MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds0 Structured version   Unicode version

Theorem zndvds0 18887
Description: Special case of zndvds 18886 when one argument is zero. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
zndvds.2  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
zndvds0.3  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
Assertion
Ref Expression
zndvds0  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  =  .0.  <->  N 
||  A ) )

Proof of Theorem zndvds0
StepHypRef Expression
1 0z 10916 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 zncyg.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
3 zndvds.2 . . . 4  |-  L  =  ( ZRHom `  Y
)
42, 3zndvds 18886 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  (
( L `  A
)  =  ( L `
 0 )  <->  N  ||  ( A  -  0 ) ) )
51, 4mp3an3 1315 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  =  ( L `  0 )  <-> 
N  ||  ( A  -  0 ) ) )
62zncrng 18881 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
76adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  Y  e.  CRing )
8 crngring 17529 . . . . 5  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
93zrhrhm 18849 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Ring  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
107, 8, 93syl 18 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  L  e.  (ring RingHom  Y ) )
11 rhmghm 17694 . . . 4  |-  ( L  e.  (ring RingHom  Y )  ->  L  e.  (ring  GrpHom  Y ) )
12 zring0 18818 . . . . 5  |-  0  =  ( 0g ` ring )
13 zndvds0.3 . . . . 5  |-  .0.  =  ( 0g `  Y )
1412, 13ghmid 16597 . . . 4  |-  ( L  e.  (ring  GrpHom  Y )  ->  ( L `  0 )  =  .0.  )
1510, 11, 143syl 18 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( L `  0
)  =  .0.  )
1615eqeq2d 2416 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  =  ( L `  0 )  <-> 
( L `  A
)  =  .0.  )
)
17 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
1817zcnd 11009 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  A  e.  CC )
1918subid1d 9956 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( A  -  0 )  =  A )
2019breq2d 4407 . 2  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( N  ||  ( A  -  0 )  <-> 
N  ||  A )
)
215, 16, 203bitr3d 283 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( L `  A )  =  .0.  <->  N 
||  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4395   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   0cc0 9522    - cmin 9841   NN0cn0 10836   ZZcz 10905    || cdvds 14195   0gc0g 15054    GrpHom cghm 16588   Ringcrg 17518   CRingccrg 17519   RingHom crh 17681  ℤringzring 18808   ZRHomczrh 18837  ℤ/nczn 18840
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-tpos 6958  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-ec 7350  df-qs 7354  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-seq 12152  df-dvds 14196  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-0g 15056  df-imas 15122  df-qus 15123  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-mhm 16290  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-nsg 16523  df-eqg 16524  df-ghm 16589  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-oppr 17592  df-dvdsr 17610  df-rnghom 17684  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-lsp 17938  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-lidl 18140  df-rsp 18141  df-2idl 18200  df-cnfld 18741  df-zring 18809  df-zrh 18841  df-zn 18844
This theorem is referenced by:  znfld  18897  znidomb  18898  znchr  18899  znrrg  18902  lgseisenlem3  24007
  Copyright terms: Public domain W3C validator