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Theorem zmax 11180
Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmax  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zmax
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9873 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 zmin 11179 . . 3  |-  ( -u A  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) ) )
4 zre 10864 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
5 leneg 10051 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
64, 5sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
76ancoms 451 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
8 znegcl 10895 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ZZ  ->  -u w  e.  ZZ )
9 breq1 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u w  ->  (
y  <_  A  <->  -u w  <_  A ) )
10 breq1 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u w  ->  (
y  <_  x  <->  -u w  <_  x ) )
119, 10imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u w  ->  (
( y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  (
-u w  <_  A  -> 
-u w  <_  x
) ) )
1211rspcv 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x
) ) )
138, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x
) ) )
14 zre 10864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  RR )
15 lenegcon1 10052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -u w  <_  A 
<-> 
-u A  <_  w
) )
1615adantrr 714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( -u w  <_  A  <->  -u A  <_  w
) )
17 lenegcon1 10052 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u w  <_  x 
<-> 
-u x  <_  w
) )
184, 17sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u w  <_  x 
<-> 
-u x  <_  w
) )
1918adantrl 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( -u w  <_  x  <->  -u x  <_  w
) )
2016, 19imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  <->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
2114, 20sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  <->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  -> 
( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
2322ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
( -u w  <_  A  -> 
-u w  <_  x
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2513, 24syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2625com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  ->  ( w  e.  ZZ  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2726ralrimdv 2870 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  ->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
28 znegcl 10895 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
29 breq2 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u A  <_  w  <->  -u A  <_  -u y ) )
30 breq2 4443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u x  <_  w  <->  -u x  <_  -u y ) )
3129, 30imbi12d 318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  -u y  ->  (
( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
3231rspcv 3203 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
34 zre 10864 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
35 leneg 10051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( y  <_  A  <->  -u A  <_  -u y ) )
3635adantrr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( y  <_  A  <->  -u A  <_  -u y
) )
37 leneg 10051 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y ) )
384, 37sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y ) )
3938adantrl 713 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y
) )
4036, 39imbi12d 318 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
4134, 40sylan 469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
4241exbiri 620 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( -u A  <_  -u y  ->  -u x  <_ 
-u y )  -> 
( y  <_  A  ->  y  <_  x )
) ) )
4342com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( -u A  <_  -u y  -> 
-u x  <_  -u y
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4433, 43syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4544com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w )  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4645ralrimdv 2870 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w )  ->  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
) ) )
4727, 46impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  <->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
487, 47anbi12d 708 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
) )  <->  ( -u A  <_ 
-u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
4948reubidva 3038 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) )  <-> 
E! x  e.  ZZ  ( -u A  <_  -u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) ) )
50 znegcl 10895 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
51 znegcl 10895 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  ->  -u z  e.  ZZ )
52 zcn 10865 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
53 zcn 10865 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
54 negcon2 9863 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( z  =  -u x 
<->  x  =  -u z
) )
5552, 53, 54syl2an 475 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( z  =  -u x 
<->  x  =  -u z
) )
5651, 55reuhyp 4665 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ  ->  E! x  e.  ZZ  z  =  -u x )
57 breq2 4443 . . . . 5  |-  ( z  =  -u x  ->  ( -u A  <_  z  <->  -u A  <_  -u x ) )
58 breq1 4442 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -u x  ->  (
z  <_  w  <->  -u x  <_  w ) )
5958imbi2d 314 . . . . . 6  |-  ( z  =  -u x  ->  (
( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )  <->  (
-u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
6059ralbidv 2893 . . . . 5  |-  ( z  =  -u x  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )  <->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
6157, 60anbi12d 708 . . . 4  |-  ( z  =  -u x  ->  (
( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )
)  <->  ( -u A  <_ 
-u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
6250, 56, 61reuxfr 4663 . . 3  |-  ( E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) )  <-> 
E! x  e.  ZZ  ( -u A  <_  -u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
6349, 62syl6rbbr 264 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )
)  <->  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
643, 63mpbid 210 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E!wreu 2806   class class class wbr 4439   CCcc 9479   RRcr 9480    <_ cle 9618   -ucneg 9797   ZZcz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083
This theorem is referenced by:  flval2  11931
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