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Theorem zmax 11183
Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmax  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zmax
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9882 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 zmin 11182 . . 3  |-  ( -u A  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) ) )
4 zre 10869 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
5 leneg 10056 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
64, 5sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
76ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
8 znegcl 10900 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ZZ  ->  -u w  e.  ZZ )
9 breq1 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u w  ->  (
y  <_  A  <->  -u w  <_  A ) )
10 breq1 4436 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u w  ->  (
y  <_  x  <->  -u w  <_  x ) )
119, 10imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u w  ->  (
( y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  (
-u w  <_  A  -> 
-u w  <_  x
) ) )
1211rspcv 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x
) ) )
138, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x
) ) )
14 zre 10869 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  RR )
15 lenegcon1 10057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -u w  <_  A 
<-> 
-u A  <_  w
) )
1615adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( -u w  <_  A  <->  -u A  <_  w
) )
17 lenegcon1 10057 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u w  <_  x 
<-> 
-u x  <_  w
) )
184, 17sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u w  <_  x 
<-> 
-u x  <_  w
) )
1918adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( -u w  <_  x  <->  -u x  <_  w
) )
2016, 19imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  <->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
2114, 20sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  <->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  -> 
( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
( -u w  <_  A  -> 
-u w  <_  x
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2513, 24syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2625com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  ->  ( w  e.  ZZ  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2726ralrimdv 2857 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  ->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
28 znegcl 10900 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
29 breq2 4437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u A  <_  w  <->  -u A  <_  -u y ) )
30 breq2 4437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u x  <_  w  <->  -u x  <_  -u y ) )
3129, 30imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  -u y  ->  (
( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
3231rspcv 3190 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
34 zre 10869 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
35 leneg 10056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( y  <_  A  <->  -u A  <_  -u y ) )
3635adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( y  <_  A  <->  -u A  <_  -u y
) )
37 leneg 10056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y ) )
384, 37sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y ) )
3938adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y
) )
4036, 39imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
4134, 40sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
4241exbiri 622 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( -u A  <_  -u y  ->  -u x  <_ 
-u y )  -> 
( y  <_  A  ->  y  <_  x )
) ) )
4342com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( -u A  <_  -u y  -> 
-u x  <_  -u y
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4433, 43syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4544com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w )  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4645ralrimdv 2857 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w )  ->  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
) ) )
4727, 46impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  <->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
487, 47anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
) )  <->  ( -u A  <_ 
-u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
4948reubidva 3025 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) )  <-> 
E! x  e.  ZZ  ( -u A  <_  -u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) ) )
50 znegcl 10900 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
51 znegcl 10900 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  ->  -u z  e.  ZZ )
52 zcn 10870 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
53 zcn 10870 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
54 negcon2 9872 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( z  =  -u x 
<->  x  =  -u z
) )
5552, 53, 54syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( z  =  -u x 
<->  x  =  -u z
) )
5651, 55reuhyp 4661 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ  ->  E! x  e.  ZZ  z  =  -u x )
57 breq2 4437 . . . . 5  |-  ( z  =  -u x  ->  ( -u A  <_  z  <->  -u A  <_  -u x ) )
58 breq1 4436 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -u x  ->  (
z  <_  w  <->  -u x  <_  w ) )
5958imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( z  =  -u x  ->  (
( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )  <->  (
-u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
6059ralbidv 2880 . . . . 5  |-  ( z  =  -u x  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )  <->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
6157, 60anbi12d 710 . . . 4  |-  ( z  =  -u x  ->  (
( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )
)  <->  ( -u A  <_ 
-u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
6250, 56, 61reuxfr 4659 . . 3  |-  ( E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) )  <-> 
E! x  e.  ZZ  ( -u A  <_  -u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
6349, 62syl6rbbr 264 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )
)  <->  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
643, 63mpbid 210 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   A.wral 2791   E!wreu 2793   class class class wbr 4433   CCcc 9488   RRcr 9489    <_ cle 9627   -ucneg 9806   ZZcz 10865
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086
This theorem is referenced by:  flval2  11924
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