MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmodcl Structured version   Unicode version

Theorem zmodcl 11973
Description: Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
zmodcl  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem zmodcl
StepHypRef Expression
1 zre 10859 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2 nnrp 11220 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
3 modval 11956 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
5 nnz 10877 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
65adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
7 nndivre 10562 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
81, 7sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
98flcld 11894 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  ZZ )
106, 9zmulcld 10963 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  ZZ )
11 zsubcl 10896 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) )  e.  ZZ )
1210, 11syldan 470 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) )  e.  ZZ )
134, 12eqeltrd 2550 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  e.  ZZ )
14 modge0 11963 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  mod  B ) )
151, 2, 14syl2an 477 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( A  mod  B ) )
16 elnn0z 10868 . 2  |-  ( ( A  mod  B )  e.  NN0  <->  ( ( A  mod  B )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( A  mod  B
) ) )
1713, 15, 16sylanbrc 664 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   class class class wbr 4442   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   RRcr 9482   0cc0 9483    x. cmul 9488    <_ cle 9620    - cmin 9796    / cdiv 10197   NNcn 10527   NN0cn0 10786   ZZcz 10855   RR+crp 11211   |_cfl 11886    mod cmo 11954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-fl 11888  df-mod 11955
This theorem is referenced by:  zmodcld  11974  zmodfz  11975  modaddmodup  12008  modaddmodlo  12009  cshwlen  12722  cshwidxmod  12726  repswcshw  12732  modfsummods  13558  divalgmod  13914  modgcd  14024  eucalgf  14062  eucalginv  14063  modprmn0modprm0  14182  fldivp1  14266  odmodnn0  16355  gexdvds  16395  elqaalem2  22445  lgsmod  23319  dchrisumlem1  23397  congrep  30504
  Copyright terms: Public domain W3C validator