MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmodcl Structured version   Unicode version

Theorem zmodcl 12052
Description: Closure law for the modulo operation restricted to integers. (Contributed by NM, 27-Nov-2008.)
Assertion
Ref Expression
zmodcl  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem zmodcl
StepHypRef Expression
1 zre 10908 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
2 nnrp 11273 . . . 4  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  RR+ )
3 modval 12034 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
41, 2, 3syl2an 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  =  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) ) ) )
5 nnz 10926 . . . . . 6  |-  ( B  e.  NN  ->  B  e.  ZZ )
65adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  B  e.  ZZ )
7 nndivre 10611 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
81, 7sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  /  B
)  e.  RR )
98flcld 11970 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( |_ `  ( A  /  B ) )  e.  ZZ )
106, 9zmulcld 11013 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  ZZ )
11 zsubcl 10946 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B ) ) )  e.  ZZ )  -> 
( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) )  e.  ZZ )
1210, 11syldan 468 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  -  ( B  x.  ( |_ `  ( A  /  B
) ) ) )  e.  ZZ )
134, 12eqeltrd 2490 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  e.  ZZ )
14 modge0 12042 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR+ )  -> 
0  <_  ( A  mod  B ) )
151, 2, 14syl2an 475 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  0  <_  ( A  mod  B ) )
16 elnn0z 10917 . 2  |-  ( ( A  mod  B )  e.  NN0  <->  ( ( A  mod  B )  e.  ZZ  /\  0  <_ 
( A  mod  B
) ) )
1713, 15, 16sylanbrc 662 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  NN )  ->  ( A  mod  B
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394   ` cfv 5568  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521    x. cmul 9526    <_ cle 9658    - cmin 9840    / cdiv 10246   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZcz 10904   RR+crp 11264   |_cfl 11962    mod cmo 12032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-pre-sup 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-rp 11265  df-fl 11964  df-mod 12033
This theorem is referenced by:  zmodcld  12053  zmodfz  12054  modaddmodup  12089  modaddmodlo  12090  cshwlen  12824  cshwidxmod  12828  repswcshw  12834  modfsummods  13756  divalgmod  14271  modgcd  14381  eucalgf  14419  eucalginv  14420  modprmn0modprm0  14539  fldivp1  14623  odmodnn0  16886  gexdvds  16926  elqaalem2  23006  lgsmod  23975  dchrisumlem1  24053  congrep  35252
  Copyright terms: Public domain W3C validator