MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zncyg Structured version   Unicode version

Theorem zncyg 18713
Description: The group  ZZ  /  n ZZ is cyclic for all  n (including  n  =  0). (Contributed by Mario Carneiro, 21-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
zncyg.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
zncyg  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. CycGrp
)

Proof of Theorem zncyg
Dummy variables  x  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zncyg.y . . . . 5  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
21zncrng 18709 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
3 crngring 17335 . . . 4  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
Ring )
5 ringgrp 17329 . . 3  |-  ( Y  e.  Ring  ->  Y  e. 
Grp )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
Grp )
7 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Base `  Y )  =  (
Base `  Y )
8 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 1r
`  Y )  =  ( 1r `  Y
)
97, 8ringidcl 17345 . . . 4  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
104, 9syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( 1r
`  Y )  e.  ( Base `  Y
) )
11 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
12 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  (.g `  Y
)  =  (.g `  Y
)
1311, 12, 8zrhval2 18672 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  Ring  ->  ( ZRHom `  Y )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) ) )
144, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) ) )
1514rneqd 5240 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r
`  Y ) ) ) )
161, 7, 11znzrhfo 18712 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto->
( Base `  Y )
)
17 forn 5804 . . . . 5  |-  ( ( ZRHom `  Y ) : ZZ -onto-> ( Base `  Y
)  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  (
Base `  Y )
)
1816, 17syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  ( ZRHom `  Y )  =  ( Base `  Y
) )
1915, 18eqtr3d 2500 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ran  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) )  =  (
Base `  Y )
)
20 oveq2 6304 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( 1r `  Y )  ->  (
n (.g `  Y ) x )  =  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) )
2120mpteq2dv 4544 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 1r `  Y )  ->  (
n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) x ) )  =  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) ) )
2221rneqd 5240 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 1r `  Y )  ->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y
) x ) )  =  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r `  Y ) ) ) )
2322eqeq1d 2459 . . . 4  |-  ( x  =  ( 1r `  Y )  ->  ( ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y
) x ) )  =  ( Base `  Y
)  <->  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) ( 1r
`  Y ) ) )  =  ( Base `  Y ) ) )
2423rspcev 3210 . . 3  |-  ( ( ( 1r `  Y
)  e.  ( Base `  Y )  /\  ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y
) ( 1r `  Y ) ) )  =  ( Base `  Y
) )  ->  E. x  e.  ( Base `  Y
) ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) x ) )  =  ( Base `  Y ) )
2510, 19, 24syl2anc 661 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  E. x  e.  ( Base `  Y
) ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y ) x ) )  =  ( Base `  Y ) )
267, 12iscyg 17008 . 2  |-  ( Y  e. CycGrp 
<->  ( Y  e.  Grp  /\ 
E. x  e.  (
Base `  Y ) ran  ( n  e.  ZZ  |->  ( n (.g `  Y
) x ) )  =  ( Base `  Y
) ) )
276, 25, 26sylanbrc 664 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. CycGrp
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1395    e. wcel 1819   E.wrex 2808    |-> cmpt 4515   ran crn 5009   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   Basecbs 14643   Grpcgrp 16179  .gcmg 16182  CycGrpccyg 17006   1rcur 17279   Ringcrg 17324   CRingccrg 17325   ZRHomczrh 18663  ℤ/nczn 18666
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-tpos 6973  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12110  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-mulr 14725  df-starv 14726  df-sca 14727  df-vsca 14728  df-ip 14729  df-tset 14730  df-ple 14731  df-ds 14733  df-unif 14734  df-0g 14858  df-imas 14924  df-qus 14925  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-mhm 16092  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-nsg 16325  df-eqg 16326  df-ghm 16391  df-cmn 16926  df-abl 16927  df-cyg 17007  df-mgp 17268  df-ur 17280  df-ring 17326  df-cring 17327  df-oppr 17398  df-rnghom 17490  df-subrg 17553  df-lmod 17640  df-lss 17705  df-lsp 17744  df-sra 17944  df-rgmod 17945  df-lidl 17946  df-rsp 17947  df-2idl 18006  df-cnfld 18547  df-zring 18615  df-zrh 18667  df-zn 18670
This theorem is referenced by:  cygth  18736
  Copyright terms: Public domain W3C validator