MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zncyg Structured version   Unicode version

Theorem zncyg 17986
Description: The group  ZZ  /  n ZZ is cyclic for all  n (including  n  =  0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zncyg.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
zncyg  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. CycGrp
)

Proof of Theorem zncyg
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zncyg.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
21zncrng 17982 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
3 crngrng 16660 . . . 4  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
Ring )
5 rnggrp 16655 . . 3  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
Grp )
7 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
8 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
97, 8rngidcl 16670 . . . 4  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
104, 9syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
11 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
12 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  (.g `  Y
)  =  (.g `  Y
)
1311, 12, 8zrhval2 17945 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) ) )
144, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) ) )
1514rneqd 5072 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r
`  Y ) ) ) )
161, 7, 11znzrhfo 17985 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
17 forn 5628 . . . . 5  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> ( Base `  Y
)  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  (
Base `  Y )
)
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  ( Base `  Y
) )
1915, 18eqtr3d 2477 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) )  =  (
Base `  Y )
)
20 oveq2 6104 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1r `  Y )  ->  (
n (.g `  Y ) x )  =  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) )
2120mpteq2dv 4384 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 1r `  Y )  ->  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) x ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) ) )
2221rneqd 5072 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 1r `  Y )  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y
) x ) )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) ) )
2322eqeq1d 2451 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1r `  Y )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y
) x ) )  =  ( Base `  Y
)  <->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r
`  Y ) ) )  =  ( Base `  Y ) ) )
2423rspcev 3078 . . 3  |-  ( ( ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y )  /\  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )  =  ( Base `  Y
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  Y
) ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) x ) )  =  ( Base `  Y ) )
2510, 19, 24syl2anc 661 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. x  e.  ( Base `  Y
) ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) x ) )  =  ( Base `  Y ) )
267, 12iscyg 16361 . 2  |-  ( Y  e. CycGrp 
<->  ( Y  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  (
Base `  Y ) ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y
) x ) )  =  ( Base `  Y
) ) )
276, 25, 26sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. CycGrp
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   E.wrex 2721    e. cmpt 4355   ran crn 4846   -onto->wfo 5421   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   Basecbs 14179   Grpcgrp 15415  .gcmg 15419  CycGrpccyg 16359   1rcur 16608   Ringcrg 16650   CRingccrg 16651   ZRHomczrh 17936  ℤ/nczn 17939
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-addf 9366  ax-mulf 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-tpos 6750  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-10 10393  df-n0 10585  df-z 10652  df-dec 10761  df-uz 10867  df-fz 11443  df-seq 11812  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-mulr 14257  df-starv 14258  df-sca 14259  df-vsca 14260  df-ip 14261  df-tset 14262  df-ple 14263  df-ds 14265  df-unif 14266  df-0g 14385  df-imas 14451  df-divs 14452  df-mnd 15420  df-mhm 15469  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-nsg 15684  df-eqg 15685  df-ghm 15750  df-cmn 16284  df-abl 16285  df-cyg 16360  df-mgp 16597  df-ur 16609  df-rng 16652  df-cring 16653  df-oppr 16720  df-rnghom 16811  df-subrg 16868  df-lmod 16955  df-lss 17019  df-lsp 17058  df-sra 17258  df-rgmod 17259  df-lidl 17260  df-rsp 17261  df-2idl 17319  df-cnfld 17824  df-zring 17889  df-zrh 17940  df-zn 17943
This theorem is referenced by:  cygth  18009
  Copyright terms: Public domain W3C validator