MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znchr Structured version   Unicode version

Theorem znchr 17993
Description: Cyclic rings are defined by their characteristic. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
znchr.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
Assertion
Ref Expression
znchr  |-  ( N  e.  NN0  ->  (chr `  Y )  =  N )

Proof of Theorem znchr
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znchr.y . . . . . . 7  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
21zncrng 17975 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
CRing )
3 crngrng 16653 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  CRing  ->  Y  e.  Ring )
42, 3syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  e. 
Ring )
5 nn0z 10667 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN0  ->  x  e.  ZZ )
6 eqid 2441 . . . . . 6  |-  (chr `  Y )  =  (chr
`  Y )
7 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( ZRHom `  Y )  =  ( ZRHom `  Y )
8 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( 0g
`  Y )  =  ( 0g `  Y
)
96, 7, 8chrdvds 17957 . . . . 5  |-  ( ( Y  e.  Ring  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
(chr `  Y )  ||  x  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y ) ) )
104, 5, 9syl2an 477 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( (chr `  Y
)  ||  x  <->  ( ( ZRHom `  Y ) `  x )  =  ( 0g `  Y ) ) )
111, 7, 8zndvds0 17981 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  x
) )
125, 11sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( ( ( ZRHom `  Y ) `  x
)  =  ( 0g
`  Y )  <->  N  ||  x
) )
1310, 12bitrd 253 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  x  e.  NN0 )  -> 
( (chr `  Y
)  ||  x  <->  N  ||  x
) )
1413ralrimiva 2797 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  A. x  e.  NN0  ( (chr `  Y )  ||  x  <->  N 
||  x ) )
156chrcl 17955 . . . 4  |-  ( Y  e.  Ring  ->  (chr `  Y )  e.  NN0 )
164, 15syl 16 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  (chr `  Y )  e.  NN0 )
17 dvdsext 13582 . . 3  |-  ( ( (chr `  Y )  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  (
(chr `  Y )  =  N  <->  A. x  e.  NN0  ( (chr `  Y )  ||  x  <->  N  ||  x ) ) )
1816, 17mpancom 669 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( (chr
`  Y )  =  N  <->  A. x  e.  NN0  ( (chr `  Y )  ||  x  <->  N  ||  x ) ) )
1914, 18mpbird 232 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  (chr `  Y )  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2713   class class class wbr 4290   ` cfv 5416   NN0cn0 10577   ZZcz 10644    || cdivides 13533   0gc0g 14376   Ringcrg 16643   CRingccrg 16644   ZRHomczrh 17929  chrcchr 17931  ℤ/nczn 17932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-inf2 7845  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-int 4127  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-tpos 6743  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-1o 6918  df-oadd 6922  df-er 7099  df-ec 7101  df-qs 7105  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-fin 7312  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-4 10380  df-5 10381  df-6 10382  df-7 10383  df-8 10384  df-9 10385  df-10 10386  df-n0 10578  df-z 10645  df-dec 10754  df-uz 10860  df-rp 10990  df-fz 11436  df-fl 11640  df-mod 11707  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-dvds 13534  df-struct 14174  df-ndx 14175  df-slot 14176  df-base 14177  df-sets 14178  df-ress 14179  df-plusg 14249  df-mulr 14250  df-starv 14251  df-sca 14252  df-vsca 14253  df-ip 14254  df-tset 14255  df-ple 14256  df-ds 14258  df-unif 14259  df-0g 14378  df-imas 14444  df-divs 14445  df-mnd 15413  df-mhm 15462  df-grp 15543  df-minusg 15544  df-sbg 15545  df-mulg 15546  df-subg 15676  df-nsg 15677  df-eqg 15678  df-ghm 15743  df-od 16030  df-cmn 16277  df-abl 16278  df-mgp 16590  df-ur 16602  df-rng 16645  df-cring 16646  df-oppr 16713  df-dvdsr 16731  df-rnghom 16804  df-subrg 16861  df-lmod 16948  df-lss 17012  df-lsp 17051  df-sra 17251  df-rgmod 17252  df-lidl 17253  df-rsp 17254  df-2idl 17312  df-cnfld 17817  df-zring 17882  df-zrh 17933  df-chr 17935  df-zn 17936
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator