MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcld Structured version   Unicode version

Theorem znegcld 11009
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
znegcld  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  ZZ )

Proof of Theorem znegcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 znegcl 10939 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  -u A  e.  ZZ )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  -> 
-u A  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1842   -ucneg 9841   ZZcz 10904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-z 10905
This theorem is referenced by:  znnn0nn  11014  zriotaneg  11016  zsupss  11215  ceicl  12006  modnegd  12081  expaddzlem  12251  climshft2  13552  fsumshftm  13745  eftlub  14051  dvdsadd2b  14235  bitscmp  14295  bitsf1  14303  bitsres  14330  modgcd  14381  pcneg  14604  gznegcl  14660  gzcjcl  14661  4sqlem10  14672  mulgdirlem  16488  mulgdir  16489  subgmulg  16537  zringlpirlem3  18822  aannenlem1  23014  geolim3  23025  aaliou3lem1  23028  aaliou3lem2  23029  aaliou3lem3  23030  aaliou3lem5  23033  aaliou3lem6  23034  aaliou3lem7  23035  ulmshft  23075  sineq0  23204  wilthlem1  23721  lgseisenlem2  24004  2sqlem4  24021  padicabvcxp  24196  gxmul  25680  gxmodid  25681  numdenneg  28045  archirngz  28171  archiabllem1b  28174  archiabllem2c  28177  qqhval2lem  28400  ltflcei  31395  cntotbnd  31554  pellexlem5  35110  pell1234qrreccl  35131  pellfund14  35175  congsub  35249  acongeq  35262  dvdsacongtr  35263  jm2.19  35277  jm2.25  35283  jm2.26lem3  35285  dvradcnv2  36080  binomcxplemnotnn0  36089  sineq0ALT  36748  fourierdlem41  37279  fourierdlem48  37286  fourierdlem49  37287  fourierdlem64  37302  fourierdlem89  37327  fourierdlem91  37329  fourierdlem97  37335  fourierdlem103  37341  etransclem9  37375  etransclem35  37401  etransclem41  37407  etransclem47  37413
  Copyright terms: Public domain W3C validator