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Theorem zmax 11179
Description: There is a unique largest integer less than or equal to a given real number. (Contributed by NM, 15-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zmax  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )
Distinct variable group:    x, y, A

Proof of Theorem zmax
Dummy variables  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 renegcl 9882 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  -u A  e.  RR )
2 zmin 11178 . . 3  |-  ( -u A  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) ) )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) ) )
4 zre 10868 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  RR )
5 leneg 10055 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
64, 5sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  A  e.  RR )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
76ancoms 453 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  <_  A  <->  -u A  <_  -u x ) )
8 znegcl 10898 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ZZ  ->  -u w  e.  ZZ )
9 breq1 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u w  ->  (
y  <_  A  <->  -u w  <_  A ) )
10 breq1 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  =  -u w  ->  (
y  <_  x  <->  -u w  <_  x ) )
119, 10imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  -u w  ->  (
( y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  (
-u w  <_  A  -> 
-u w  <_  x
) ) )
1211rspcv 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x
) ) )
138, 12syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x
) ) )
14 zre 10868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  ZZ  ->  w  e.  RR )
15 lenegcon1 10056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( -u w  <_  A 
<-> 
-u A  <_  w
) )
1615adantrr 716 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( -u w  <_  A  <->  -u A  <_  w
) )
17 lenegcon1 10056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( -u w  <_  x 
<-> 
-u x  <_  w
) )
184, 17sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( w  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u w  <_  x 
<-> 
-u x  <_  w
) )
1918adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( -u w  <_  x  <->  -u x  <_  w
) )
2016, 19imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( w  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  <->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
2114, 20sylan 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  <->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
2221biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  -> 
( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
2322ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( -u w  <_  A  ->  -u w  <_  x )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2423com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ZZ  ->  (
( -u w  <_  A  -> 
-u w  <_  x
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2513, 24syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( w  e.  ZZ  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x )  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2625com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  ->  ( w  e.  ZZ  ->  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
2726ralrimdv 2880 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  ->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
28 znegcl 10898 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  -u y  e.  ZZ )
29 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u A  <_  w  <->  -u A  <_  -u y ) )
30 breq2 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  -u y  ->  ( -u x  <_  w  <->  -u x  <_  -u y ) )
3129, 30imbi12d 320 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  -u y  ->  (
( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
3231rspcv 3210 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
3328, 32syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
34 zre 10868 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ZZ  ->  y  e.  RR )
35 leneg 10055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( y  <_  A  <->  -u A  <_  -u y ) )
3635adantrr 716 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( y  <_  A  <->  -u A  <_  -u y
) )
37 leneg 10055 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y ) )
384, 37sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y ) )
3938adantrl 715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( y  <_  x  <->  -u x  <_  -u y
) )
4036, 39imbi12d 320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
4134, 40sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ ) )  ->  ( (
y  <_  A  ->  y  <_  x )  <->  ( -u A  <_ 
-u y  ->  -u x  <_ 
-u y ) ) )
4241exbiri 622 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( -u A  <_  -u y  ->  -u x  <_ 
-u y )  -> 
( y  <_  A  ->  y  <_  x )
) ) )
4342com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  (
( -u A  <_  -u y  -> 
-u x  <_  -u y
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4433, 43syld 44 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
)  ->  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4544com13 80 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w )  ->  (
y  e.  ZZ  ->  ( y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
4645ralrimdv 2880 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w )  ->  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
) ) )
4727, 46impbid 191 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
)  <->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
487, 47anbi12d 710 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  ( y  <_  A  ->  y  <_  x
) )  <->  ( -u A  <_ 
-u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
4948reubidva 3045 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) )  <-> 
E! x  e.  ZZ  ( -u A  <_  -u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) ) )
50 znegcl 10898 . . . 4  |-  ( x  e.  ZZ  ->  -u x  e.  ZZ )
51 znegcl 10898 . . . . 5  |-  ( z  e.  ZZ  ->  -u z  e.  ZZ )
52 zcn 10869 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ZZ  ->  z  e.  CC )
53 zcn 10869 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ZZ  ->  x  e.  CC )
54 negcon2 9872 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  CC  /\  x  e.  CC )  ->  ( z  =  -u x 
<->  x  =  -u z
) )
5552, 53, 54syl2an 477 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( z  =  -u x 
<->  x  =  -u z
) )
5651, 55reuhyp 4675 . . . 4  |-  ( z  e.  ZZ  ->  E! x  e.  ZZ  z  =  -u x )
57 breq2 4451 . . . . 5  |-  ( z  =  -u x  ->  ( -u A  <_  z  <->  -u A  <_  -u x ) )
58 breq1 4450 . . . . . . 7  |-  ( z  =  -u x  ->  (
z  <_  w  <->  -u x  <_  w ) )
5958imbi2d 316 . . . . . 6  |-  ( z  =  -u x  ->  (
( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )  <->  (
-u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
6059ralbidv 2903 . . . . 5  |-  ( z  =  -u x  ->  ( A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )  <->  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) )
6157, 60anbi12d 710 . . . 4  |-  ( z  =  -u x  ->  (
( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )
)  <->  ( -u A  <_ 
-u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  -u x  <_  w ) ) ) )
6250, 56, 61reuxfr 4673 . . 3  |-  ( E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w ) )  <-> 
E! x  e.  ZZ  ( -u A  <_  -u x  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  -> 
-u x  <_  w
) ) )
6349, 62syl6rbbr 264 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( E! z  e.  ZZ  ( -u A  <_  z  /\  A. w  e.  ZZ  ( -u A  <_  w  ->  z  <_  w )
)  <->  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) ) )
643, 63mpbid 210 1  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A. y  e.  ZZ  (
y  <_  A  ->  y  <_  x ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E!wreu 2816   class class class wbr 4447   CCcc 9490   RRcr 9491    <_ cle 9629   -ucneg 9806   ZZcz 10864
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083
This theorem is referenced by:  flval2  11918
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