  y  e.  W
) )  ->  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
)
9089ralrimivva 2813 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  W  A. y  e.  W  ( ( F `  x )  =  ( F `  y )  ->  x  =  y ) )
91 dff13 5976 . . 3  |-  ( F : W -1-1-> B  <->  ( F : W --> B  /\  A. x  e.  W  A. y  e.  W  (
( F `  x
)  =  ( F `
 y )  ->  x  =  y )
) )
9222, 90, 91sylanbrc 664 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W -1-1-> B )
93 zmodfzo 11735 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  N  e.  NN )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9493ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ( 0..^ N ) )
9553adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  W  =  ( 0..^ N ) )
9694, 95eleqtrrd 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  W )
97 zre 10655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
98 modabs2 11747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( z  e.  RR  /\  N  e.  RR+ )  -> 
( ( z  mod 
N )  mod  N
)  =  ( z  mod  N ) )
9997, 48, 98syl2anr 478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( z  mod 
N )  mod  N
)  =  ( z  mod  N ) )
100 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN )
10115, 94sseldi 3359 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( z  mod  N
)  e.  ZZ )
102 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  ZZ )
103 moddvds 13547 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  NN  /\  ( z  mod  N
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( z  mod  N )  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( (
z  mod  N )  -  z ) ) )
104100, 101, 102, 103syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( z  mod  N )  mod 
N )  =  ( z  mod  N )  <-> 
N  ||  ( (
z  mod  N )  -  z ) ) )
10599, 104mpbid 210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  ||  ( ( z  mod  N )  -  z ) )
106 nnnn0 10591 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
107106adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  N  e.  NN0 )
1081, 4zndvds 17987 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( z  mod  N
)  e.  ZZ  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  <->  N  ||  (
( z  mod  N
)  -  z ) ) )
109107, 101, 102, 108syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  <->  N  ||  (
( z  mod  N
)  -  z ) ) )
110105, 109mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
111110eqcomd 2448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  mod  N
) ) )
112 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  ( z  mod 
N )  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  (
z  mod  N )
) )
113112eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( z  mod 
N )  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  ( z  mod  N ) ) ) )
114113rspcev 3078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  mod  N
)  e.  W  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  ( z  mod  N
) ) )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
11596, 111, 114syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
116 iftrue 3802 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( N  =  0  ->  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  =  ZZ )
117116eleq2d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  =  0  ->  (
z  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) )  <->  z  e.  ZZ ) )
118117biimpar 485 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  if ( N  =  0 ,  ZZ ,  ( 0..^ N ) ) )
119118, 10syl6eleqr 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  z  e.  W
)
120 eqidd 2444 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )
121 fveq2 5696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  z  ->  (
( ZRHom `  Y
) `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
) )
122121eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  z  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )
) )
123122rspcev 3078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  W  /\  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z ) )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
124119, 120, 123syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  =  0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
125115, 124jaoian 782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  \/  N  =  0
)  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
)
12639, 125sylanb 472 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y ) )
12727, 28syl5eq 2487 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  W  ->  ( F `  y )  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  y
) )
128127eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  W  ->  (
( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
) )
129128rexbiia 2753 . . . . . . 7  |-  ( E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y )  <->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( ( ZRHom `  Y
) `  y )
)
130126, 129sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  z  e.  ZZ )  ->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y ) )
131130ralrimiva 2804 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  =  ( F `
 y ) )
1321, 7, 4znzrhfo 17985 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B )
133 fofn 5627 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B  ->  ( ZRHom `  Y )  Fn  ZZ )
134 eqeq1 2449 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( x  =  ( F `  y )  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
135134rexbidv 2741 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( ZRHom `  Y ) `  z
)  ->  ( E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y ) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
136135ralrn 5851 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y )  Fn  ZZ  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
137132, 133, 1363syl 20 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. z  e.  ZZ  E. y  e.  W  ( ( ZRHom `  Y
) `  z )  =  ( F `  y ) ) )
138131, 137mpbird 232 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) )
139 forn 5628 . . . . . 6  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> B  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  B )
140132, 139syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  B )
141140raleqdv 2928 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( A. x  e.  ran  ( ZRHom `  Y ) E. y  e.  W  x  =  ( F `  y )  <->  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) ) )
142138, 141mpbid 210 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) )
143 dffo3 5863 . . 3  |-  ( F : W -onto-> B  <->  ( F : W --> B  /\  A. x  e.  B  E. y  e.  W  x  =  ( F `  y ) ) )
14422, 142, 143sylanbrc 664 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W -onto-> B )
145 df-f1o 5430 . 2  |-  ( F : W -1-1-onto-> B  <->  ( F : W -1-1-> B  /\  F : W -onto-> B ) )
14692, 144, 145sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  F : W
-1-1-onto-> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721    C_ wss 3333   ifcif 3796   class class class wbr 4297   ran crn 4846    |` cres 4847    Fn wfn 5418   -->wf 5419   -1-1->wf1 5420   -onto->wfo 5421   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   RRcr 9286   0cc0 9287    < clt 9423    <_ cle 9424    - cmin 9600   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   RR+crp 10996  ..^cfzo 11553    mod cmo 11713    || cdivides 13540   Basecbs 14179   Ringcrg 16650   CRingccrg 16651   RingHom crh 16809  ℤringzring 17888   ZRHomczrh 17936  ℤ/nczn 17939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-dvds 13541  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-imas 14451  df-divs 14452  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-ghm 15750  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-dvdsr 16738  df-rnghom 16811  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-lidl 17260  df-rsp 17261  df-2idl 17319  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zrh 17940  df-zn 17943
This theorem is referenced by:  zzngim  17990  znleval  17992  zntoslem  17994  znhash  17996  znunithash  18002  dchrisumlem1  22743
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