MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zmax Structured version   Unicode version

Theorem zmax 10955
Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmax  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zmax
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9677 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 zmin 10954 . . 3  |-  ( -u A  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) ) )
4 zre 10655 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
5 leneg 9847 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
64, 5sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
76ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
8 znegcl 10685 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ZZ  ->  -u w  e.  ZZ )
9 breq1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u w  ->  (
y  <_  A  <->  -u w  <_  A ) )
10 breq1 4300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u w  ->  (
y  <_  x  <->  -u w  <_  x ) )
119, 10imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u w  ->  (
( y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  (
-u w  <_  A  -> 
-u w  <_  x
) ) )
1211rspcv 3074 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x
) ) )
138, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x
) ) )
14 zre 10655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  RR )
15 lenegcon1 9848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -u w  <_  A 
<-> 
-u A  <_  w
) )
1615adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( -u w  <_  A  <->  -u A  <_  w
) )
17 lenegcon1 9848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u w  <_  x 
<-> 
-u x  <_  w
) )
184, 17sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u w  <_  x 
<-> 
-u x  <_  w
) )
1918adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( -u w  <_  x  <->  -u x  <_  w
) )
2016, 19imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  <->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
2114, 20sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  <->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  -> 
( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
( -u w  <_  A  -> 
-u w  <_  x
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2513, 24syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2625com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  ->  ( w  e.  ZZ  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2726ralrimdv 2810 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  ->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
28 znegcl 10685 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
29 breq2 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u A  <_  w  <->  -u A  <_  -u y ) )
30 breq2 4301 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u x  <_  w  <->  -u x  <_  -u y ) )
3129, 30imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  -u y  ->  (
( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
3231rspcv 3074 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
34 zre 10655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
35 leneg 9847 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( y  <_  A  <->  -u A  <_  -u y ) )
3635adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( y  <_  A  <->  -u A  <_  -u y
) )
37 leneg 9847 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y ) )
384, 37sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y ) )
3938adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y
) )
4036, 39imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
4134, 40sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
4241exbiri 622 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( -u A  <_  -u y  ->  -u x  <_ 
-u y )  -> 
( y  <_  A  ->  y  <_  x )
) ) )
4342com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( -u A  <_  -u y  -> 
-u x  <_  -u y
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4433, 43syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4544com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w )  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4645ralrimdv 2810 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w )  ->  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
) ) )
4727, 46impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  <->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
487, 47anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
) )  <->  ( -u A  <_ 
-u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
4948reubidva 2909 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) )  <-> 
E! x  e.  ZZ  ( -u A  <_  -u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) ) )
50 znegcl 10685 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
51 znegcl 10685 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  ->  -u z  e.  ZZ )
52 zcn 10656 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
53 zcn 10656 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
54 negcon2 9667 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( z  =  -u x 
<->  x  =  -u z
) )
5552, 53, 54syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( z  =  -u x 
<->  x  =  -u z
) )
5651, 55reuhyp 4525 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ  ->  E! x  e.  ZZ  z  =  -u x )
57 breq2 4301 . . . . 5  |-  ( z  =  -u x  ->  ( -u A  <_  z  <->  -u A  <_  -u x ) )
58 breq1 4300 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -u x  ->  (
z  <_  w  <->  -u x  <_  w ) )
5958imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( z  =  -u x  ->  (
( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )  <->  (
-u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
6059ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( z  =  -u x  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )  <->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
6157, 60anbi12d 710 . . . 4  |-  ( z  =  -u x  ->  (
( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )
)  <->  ( -u A  <_ 
-u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
6250, 56, 61reuxfr 4523 . . 3  |-  ( E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) )  <-> 
E! x  e.  ZZ  ( -u A  <_  -u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
6349, 62syl6rbbr 264 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )
)  <->  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
643, 63mpbid 210 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E!wreu 2722   class class class wbr 4297   CCcc 9285   RRcr 9286    <_ cle 9424   -ucneg 9601   ZZcz 10651
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867
This theorem is referenced by:  flval2  11667
  Copyright terms: Public domain W3C validator