MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcld Structured version   Unicode version

Theorem zmulcld 10857
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
zaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 zaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 zmulcl 10797 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758  (class class class)co 6193    x. cmul 9391   ZZcz 10750
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-ltxr 9527  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-n0 10684  df-z 10751
This theorem is referenced by:  flhalf  11784  quoremz  11804  intfracq  11808  zmodcl  11837  modmul1  11862  eirrlem  13597  dvds2ln  13674  dvdsmod  13701  3dvds  13707  bits0e  13736  bits0o  13737  bitsp1e  13739  bitsp1o  13740  bitsmod  13743  bitscmp  13745  bitsinv1lem  13748  bitsuz  13781  bitsshft  13782  smumullem  13799  smumul  13800  bezoutlem3  13835  bezoutlem4  13836  mulgcd  13841  dvdsmulgcd  13849  mulgcddvds  13901  rpmulgcd2  13902  exprmfct  13907  hashdvds  13961  eulerthlem1  13967  eulerthlem2  13968  prmdiv  13971  prmdiveq  13972  pcpremul  14021  pcqmul  14031  pcaddlem  14061  prmpwdvds  14076  4sqlem5  14114  4sqlem10  14119  4sqlem14  14130  mulgass  15768  odmod  16162  odmulgid  16168  odbezout  16172  gexdvds  16196  odadd1  16443  odadd2  16444  torsubg  16449  ablfacrp  16681  pgpfac1lem2  16690  pgpfac1lem3a  16691  pgpfac1lem3  16692  znunit  18114  znrrg  18116  dyaddisjlem  21201  elqaalem3  21913  aalioulem1  21924  aaliou3lem2  21935  aaliou3lem8  21937  dvdsmulf1o  22660  lgsdirprm  22794  lgsdir  22795  lgsdilem2  22796  lgsdi  22797  lgseisenlem1  22814  lgseisenlem2  22815  lgseisenlem3  22816  lgseisenlem4  22817  lgsquadlem1  22819  lgsquad2lem1  22823  lgsquad3  22826  2sqlem3  22831  2sqlem4  22832  2sqblem  22842  gxmodid  23911  qqhghm  26555  qqhrhm  26556  dvdspw  27693  pellexlem5  29315  pellexlem6  29316  pell1234qrmulcl  29337  congmul  29451  bezoutr  29469  jm2.18  29478  jm2.19lem1  29479  jm2.19lem2  29480  jm2.19lem3  29481  jm2.19lem4  29482  jm2.22  29485  jm2.23  29486  jm2.20nn  29487  jm2.25  29489  jm2.15nn0  29493  jm2.16nn0  29494  jm2.27c  29497  jm3.1lem3  29509  jm3.1  29510  expdiophlem1  29511  wallispilem4  30004  stirlinglem3  30012  stirlinglem7  30016  stirlinglem10  30019  stirlinglem11  30020
  Copyright terms: Public domain W3C validator