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Theorem zmin 11055
Description: There is a unique smallest integer greater than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 12-Nov-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
zmin  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zmin
Dummy variables  n  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nnssz 10772 . . . . . 6  |-  NN  C_  ZZ
2 arch 10682 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  NN  A  <  z
)
3 ssrexv 3520 . . . . . 6  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. z  e.  NN  A  <  z  ->  E. z  e.  ZZ  A  <  z
) )
41, 2, 3mpsyl 63 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  A  <  z
)
5 zre 10756 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  RR )
6 ltle 9569 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  RR )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
75, 6sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  z  e.  ZZ )  ->  ( A  <  z  ->  A  <_  z )
)
87reximdva 2928 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E. z  e.  ZZ  A  <  z  ->  E. z  e.  ZZ  A  <_  z
) )
94, 8mpd 15 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  E. z  e.  ZZ  A  <_  z
)
10 rabn0 3760 . . . 4  |-  ( { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  ZZ  A  <_  z )
119, 10sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/) )
12 breq2 4399 . . . . . 6  |-  ( z  =  n  ->  ( A  <_  z  <->  A  <_  n ) )
1312cbvrabv 3071 . . . . 5  |-  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =  {
n  e.  ZZ  |  A  <_  n }
1413eqimssi 3513 . . . 4  |-  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  C_  { n  e.  ZZ  |  A  <_  n }
15 uzwo3 11054 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  ( { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } 
C_  { n  e.  ZZ  |  A  <_  n }  /\  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/) ) )  ->  E! x  e. 
{ z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  {
z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )
1614, 15mpanr1 683 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  =/=  (/) )  ->  E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  {
z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )
1711, 16mpdan 668 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )
18 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( z  =  x  ->  ( A  <_  z  <->  A  <_  x ) )
1918elrab 3218 . . . . . 6  |-  ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z }  <->  ( x  e.  ZZ  /\  A  <_  x ) )
20 breq2 4399 . . . . . . 7  |-  ( z  =  y  ->  ( A  <_  z  <->  A  <_  y ) )
2120ralrab 3222 . . . . . 6  |-  ( A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } x  <_ 
y  <->  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )
2219, 21anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } x  <_ 
y )  <->  ( (
x  e.  ZZ  /\  A  <_  x )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
23 anass 649 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ZZ  /\  A  <_  x )  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <-> 
( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
2422, 23bitri 249 . . . 4  |-  ( ( x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_ 
z } x  <_ 
y )  <->  ( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
2524eubii 2286 . . 3  |-  ( E! x ( x  e. 
{ z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e. 
{ z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y )  <->  E! x ( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
26 df-reu 2803 . . 3  |-  ( E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y  <->  E! x
( x  e.  {
z  e.  ZZ  |  A  <_  z }  /\  A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_ 
y ) )
27 df-reu 2803 . . 3  |-  ( E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) )  <->  E! x
( x  e.  ZZ  /\  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) ) )
2825, 26, 273bitr4i 277 . 2  |-  ( E! x  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } A. y  e.  { z  e.  ZZ  |  A  <_  z } x  <_  y  <->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_ 
y  ->  x  <_  y ) ) )
2917, 28sylib 196 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  ( A  <_  x  /\  A. y  e.  ZZ  ( A  <_  y  ->  x  <_  y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1758   E!weu 2261    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797   E!wreu 2798   {crab 2800    C_ wss 3431   (/)c0 3740   class class class wbr 4395   RRcr 9387    < clt 9524    <_ cle 9525   NNcn 10428   ZZcz 10752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-n0 10686  df-z 10753  df-uz 10968
This theorem is referenced by:  zmax  11056  zbtwnre  11057
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