MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znegcl Structured version   Unicode version

Theorem znegcl 10905
Description: Closure law for negative integers. (Contributed by NM, 9-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
znegcl  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )

Proof of Theorem znegcl
StepHypRef Expression
1 elz 10872 . 2  |-  ( N  e.  ZZ  <->  ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) ) )
2 negeq 9817 . . . . . 6  |-  ( N  =  0  ->  -u N  =  -u 0 )
3 neg0 9870 . . . . . 6  |-  -u 0  =  0
42, 3syl6eq 2500 . . . . 5  |-  ( N  =  0  ->  -u N  =  0 )
5 0z 10881 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
64, 5syl6eqel 2539 . . . 4  |-  ( N  =  0  ->  -u N  e.  ZZ )
7 nnnegz 10873 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )
8 nnz 10892 . . . 4  |-  ( -u N  e.  NN  ->  -u N  e.  ZZ )
96, 7, 83jaoi 1292 . . 3  |-  ( ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN )  ->  -u N  e.  ZZ )
109adantl 466 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  ( N  =  0  \/  N  e.  NN  \/  -u N  e.  NN ) )  ->  -u N  e.  ZZ )
111, 10sylbi 195 1  |-  ( N  e.  ZZ  ->  -u N  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    \/ w3o 973    = wceq 1383    e. wcel 1804   RRcr 9494   0cc0 9495   -ucneg 9811   NNcn 10542   ZZcz 10870
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10543  df-z 10871
This theorem is referenced by:  znegclb  10907  nn0negz  10908  zsubcl  10912  zeo  10954  zindd  10970  znegcld  10976  zriotaneg  10982  uzneg  11108  zmax  11188  rebtwnz  11190  qnegcl  11208  fzsubel  11728  fzosubel  11854  ceilid  11957  modcyc2  12011  expsub  12192  seqshft  12897  climshft  13378  znnenlem  13822  negdvdsb  13877  dvdsnegb  13878  dvdssub  13903  odd2np1  13923  divalglem6  13933  bitscmp  13965  gcdneg  14041  neggcd  14042  gcdaddmlem  14043  gcdabs  14048  mulgneg2  16043  mulgsubdir  16047  cycsubgcl  16101  zaddablx  16750  cyggeninv  16760  zsubrg  18345  zringmulg  18370  zrngmulg  18376  zringinvg  18392  aaliou3lem9  22618  sinperlem  22745  wilthlem3  23216  basellem3  23228  basellem4  23229  basellem8  23233  basellem9  23234  lgsneg  23466  lgsdir2lem4  23473  lgsdir2lem5  23474  ex-fl  25040  gxneg  25140  gxcom  25143  gxsub  25150  gxmul  25152  zaddsubgo  25228  pell1234qrdich  30772  rmxyneg  30831  monotoddzzfi  30853  monotoddzz  30854  oddcomabszz  30855  jm2.24  30876  acongtr  30891  fzneg  30895  jm2.26a  30917  lcmneg  31185  neglcm  31186  lcmabs  31187  cosknegpi  31576  0nodd  32335  2zrngagrp  32459  zlmodzxzequap  32835
  Copyright terms: Public domain W3C validator