Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zndvds Unicode version

Theorem zndvds 16785
 Description: Express equality of equivalence classes in in terms of divisibility. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zncyg.y ℤ/n
zndvds.2 RHom
Assertion
Ref Expression
zndvds

Proof of Theorem zndvds
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqcom 2406 . 2
2 eqid 2404 . . . . . 6 flds flds
3 eqid 2404 . . . . . 6 RSpanflds RSpanflds
4 eqid 2404 . . . . . 6 flds ~QG RSpanflds flds ~QG RSpanflds
5 zncyg.y . . . . . 6 ℤ/n
6 zndvds.2 . . . . . 6 RHom
72, 3, 4, 5, 6znzrhval 16782 . . . . 5 flds ~QG RSpanflds
873adant2 976 . . . 4 flds ~QG RSpanflds
92, 3, 4, 5, 6znzrhval 16782 . . . . 5 flds ~QG RSpanflds
1093adant3 977 . . . 4 flds ~QG RSpanflds
118, 10eqeq12d 2418 . . 3 flds ~QG RSpanflds flds ~QG RSpanflds
12 zsubrg 16707 . . . . . . 7 SubRingfld
132subrgrng 15826 . . . . . . 7 SubRingfld flds
1412, 13ax-mp 8 . . . . . 6 flds
15 nn0z 10260 . . . . . . . . 9
16153ad2ant1 978 . . . . . . . 8
1716snssd 3903 . . . . . . 7
182subrgbas 15832 . . . . . . . . 9 SubRingfld flds
1912, 18ax-mp 8 . . . . . . . 8 flds
20 eqid 2404 . . . . . . . 8 LIdealflds LIdealflds
213, 19, 20rspcl 16248 . . . . . . 7 flds RSpanflds LIdealflds
2214, 17, 21sylancr 645 . . . . . 6 RSpanflds LIdealflds
2320lidlsubg 16241 . . . . . 6 flds RSpanflds LIdealflds RSpanflds SubGrpflds
2414, 22, 23sylancr 645 . . . . 5 RSpanflds SubGrpflds
2519, 4eqger 14945 . . . . 5 RSpanflds SubGrpflds flds ~QG RSpanflds
2624, 25syl 16 . . . 4 flds ~QG RSpanflds
27 simp3 959 . . . 4
2826, 27erth 6908 . . 3 flds ~QG RSpanflds flds ~QG RSpanflds flds ~QG RSpanflds
29 rngabl 15648 . . . . . 6 flds flds
3014, 29ax-mp 8 . . . . 5 flds
3119, 20lidlss 16235 . . . . . 6 RSpanflds LIdealflds RSpanflds
3222, 31syl 16 . . . . 5 RSpanflds
33 eqid 2404 . . . . . 6 flds flds
3419, 33, 4eqgabl 15409 . . . . 5 flds RSpanflds flds ~QG RSpanflds flds RSpanflds
3530, 32, 34sylancr 645 . . . 4 flds ~QG RSpanflds flds RSpanflds
36 simp2 958 . . . . . . 7
3727, 36jca 519 . . . . . 6
3837biantrurd 495 . . . . 5 flds RSpanflds flds RSpanflds
39 df-3an 938 . . . . 5 flds RSpanflds flds RSpanflds
4038, 39syl6bbr 255 . . . 4 flds RSpanflds flds RSpanflds
41 subrgsubg 15829 . . . . . . . . 9 SubRingfld SubGrpfld
4212, 41mp1i 12 . . . . . . . 8 SubGrpfld
43 cnfldsub 16684 . . . . . . . . 9 fld
4443, 2, 33subgsub 14911 . . . . . . . 8 SubGrpfld flds
4542, 44syld3an1 1230 . . . . . . 7 flds
4645eqcomd 2409 . . . . . 6 flds
472dvdsrz 16722 . . . . . . . 8 rflds
4819, 3, 47rspsn 16280 . . . . . . 7 flds RSpanflds
4914, 16, 48sylancr 645 . . . . . 6 RSpanflds
5046, 49eleq12d 2472 . . . . 5 flds RSpanflds
51 ovex 6065 . . . . . 6
52 breq2 4176 . . . . . 6
5351, 52elab 3042 . . . . 5
5450, 53syl6bb 253 . . . 4 flds RSpanflds
5535, 40, 543bitr2d 273 . . 3 flds ~QG RSpanflds
5611, 28, 553bitr2d 273 . 2
571, 56syl5bb 249 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721  cab 2390   wss 3280  csn 3774   class class class wbr 4172  cfv 5413  (class class class)co 6040   wer 6861  cec 6862   cmin 9247  cn0 10177  cz 10238   cdivides 12807  cbs 13424   ↾s cress 13425  csg 14643  SubGrpcsubg 14893   ~QG cqg 14895  cabel 15368  crg 15615  SubRingcsubrg 15819  LIdealclidl 16197  RSpancrsp 16198  ℂfldccnfld 16658  RHomczrh 16733  ℤ/nℤczn 16736 This theorem is referenced by:  zndvds0  16786  znf1o  16787  znunit  16799  cygznlem1  16802  lgsqrlem1  21078  lgsqrlem2  21079  lgsqrlem4  21081  lgsdchrval  21084  lgseisenlem3  21088  lgseisenlem4  21089  dchrisumlem1  21136  dirith  21176 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-addf 9025  ax-mulf 9026 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-tpos 6438  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-seq 11279  df-dvds 12808  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13682  df-imas 13689  df-divs 13690  df-mnd 14645  df-mhm 14693  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-nsg 14897  df-eqg 14898  df-ghm 14959  df-cmn 15369  df-abl 15370  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-cring 15619  df-ur 15620  df-oppr 15683  df-dvdsr 15701  df-rnghom 15774  df-subrg 15821  df-lmod 15907  df-lss 15964  df-lsp 16003  df-sra 16199  df-rgmod 16200  df-lidl 16201  df-rsp 16202  df-2idl 16258  df-cnfld 16659  df-zrh 16737  df-zn 16740
 Copyright terms: Public domain W3C validator