MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zncrng Structured version   Unicode version

Theorem zncrng 19052
Description: ℤ/nℤ is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zncrng.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
zncrng  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )

Proof of Theorem zncrng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 10949 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
2 eqid 2420 . . . 4  |-  (RSpan ` ring )  =  (RSpan ` ring )
3 eqid 2420 . . . 4  |-  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  =  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )
42, 3zncrng2 19042 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  e.  CRing )
51, 4syl 17 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  e.  CRing )
6 eqidd 2421 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( Base `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  =  ( Base `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) ) )
7 zncrng.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
82, 3, 7znbas2 19047 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( Base `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  =  ( Base `  Y ) )
92, 3, 7znadd 19048 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( +g  `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  =  ( +g  `  Y ) )
109oveqdr 6320 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( Base `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) ) ) )  -> 
( x ( +g  `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) ) y )  =  ( x ( +g  `  Y ) y ) )
112, 3, 7znmul 19049 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( .r
`  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  =  ( .r
`  Y ) )
1211oveqdr 6320 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( Base `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) ) ) )  -> 
( x ( .r
`  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) ) y )  =  ( x ( .r
`  Y ) y ) )
136, 8, 10, 12crngpropd 17754 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  e.  CRing 
<->  Y  e.  CRing ) )
145, 13mpbid 213 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867   {csn 3993   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   NN0cn0 10858   ZZcz 10926   Basecbs 15081   +g cplusg 15150   .rcmulr 15151    /.s cqus 15363   ~QG cqg 16765   CRingccrg 17722  RSpancrsp 18335  ℤringzring 18979  ℤ/nczn 19011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-addf 9607  ax-mulf 9608
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-tpos 6972  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-oadd 7185  df-er 7362  df-ec 7364  df-qs 7368  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-uz 11149  df-fz 11772  df-struct 15083  df-ndx 15084  df-slot 15085  df-base 15086  df-sets 15087  df-ress 15088  df-plusg 15163  df-mulr 15164  df-starv 15165  df-sca 15166  df-vsca 15167  df-ip 15168  df-tset 15169  df-ple 15170  df-ds 15172  df-unif 15173  df-0g 15300  df-imas 15366  df-qus 15367  df-mgm 16440  df-sgrp 16479  df-mnd 16489  df-grp 16625  df-minusg 16626  df-sbg 16627  df-subg 16766  df-nsg 16767  df-eqg 16768  df-cmn 17373  df-abl 17374  df-mgp 17665  df-ur 17677  df-ring 17723  df-cring 17724  df-oppr 17792  df-subrg 17947  df-lmod 18034  df-lss 18097  df-lsp 18136  df-sra 18336  df-rgmod 18337  df-lidl 18338  df-rsp 18339  df-2idl 18397  df-cnfld 18912  df-zring 18980  df-zn 19015
This theorem is referenced by:  zncyg  19056  zndvds0  19058  znf1o  19059  zzngim  19060  znfld  19068  znchr  19070  znunit  19071  znrrg  19073  cygznlem3  19077  dchrelbas3  24068  dchrelbasd  24069  dchrzrh1  24074  dchrzrhmul  24076  dchrmulcl  24079  dchrn0  24080  dchrfi  24085  dchrghm  24086  dchrabs  24090  dchrinv  24091  dchrptlem1  24094  dchrptlem2  24095  dchrptlem3  24096  dchrpt  24097  dchrsum2  24098  dchrhash  24101  sum2dchr  24104  lgsdchr  24178  dchrisum0flblem1  24248  dchrisum0re  24253  frlmpwfi  35710  isnumbasgrplem3  35718  cznabel  38771  cznrng  38772
  Copyright terms: Public domain W3C validator