MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zncrng Structured version   Unicode version

Theorem zncrng 18390
Description: ℤ/nℤ is a commutative ring. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zncrng.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
zncrng  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )

Proof of Theorem zncrng
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 10888 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ZZ )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  (RSpan ` ring )  =  (RSpan ` ring )
3 eqid 2467 . . . 4  |-  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  =  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )
42, 3zncrng2 18378 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  e.  CRing )
51, 4syl 16 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  e.  CRing )
6 eqidd 2468 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( Base `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  =  ( Base `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) ) )
7 zncrng.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
82, 3, 7znbas2 18385 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( Base `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  =  ( Base `  Y ) )
92, 3, 7znadd 18386 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( +g  `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  =  ( +g  `  Y ) )
109proplem3 14949 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( Base `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) ) ) )  -> 
( x ( +g  `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) ) y )  =  ( x ( +g  `  Y ) y ) )
112, 3, 7znmul 18387 . . . 4  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( .r
`  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  =  ( .r
`  Y ) )
1211proplem3 14949 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  ( x  e.  ( Base `  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) )  /\  y  e.  ( Base `  (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) ) ) )  -> 
( x ( .r
`  (ring 
/.s  (ring ~QG  (
(RSpan ` ring ) `  { N } ) ) ) ) y )  =  ( x ( .r
`  Y ) y ) )
136, 8, 10, 12crngpropd 17044 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (ring  /.s  (ring ~QG  ( (RSpan ` ring ) `  { N } ) ) )  e.  CRing 
<->  Y  e.  CRing ) )
145, 13mpbid 210 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {csn 4027   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   .rcmulr 14559    /.s cqus 14763   ~QG cqg 16011   CRingccrg 17013  RSpancrsp 17629  ℤringzring 18296  ℤ/nczn 18347
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-tpos 6956  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-ec 7314  df-qs 7318  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-0g 14700  df-imas 14766  df-qus 14767  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-nsg 16013  df-eqg 16014  df-cmn 16615  df-abl 16616  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-oppr 17085  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-lsp 17430  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-lidl 17632  df-rsp 17633  df-2idl 17691  df-cnfld 18232  df-zring 18297  df-zn 18351
This theorem is referenced by:  zncyg  18394  zndvds0  18396  znf1o  18397  zzngim  18398  znfld  18406  znchr  18408  znunit  18409  znrrg  18411  cygznlem3  18415  dchrelbas3  23338  dchrelbasd  23339  dchrzrh1  23344  dchrzrhmul  23346  dchrmulcl  23349  dchrn0  23350  dchrfi  23355  dchrghm  23356  dchrabs  23360  dchrinv  23361  dchrptlem1  23364  dchrptlem2  23365  dchrptlem3  23366  dchrpt  23367  dchrsum2  23368  dchrhash  23371  sum2dchr  23374  lgsdchr  23448  dchrisum0flblem1  23518  dchrisum0re  23523  frlmpwfi  30877  isnumbasgrplem3  30885
  Copyright terms: Public domain W3C validator