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Theorem zmin 11267
Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
zmin  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zmin
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnssz 10964 . . . . . 6  |-  NN  C_  ZZ
2 arch 10873 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  A  <  z
)
3 ssrexv 3496 . . . . . 6  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. z  e.  NN  A  <  z  ->  E. z  e.  ZZ  A  <  z
) )
41, 2, 3mpsyl 65 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  A  <  z
)
5 zre 10948 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
6 ltle 9727 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
75, 6sylan2 477 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
87reximdva 2864 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  A  <  z  ->  E. z  e.  ZZ  A  <_  z
) )
94, 8mpd 15 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  A  <_  z
)
10 rabn0 3754 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  ZZ  A  <_  z )
119, 10sylibr 216 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/) )
12 breq2 4409 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  ( A  <_  z  <->  A  <_  n ) )
1312cbvrabv 3046 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =  {
n  e.  ZZ  |  A  <_  n }
1413eqimssi 3488 . . . 4  |-  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  C_  { n  e.  ZZ  |  A  <_  n }
15 uzwo3 11266 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } 
C_  { n  e.  ZZ  |  A  <_  n }  /\  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e. 
{ z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  {
z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )
1614, 15mpanr1 690 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/) )  ->  E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  {
z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )
1711, 16mpdan 675 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )
18 breq2 4409 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( A  <_  z  <->  A  <_  x ) )
1918elrab 3198 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z }  <->  ( x  e.  ZZ  /\  A  <_  x ) )
20 breq2 4409 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( A  <_  z  <->  A  <_  y ) )
2120ralrab 3202 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } x  <_ 
y  <->  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )
2219, 21anbi12i 704 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } x  <_ 
y )  <->  ( (
x  e.  ZZ  /\  A  <_  x )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
23 anass 655 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  <_  x )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <-> 
( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
2422, 23bitri 253 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } x  <_ 
y )  <->  ( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
2524eubii 2323 . . 3  |-  ( E! x ( x  e. 
{ z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e. 
{ z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )  <->  E! x ( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
26 df-reu 2746 . . 3  |-  ( E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y  <->  E! x
( x  e.  {
z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_ 
y ) )
27 df-reu 2746 . . 3  |-  ( E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  E! x
( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
2825, 26, 273bitr4i 281 . 2  |-  ( E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y  <->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) ) )
2917, 28sylib 200 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    e. wcel 1889   E!weu 2301    =/= wne 2624   A.wral 2739   E.wrex 2740   E!wreu 2741   {crab 2743    C_ wss 3406   (/)c0 3733   class class class wbr 4405   RRcr 9543    < clt 9680    <_ cle 9681   NNcn 10616   ZZcz 10944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167
This theorem is referenced by:  zmax  11268  zbtwnre  11269
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