Theorem znegcld 10853

Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
zred.1	|- ( ph -> A e. ZZ )

Assertion

Ref	Expression
znegcld	|- ( ph -> -u A e. ZZ )

Proof of Theorem znegcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zred.1	. 2 |- ( ph -> A e. ZZ )
2		znegcl 10784	. 2 |- ( A e. ZZ -> -u A e. ZZ )
3	1, 2	syl 16	1 |- ( ph -> -u A e. ZZ )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1758   -ucneg 9700   ZZcz 10750

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-z 10751

This theorem is referenced by:  zriotaneg  10858  zsupss  11048  ceicl  11792  modnegd  11864  expaddzlem  12017  climshft2  13171  fsumshftm  13359  eftlub  13504  dvdsadd2b  13686  bitscmp  13745  bitsf1  13753  bitsres  13780  modgcd  13831  pcneg  14051  gznegcl  14107  gzcjcl  14108  4sqlem10  14119  mulgdirlem  15762  mulgdir  15763  subgmulg  15806  zringlpirlem3  18023  zlpirlem3  18028  aannenlem1  21920  geolim3  21931  aaliou3lem1  21934  aaliou3lem2  21935  aaliou3lem3  21936  aaliou3lem5  21939  aaliou3lem6  21940  aaliou3lem7  21941  ulmshft  21981  sineq0  22109  wilthlem1  22532  lgseisenlem2  22815  2sqlem4  22832  padicabvcxp  23007  gxmul  23910  gxmodid  23911  numdenneg  26224  archirngz  26344  archiabllem1b  26347  archiabllem2c  26350  qqhval2lem  26548  ltflcei  28560  cntotbnd  28836  pellexlem5  29315  pell1234qrreccl  29336  pellfund14  29380  congsub  29454  acongeq  29467  dvdsacongtr  29468  jm2.19  29483  jm2.25  29489  jm2.26lem3  29491  sineq0ALT  31976