MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds0 Structured version   Unicode version

Theorem zndvds0 17983
Description: Special case of zndvds 17982 when one argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
zndvds.2  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
zndvds0.3  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
Assertion
Ref Expression
zndvds0  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  =  .0.  <->  N 
||  A ) )

Proof of Theorem zndvds0
StepHypRef Expression
1 0z 10657 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 zncyg.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
3 zndvds.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
42, 3zndvds 17982 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( L `  A
)  =  ( L `
 0 )  <->  N  ||  ( A  -  0 ) ) )
51, 4mp3an3 1303 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  =  ( L `  0 )  <-> 
N  ||  ( A  -  0 ) ) )
62zncrng 17977 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  Y  e.  CRing )
8 crngrng 16655 . . . . 5  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
93zrhrhm 17943 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
107, 8, 93syl 20 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
11 rhmghm 16815 . . . 4  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L  e.  (ring  GrpHom  Y ) )
12 zring0 17893 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g ` ring )
13 zndvds0.3 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
1412, 13ghmid 15753 . . . 4  |-  ( L  e.  (ring  GrpHom  Y )  ->  ( L `  0 )  =  .0.  )
1510, 11, 143syl 20 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  0
)  =  .0.  )
1615eqeq2d 2454 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  =  ( L `  0 )  <-> 
( L `  A
)  =  .0.  )
)
17 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
1817zcnd 10748 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
1918subid1d 9708 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
2019breq2d 4304 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( A  -  0 )  <-> 
N  ||  A )
)
215, 16, 203bitr3d 283 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  =  .0.  <->  N 
||  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4292   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   0cc0 9282    - cmin 9595   NN0cn0 10579   ZZcz 10646    || cdivides 13535   0gc0g 14378    GrpHom cghm 15744   Ringcrg 16645   CRingccrg 16646   RingHom crh 16804  ℤringzring 17883   ZRHomczrh 17931  ℤ/nczn 17934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-inf2 7847  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-tpos 6745  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-ec 7103  df-qs 7107  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-fz 11438  df-seq 11807  df-dvds 13536  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-imas 14446  df-divs 14447  df-mnd 15415  df-mhm 15464  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-mulg 15548  df-subg 15678  df-nsg 15679  df-eqg 15680  df-ghm 15745  df-cmn 16279  df-abl 16280  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-oppr 16715  df-dvdsr 16733  df-rnghom 16806  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-lsp 17053  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-lidl 17255  df-rsp 17256  df-2idl 17314  df-cnfld 17819  df-zring 17884  df-zrh 17935  df-zn 17938
This theorem is referenced by:  znfld  17993  znidomb  17994  znchr  17995  znrrg  17998  lgseisenlem3  22690
  Copyright terms: Public domain W3C validator