MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znbaslem Structured version   Unicode version

Theorem znbaslem 18106
Description: Lemma for znbas 18111. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znval2.s  |-  S  =  (RSpan ` ring )
znval2.u  |-  U  =  (ring 
/.s  (ring ~QG  ( S `  { N } ) ) )
znval2.y  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
znbaslem.e  |-  E  = Slot 
K
znbaslem.k  |-  K  e.  NN
znbaslem.l  |-  K  < 
10
Assertion
Ref Expression
znbaslem  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E `
 U )  =  ( E `  Y
) )

Proof of Theorem znbaslem
StepHypRef Expression
1 znval2.s . . . 4  |-  S  =  (RSpan ` ring )
2 znval2.u . . . 4  |-  U  =  (ring 
/.s  (ring ~QG  ( S `  { N } ) ) )
3 znval2.y . . . 4  |-  Y  =  (ℤ/n `  N )
4 eqid 2454 . . . 4  |-  ( le
`  Y )  =  ( le `  Y
)
51, 2, 3, 4znval2 18105 . . 3  |-  ( N  e.  NN0  ->  Y  =  ( U sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le `  Y
) >. ) )
65fveq2d 5806 . 2  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E `
 Y )  =  ( E `  ( U sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le
`  Y ) >.
) ) )
7 znbaslem.e . . . 4  |-  E  = Slot 
K
8 znbaslem.k . . . 4  |-  K  e.  NN
97, 8ndxid 14317 . . 3  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
108nnrei 10446 . . . . 5  |-  K  e.  RR
11 znbaslem.l . . . . 5  |-  K  < 
10
1210, 11ltneii 9602 . . . 4  |-  K  =/= 
10
137, 8ndxarg 14316 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =  K
14 plendx 14455 . . . . 5  |-  ( le
`  ndx )  =  10
1513, 14neeq12i 2741 . . . 4  |-  ( ( E `  ndx )  =/=  ( le `  ndx ) 
<->  K  =/=  10 )
1612, 15mpbir 209 . . 3  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( le `  ndx )
179, 16setsnid 14338 . 2  |-  ( E `
 U )  =  ( E `  ( U sSet  <. ( le `  ndx ) ,  ( le
`  Y ) >.
) )
186, 17syl6reqr 2514 1  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( E `
 U )  =  ( E `  Y
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   {csn 3988   <.cop 3994   class class class wbr 4403   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    < clt 9533   NNcn 10437   10c10 10494   NN0cn0 10694   ndxcnx 14293   sSet csts 14294  Slot cslot 14295   lecple 14368    /.s cqus 14566   ~QG cqg 15800  RSpancrsp 17385  ℤringzring 18018  ℤ/nczn 18069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-subg 15801  df-cmn 16404  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-subrg 16996  df-cnfld 17954  df-zring 18019  df-zn 18073
This theorem is referenced by:  znbas2  18107  znadd  18108  znmul  18109
  Copyright terms: Public domain W3C validator