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Theorem zm1nn 38903
Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
zm1nn  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem zm1nn
StepHypRef Expression
1 0red 9651 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  0  e.  RR )
2 simpl 458 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  RR )
3 zre 10948 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
4 nn0re 10885 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
5 resubcl 9945 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( L  -  N
)  e.  RR )
63, 4, 5syl2anr 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  N
)  e.  RR )
76adantl 467 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( L  -  N )  e.  RR )
8 peano2rem 9948 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  -  N )  e.  RR  ->  (
( L  -  N
)  -  1 )  e.  RR )
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( ( L  -  N )  -  1 )  e.  RR )
10 lelttr 9731 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  (
( L  -  N
)  -  1 )  e.  RR )  -> 
( ( 0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  0  <  ( ( L  -  N
)  -  1 ) ) )
111, 2, 9, 10syl3anc 1264 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) ) )
12 1red 9665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
1312, 6posdifd 10207 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  ( L  -  N )  <->  0  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) ) )
144adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
153adantl 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
1612, 14, 15ltaddsubd 10220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  <->  1  <  ( L  -  N ) ) )
17 elnn0z 10957 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
18 0red 9651 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
19 zre 10948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
2019adantr 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
21 1red 9665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
2218, 20, 21leadd2d 10215 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 1  +  0 )  <_  ( 1  +  N ) ) )
23 1re 9649 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
24 0re 9650 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
2523, 24readdcli 9663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  0 )  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  0 )  e.  RR )
27 1red 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
2827, 19readdcld 9677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  +  N )  e.  RR )
2928adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  N
)  e.  RR )
303adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
31 lelttr 9731 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  +  0 )  e.  RR  /\  ( 1  +  N
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  (
1  +  0 )  <  L ) )
3226, 29, 30, 31syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  (
1  +  0 )  <  L ) )
33 peano2zm 10987 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
3433adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
3534adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
36 1red 9665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
37 0red 9651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
3836, 37, 3ltaddsub2d 10221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  0 )  <  L  <->  0  <  ( L  -  1 ) ) )
3938biimpd 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  0 )  <  L  -> 
0  <  ( L  -  1 ) ) )
4039adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <  L  ->  0  <  ( L  -  1 ) ) )
4140imp 430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  0  <  ( L  -  1 ) )
42 elnnz 10954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( L  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( L  -  1 ) ) )
4335, 41, 42sylanbrc 668 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
4443ex 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
4532, 44syld 45 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
4645expd 437 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <_  (
1  +  N )  ->  ( ( 1  +  N )  < 
L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4722, 46sylbid 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4847impancom 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4917, 48sylbi 198 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  N
)  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
5049imp 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5116, 50sylbird 238 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  ( L  -  N )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5213, 51sylbird 238 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  (
( L  -  N
)  -  1 )  ->  ( L  - 
1 )  e.  NN ) )
5352adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( 0  <  ( ( L  -  N )  - 
1 )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5411, 53syld 45 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) )  -> 
( L  -  1 )  e.  NN ) )
5554ex 435 . . . 4  |-  ( J  e.  RR  ->  (
( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
5655com23 81 . . 3  |-  ( J  e.  RR  ->  (
( 0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
57563impib 1203 . 2  |-  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  - 
1 )  e.  NN ) )
5857com12 32 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    e. wcel 1872   class class class wbr 4423  (class class class)co 6305   RRcr 9545   0cc0 9546   1c1 9547    + caddc 9549    < clt 9682    <_ cle 9683    - cmin 9867   NNcn 10616   NN0cn0 10876   ZZcz 10944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945
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