MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmulcld Unicode version

Theorem zmulcld 10337
Description: Closure of multiplication of integers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
zred.1  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
zaddcld.1  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zmulcld  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )

Proof of Theorem zmulcld
StepHypRef Expression
1 zred.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  ZZ )
2 zaddcld.1 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  ZZ )
3 zmulcl 10280 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A  x.  B
)  e.  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1721  (class class class)co 6040    x. cmul 8951   ZZcz 10238
This theorem is referenced by:  flhalf  11186  quoremz  11191  intfracq  11195  zmodcl  11221  modmul1  11234  eirrlem  12758  dvds2ln  12835  dvdsmod  12861  3dvds  12867  bits0e  12896  bits0o  12897  bitsp1e  12899  bitsp1o  12900  bitsmod  12903  bitscmp  12905  bitsinv1lem  12908  bitsuz  12941  bitsshft  12942  smumullem  12959  smumul  12960  bezoutlem3  12995  bezoutlem4  12996  mulgcd  13001  dvdsmulgcd  13009  mulgcddvds  13059  rpmulgcd2  13060  exprmfct  13065  hashdvds  13119  eulerthlem1  13125  eulerthlem2  13126  prmdiv  13129  prmdiveq  13130  pcpremul  13172  pcqmul  13182  pcaddlem  13212  prmpwdvds  13227  4sqlem5  13265  4sqlem10  13270  4sqlem14  13281  mulgass  14875  odmod  15139  odmulgid  15145  odbezout  15149  gexdvds  15173  odadd1  15418  odadd2  15419  torsubg  15424  ablfacrp  15579  pgpfac1lem2  15588  pgpfac1lem3a  15589  pgpfac1lem3  15590  znunit  16799  znrrg  16801  dyaddisjlem  19440  elqaalem3  20191  aalioulem1  20202  aaliou3lem2  20213  aaliou3lem8  20215  dvdsmulf1o  20932  lgsdirprm  21066  lgsdir  21067  lgsdilem2  21068  lgsdi  21069  lgseisenlem1  21086  lgseisenlem2  21087  lgseisenlem3  21088  lgseisenlem4  21089  lgsquadlem1  21091  lgsquad2lem1  21095  lgsquad3  21098  2sqlem3  21103  2sqlem4  21104  2sqblem  21114  gxmodid  21820  qqhghm  24325  qqhrhm  24326  dvdspw  25317  pellexlem5  26786  pellexlem6  26787  pell1234qrmulcl  26808  congmul  26922  bezoutr  26940  jm2.18  26949  jm2.19lem1  26950  jm2.19lem2  26951  jm2.19lem3  26952  jm2.19lem4  26953  jm2.22  26956  jm2.23  26957  jm2.20nn  26958  jm2.25  26960  jm2.15nn0  26964  jm2.16nn0  26965  jm2.27c  26968  jm3.1lem3  26980  jm3.1  26981  expdiophlem1  26982  wallispilem4  27684  stirlinglem3  27692  stirlinglem7  27696  stirlinglem10  27699  stirlinglem11  27700
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-ltxr 9081  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239
  Copyright terms: Public domain W3C validator