Theorem zmax 7433

Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number.

Assertion

Ref	Expression
zmax	|- (A e. RR -> E!x e. ZZ (x <_ A /\ A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x)))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem zmax

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 6600	. . 3 |- (A e. RR -> -uA e. RR)
2		zmin 7432	. . 3 |- (-uA e. RR -> E!z e. ZZ (-uA <_ z /\ A.w e. ZZ (-uA <_ w -> z <_ w)))
3	1, 2	syl 12	. 2 |- (A e. RR -> E!z e. ZZ (-uA <_ z /\ A.w e. ZZ (-uA <_ w -> z <_ w)))
4		leneg 6846	. . . . . . 7 |- ((x e. RR /\ A e. RR) -> (x <_ A <-> -uA <_ -ux))
5		zre 7348	. . . . . . 7 |- (x e. ZZ -> x e. RR)
6	4, 5	sylan 497	. . . . . 6 |- ((x e. ZZ /\ A e. RR) -> (x <_ A <-> -uA <_ -ux))
7	6	ancoms 484	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (x <_ A <-> -uA <_ -ux))
8		znegcl 7372	. . . . . . . . . 10 |- (w e. ZZ -> -uw e. ZZ)
9		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = -uw -> (y <_ A <-> -uw <_ A))
10		breq1 3341	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = -uw -> (y <_ x <-> -uw <_ x))
11	9, 10	imbi12d 688	. . . . . . . . . . 11 |- (y = -uw -> ((y <_ A -> y <_ x) <-> (-uw <_ A -> -uw <_ x)))
12	11	rcla4v 2376	. . . . . . . . . 10 |- (-uw e. ZZ -> (A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x) -> (-uw <_ A -> -uw <_ x)))
13	8, 12	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (w e. ZZ -> (A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x) -> (-uw <_ A -> -uw <_ x)))
14		lenegcon1 6847	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. RR /\ A e. RR) -> (-uw <_ A <-> -uA <_ w))
15	14	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. RR /\ (A e. RR /\ x e. ZZ)) -> (-uw <_ A <-> -uA <_ w))
16		lenegcon1 6847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((w e. RR /\ x e. RR) -> (-uw <_ x <-> -ux <_ w))
17	16, 5	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. RR /\ x e. ZZ) -> (-uw <_ x <-> -ux <_ w))
18	17	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((w e. RR /\ (A e. RR /\ x e. ZZ)) -> (-uw <_ x <-> -ux <_ w))
19	15, 18	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((w e. RR /\ (A e. RR /\ x e. ZZ)) -> ((-uw <_ A -> -uw <_ x) <-> (-uA <_ w -> -ux <_ w)))
20		zre 7348	. . . . . . . . . . . . 13 |- (w e. ZZ -> w e. RR)
21	19, 20	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ((w e. ZZ /\ (A e. RR /\ x e. ZZ)) -> ((-uw <_ A -> -uw <_ x) <-> (-uA <_ w -> -ux <_ w)))
22	21	biimpd 170	. . . . . . . . . . 11 |- ((w e. ZZ /\ (A e. RR /\ x e. ZZ)) -> ((-uw <_ A -> -uw <_ x) -> (-uA <_ w -> -ux <_ w)))
23	22	ex 402	. . . . . . . . . 10 |- (w e. ZZ -> ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> ((-uw <_ A -> -uw <_ x) -> (-uA <_ w -> -ux <_ w))))
24	23	com23 36	. . . . . . . . 9 |- (w e. ZZ -> ((-uw <_ A -> -uw <_ x) -> ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (-uA <_ w -> -ux <_ w))))
25	13, 24	syld 30	. . . . . . . 8 |- (w e. ZZ -> (A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x) -> ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (-uA <_ w -> -ux <_ w))))
26	25	com13 37	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x) -> (w e. ZZ -> (-uA <_ w -> -ux <_ w))))
27	26	r19.21adv 2181	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x) -> A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w)))
28		znegcl 7372	. . . . . . . . . 10 |- (y e. ZZ -> -uy e. ZZ)
29		breq2 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = -uy -> (-uA <_ w <-> -uA <_ -uy))
30		breq2 3342	. . . . . . . . . . . 12 |- (w = -uy -> (-ux <_ w <-> -ux <_ -uy))
31	29, 30	imbi12d 688	. . . . . . . . . . 11 |- (w = -uy -> ((-uA <_ w -> -ux <_ w) <-> (-uA <_ -uy -> -ux <_ -uy)))
32	31	rcla4v 2376	. . . . . . . . . 10 |- (-uy e. ZZ -> (A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w) -> (-uA <_ -uy -> -ux <_ -uy)))
33	28, 32	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (y e. ZZ -> (A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w) -> (-uA <_ -uy -> -ux <_ -uy)))
