MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcld Structured version   Unicode version

Theorem zmulcld 10745
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
zaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 zaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 zmulcl 10685 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756  (class class class)co 6086    x. cmul 9279   ZZcz 10638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-ltxr 9415  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639
This theorem is referenced by:  flhalf  11666  quoremz  11686  intfracq  11690  zmodcl  11719  modmul1  11744  eirrlem  13478  dvds2ln  13555  dvdsmod  13582  3dvds  13588  bits0e  13617  bits0o  13618  bitsp1e  13620  bitsp1o  13621  bitsmod  13624  bitscmp  13626  bitsinv1lem  13629  bitsuz  13662  bitsshft  13663  smumullem  13680  smumul  13681  bezoutlem3  13716  bezoutlem4  13717  mulgcd  13722  dvdsmulgcd  13730  mulgcddvds  13782  rpmulgcd2  13783  exprmfct  13788  hashdvds  13842  eulerthlem1  13848  eulerthlem2  13849  prmdiv  13852  prmdiveq  13853  pcpremul  13902  pcqmul  13912  pcaddlem  13942  prmpwdvds  13957  4sqlem5  13995  4sqlem10  14000  4sqlem14  14011  mulgass  15648  odmod  16040  odmulgid  16046  odbezout  16050  gexdvds  16074  odadd1  16321  odadd2  16322  torsubg  16327  ablfacrp  16555  pgpfac1lem2  16564  pgpfac1lem3a  16565  pgpfac1lem3  16566  znunit  17971  znrrg  17973  dyaddisjlem  21050  elqaalem3  21762  aalioulem1  21773  aaliou3lem2  21784  aaliou3lem8  21786  dvdsmulf1o  22509  lgsdirprm  22643  lgsdir  22644  lgsdilem2  22645  lgsdi  22646  lgseisenlem1  22663  lgseisenlem2  22664  lgseisenlem3  22665  lgseisenlem4  22666  lgsquadlem1  22668  lgsquad2lem1  22672  lgsquad3  22675  2sqlem3  22680  2sqlem4  22681  2sqblem  22691  gxmodid  23717  qqhghm  26369  qqhrhm  26370  dvdspw  27507  pellexlem5  29127  pellexlem6  29128  pell1234qrmulcl  29149  congmul  29263  bezoutr  29281  jm2.18  29290  jm2.19lem1  29291  jm2.19lem2  29292  jm2.19lem3  29293  jm2.19lem4  29294  jm2.22  29297  jm2.23  29298  jm2.20nn  29299  jm2.25  29301  jm2.15nn0  29305  jm2.16nn0  29306  jm2.27c  29309  jm3.1lem3  29321  jm3.1  29322  expdiophlem1  29323  wallispilem4  29816  stirlinglem3  29824  stirlinglem7  29828  stirlinglem10  29831  stirlinglem11  29832
  Copyright terms: Public domain W3C validator