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Theorem zmin 11203
Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
zmin  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zmin
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnssz 10905 . . . . . 6  |-  NN  C_  ZZ
2 arch 10813 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  A  <  z
)
3 ssrexv 3561 . . . . . 6  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. z  e.  NN  A  <  z  ->  E. z  e.  ZZ  A  <  z
) )
41, 2, 3mpsyl 63 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  A  <  z
)
5 zre 10889 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
6 ltle 9690 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
75, 6sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
87reximdva 2932 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  A  <  z  ->  E. z  e.  ZZ  A  <_  z
) )
94, 8mpd 15 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  A  <_  z
)
10 rabn0 3814 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  ZZ  A  <_  z )
119, 10sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/) )
12 breq2 4460 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  ( A  <_  z  <->  A  <_  n ) )
1312cbvrabv 3108 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =  {
n  e.  ZZ  |  A  <_  n }
1413eqimssi 3553 . . . 4  |-  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  C_  { n  e.  ZZ  |  A  <_  n }
15 uzwo3 11202 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } 
C_  { n  e.  ZZ  |  A  <_  n }  /\  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e. 
{ z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  {
z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )
1614, 15mpanr1 683 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/) )  ->  E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  {
z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )
1711, 16mpdan 668 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )
18 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( A  <_  z  <->  A  <_  x ) )
1918elrab 3257 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z }  <->  ( x  e.  ZZ  /\  A  <_  x ) )
20 breq2 4460 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( A  <_  z  <->  A  <_  y ) )
2120ralrab 3261 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } x  <_ 
y  <->  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )
2219, 21anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } x  <_ 
y )  <->  ( (
x  e.  ZZ  /\  A  <_  x )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
23 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  <_  x )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <-> 
( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
2422, 23bitri 249 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } x  <_ 
y )  <->  ( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
2524eubii 2307 . . 3  |-  ( E! x ( x  e. 
{ z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e. 
{ z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )  <->  E! x ( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
26 df-reu 2814 . . 3  |-  ( E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y  <->  E! x
( x  e.  {
z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_ 
y ) )
27 df-reu 2814 . . 3  |-  ( E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  E! x
( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
2825, 26, 273bitr4i 277 . 2  |-  ( E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y  <->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) ) )
2917, 28sylib 196 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1819   E!weu 2283    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   E!wreu 2809   {crab 2811    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   RRcr 9508    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZcz 10885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107
This theorem is referenced by:  zmax  11204  zbtwnre  11205
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