34		leneg 6846	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. RR /\ A e. RR) -> (y <_ A <-> -uA <_ -uy))
35	34	adantrr 431	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. RR /\ (A e. RR /\ x e. ZZ)) -> (y <_ A <-> -uA <_ -uy))
36		leneg 6846	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. RR /\ x e. RR) -> (y <_ x <-> -ux <_ -uy))
37	36, 5	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y e. RR /\ x e. ZZ) -> (y <_ x <-> -ux <_ -uy))
38	37	adantrl 430	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. RR /\ (A e. RR /\ x e. ZZ)) -> (y <_ x <-> -ux <_ -uy))
39	35, 38	imbi12d 688	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. RR /\ (A e. RR /\ x e. ZZ)) -> ((y <_ A -> y <_ x) <-> (-uA <_ -uy -> -ux <_ -uy)))
40		zre 7348	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. ZZ -> y e. RR)
41	39, 40	sylan 497	. . . . . . . . . . 11 |- ((y e. ZZ /\ (A e. RR /\ x e. ZZ)) -> ((y <_ A -> y <_ x) <-> (-uA <_ -uy -> -ux <_ -uy)))
42	41	exbiri 421	. . . . . . . . . 10 |- (y e. ZZ -> ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> ((-uA <_ -uy -> -ux <_ -uy) -> (y <_ A -> y <_ x))))
43	42	com23 36	. . . . . . . . 9 |- (y e. ZZ -> ((-uA <_ -uy -> -ux <_ -uy) -> ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (y <_ A -> y <_ x))))
44	33, 43	syld 30	. . . . . . . 8 |- (y e. ZZ -> (A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w) -> ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (y <_ A -> y <_ x))))
45	44	com13 37	. . . . . . 7 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w) -> (y e. ZZ -> (y <_ A -> y <_ x))))
46	45	r19.21adv 2181	. . . . . 6 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w) -> A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x)))
47	27, 46	impbid 574	. . . . 5 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> (A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x) <-> A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w)))
48	7, 47	anbi12d 690	. . . 4 |- ((A e. RR /\ x e. ZZ) -> ((x <_ A /\ A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x)) <-> (-uA <_ -ux /\ A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w))))
49	48	reubidva 2259	. . 3 |- (A e. RR -> (E!x e. ZZ (x <_ A /\ A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x)) <-> E!x e. ZZ (-uA <_ -ux /\ A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w))))
50		znegcl 7372	. . . 4 |- (x e. ZZ -> -ux e. ZZ)
51		znegcl 7372	. . . . 5 |- (z e. ZZ -> -uz e. ZZ)
52		negcon2 6571	. . . . . 6 |- ((z e. CC /\ x e. CC) -> (z = -ux <-> x = -uz))
53		zcn 7349	. . . . . 6 |- (z e. ZZ -> z e. CC)
54		zcn 7349	. . . . . 6 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
55	52, 53, 54	syl2an 503	. . . . 5 |- ((z e. ZZ /\ x e. ZZ) -> (z = -ux <-> x = -uz))
56	51, 55	reuhyp 3849	. . . 4 |- (z e. ZZ -> E!x e. ZZ z = -ux)
57		breq2 3342	. . . . 5 |- (z = -ux -> (-uA <_ z <-> -uA <_ -ux))
58		breq1 3341	. . . . . . 7 |- (z = -ux -> (z <_ w <-> -ux <_ w))
59	58	imbi2d 674	. . . . . 6 |- (z = -ux -> ((-uA <_ w -> z <_ w) <-> (-uA <_ w -> -ux <_ w)))
60	59	ralbidv 2123	. . . . 5 |- (z = -ux -> (A.w e. ZZ (-uA <_ w -> z <_ w) <-> A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w)))
61	57, 60	anbi12d 690	. . . 4 |- (z = -ux -> ((-uA <_ z /\ A.w e. ZZ (-uA <_ w -> z <_ w)) <-> (-uA <_ -ux /\ A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w))))
62	50, 56, 61	reuxfr 3847	. . 3 |- (E!z e. ZZ (-uA <_ z /\ A.w e. ZZ (-uA <_ w -> z <_ w)) <-> E!x e. ZZ (-uA <_ -ux /\ A.w e. ZZ (-uA <_ w -> -ux <_ w)))
63	49, 62	syl6rbbr 598	. 2 |- (A e. RR -> (E!z e. ZZ (-uA <_ z /\ A.w e. ZZ (-uA <_ w -> z <_ w)) <-> E!x e. ZZ (x <_ A /\ A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x))))
64	3, 63	mpbid 212	1 |- (A e. RR -> E!x e. ZZ (x <_ A /\ A.y e. ZZ (y <_ A -> y <_ x)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E!wreu 2107   class class class wbr 3338  CCcc 6384  RRcr 6385  -ucneg 6446   <_ cle 6448  ZZcz 6451

This theorem is referenced by:  flval2 7478

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

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