MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcld Structured version   Unicode version

Theorem znegcld 10964
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
znegcld  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  ZZ )

Proof of Theorem znegcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 znegcl 10894 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  e.  ZZ )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   -ucneg 9802   ZZcz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-z 10861
This theorem is referenced by:  zriotaneg  10970  zsupss  11167  ceicl  11934  modnegd  12006  expaddzlem  12173  climshft2  13364  fsumshftm  13555  eftlub  13701  dvdsadd2b  13883  bitscmp  13943  bitsf1  13951  bitsres  13978  modgcd  14029  pcneg  14252  gznegcl  14308  gzcjcl  14309  4sqlem10  14320  mulgdirlem  15966  mulgdir  15967  subgmulg  16010  zringlpirlem3  18278  zlpirlem3  18283  aannenlem1  22458  geolim3  22469  aaliou3lem1  22472  aaliou3lem2  22473  aaliou3lem3  22474  aaliou3lem5  22477  aaliou3lem6  22478  aaliou3lem7  22479  ulmshft  22519  sineq0  22647  wilthlem1  23070  lgseisenlem2  23353  2sqlem4  23370  padicabvcxp  23545  gxmul  24956  gxmodid  24957  numdenneg  27275  archirngz  27395  archiabllem1b  27398  archiabllem2c  27401  qqhval2lem  27598  ltflcei  29620  cntotbnd  29895  pellexlem5  30373  pell1234qrreccl  30394  pellfund14  30438  congsub  30512  acongeq  30525  dvdsacongtr  30526  jm2.19  30539  jm2.25  30545  jm2.26lem3  30547  znnn0nn  31066  fourierdlem41  31448  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem64  31471  fourierdlem89  31496  fourierdlem91  31498  fourierdlem97  31504  fourierdlem103  31510  sineq0ALT  32817
  Copyright terms: Public domain W3C validator