Theorem zneo 7412

Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
zneo	|- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> (2 x. A) =/= ((2 x. B) + 1))

Proof of Theorem zneo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 7406	. . . . 5 |- -. (1 / 2) e. ZZ
2		zcn 7349	. . . . . . 7 |- (B e. ZZ -> B e. CC)
3		2cn 7164	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
4		2ne0 7174	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
5	3, 4	reccli 6902	. . . . . . . . . 10 |- (1 / 2) e. CC
6		addcom 6458	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. CC /\ (1 / 2) e. CC) -> (B + (1 / 2)) = ((1 / 2) + B))
7	5, 6	mpan2 760	. . . . . . . . 9 |- (B e. CC -> (B + (1 / 2)) = ((1 / 2) + B))
8	7	opreq1d 4897	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> ((B + (1 / 2)) - B) = (((1 / 2) + B) - B))
9		pncan 6557	. . . . . . . . 9 |- (((1 / 2) e. CC /\ B e. CC) -> (((1 / 2) + B) - B) = (1 / 2))
10	5, 9	mpan 759	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (((1 / 2) + B) - B) = (1 / 2))
11	8, 10	eqtrd 1925	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> ((B + (1 / 2)) - B) = (1 / 2))
12	2, 11	syl 12	. . . . . 6 |- (B e. ZZ -> ((B + (1 / 2)) - B) = (1 / 2))
13	12	eleq1d 1963	. . . . 5 |- (B e. ZZ -> (((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ <-> (1 / 2) e. ZZ))
14	1, 13	mtbiri 785	. . . 4 |- (B e. ZZ -> -. ((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ)
15		zsubcl 7377	. . . . 5 |- (((B + (1 / 2)) e. ZZ /\ B e. ZZ) -> ((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ)
16	15	expcom 403	. . . 4 |- (B e. ZZ -> ((B + (1 / 2)) e. ZZ -> ((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ))
17	14, 16	mtod 123	. . 3 |- (B e. ZZ -> -. (B + (1 / 2)) e. ZZ)
18	17	adantl 424	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> -. (B + (1 / 2)) e. ZZ)
19		divcan3 6938	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> ((2 x. A) / 2) = A)
20	3, 4, 19	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A e. CC -> ((2 x. A) / 2) = A)
21		mulcl 6456	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((2 e. CC /\ B e. CC) -> (2 x. B) e. CC)
22	3, 21	mpan 759	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B e. CC -> (2 x. B) e. CC)
23		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
24	3, 4	pm3.2i 307	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (2 e. CC /\ 2 =/= 0)
25		divdir 6933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((2 x. B) e. CC /\ 1 e. CC /\ (2 e. CC /\ 2 =/= 0)) -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
26	23, 24, 25	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((2 x. B) e. CC -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
27	22, 26	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. CC -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
28		divcan3 6938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((B e. CC /\ 2 e. CC /\ 2 =/= 0) -> ((2 x. B) / 2) = B)
29	3, 4, 28	mp3an23 1183	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (B e. CC -> ((2 x. B) / 2) = B)
30	29	opreq1d 4897	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. CC -> (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)) = (B + (1 / 2)))
31	27, 30	eqtrd 1925	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. CC -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (B + (1 / 2)))
32	20, 31	eqeqan12d 1901	. . . . . . . . . . . 12 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((2 x. A) / 2) = (((2 x. B) + 1) / 2) <-> A = (B + (1 / 2))))
33		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . 12 |- ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> ((2 x. A) / 2) = (((2 x. B) + 1) / 2))
34	32, 33	syl5bi 225	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> A = (B + (1 / 2))))
35		zcn 7349	. . . . . . . . . . 11 |- (A e. ZZ -> A e. CC)
36	34, 35, 2	syl2an 503	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> A = (B + (1 / 2))))
37	36	imp 377	. . . . . . . . 9 |- (((A e. ZZ /\ B e. ZZ) /\ (2 x. A) = ((2 x. B) + 1)) -> A = (B + (1 / 2)))
38	37	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (((A e. ZZ /\ B e. ZZ) /\ (2 x. A) = ((2 x. B) + 1)) -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ))
39	38	exp31 407	. . . . . . 7 |- (A e. ZZ -> (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ))))
40	39	com3l 38	. . . . . 6 |- (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (A e. ZZ -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ))))
41		ibib 650	. . . . . 6 |- ((A e. ZZ -> (B + (1 / 2)) e. ZZ) <-> (A e. ZZ -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ)))
42	40, 41	syl6ibr 230	. . . . 5 |- (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (A e. ZZ -> (B + (1 / 2)) e. ZZ)))
43	42	com3r 39	. . . 4 |- (A e. ZZ -> (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (B + (1 / 2)) e. ZZ)))
44	43	imp 377	. . 3 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (B + (1 / 2)) e. ZZ))
45	44	necon3bd 2039	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> (-. (B + (1 / 2)) e. ZZ -> (2 x. A) =/= ((2 x. B) + 1)))
46	18, 45	mpd 29	1 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> (2 x. A) =/= ((2 x. B) + 1))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  ZZcz 6451  2c2 7145

This theorem is referenced by:  znnenlem 8770

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-n 7108  df-2 7154  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain