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Theorem zm1nn 30636
Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
zm1nn  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem zm1nn
StepHypRef Expression
1 0re 9500 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  0  e.  RR )
3 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  RR )
4 zre 10764 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
5 nn0re 10702 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
6 resubcl 9787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( L  -  N
)  e.  RR )
74, 5, 6syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  N
)  e.  RR )
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( L  -  N )  e.  RR )
9 peano2rem 9789 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  -  N )  e.  RR  ->  (
( L  -  N
)  -  1 )  e.  RR )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( ( L  -  N )  -  1 )  e.  RR )
11 lelttr 9579 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  (
( L  -  N
)  -  1 )  e.  RR )  -> 
( ( 0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  0  <  ( ( L  -  N
)  -  1 ) ) )
122, 3, 10, 11syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) ) )
13 1re 9499 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
1514, 7posdifd 10040 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  ( L  -  N )  <->  0  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) ) )
165adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
174adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
1814, 16, 17ltaddsubd 10053 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  <->  1  <  ( L  -  N ) ) )
19 elnn0z 10773 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
21 zre 10764 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2313a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
2420, 22, 23leadd2d 10048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 1  +  0 )  <_  ( 1  +  N ) ) )
2513, 1readdcli 9513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  0 )  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  0 )  e.  RR )
2713a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
2827, 21readdcld 9527 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  +  N )  e.  RR )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  N
)  e.  RR )
304adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
31 lelttr 9579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  +  0 )  e.  RR  /\  ( 1  +  N
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  (
1  +  0 )  <  L ) )
3226, 29, 30, 31syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  (
1  +  0 )  <  L ) )
33 peano2zm 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
3613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
3836, 37, 4ltaddsub2d 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  0 )  <  L  <->  0  <  ( L  -  1 ) ) )
3938biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  0 )  <  L  -> 
0  <  ( L  -  1 ) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <  L  ->  0  <  ( L  -  1 ) ) )
4140imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  0  <  ( L  -  1 ) )
42 elnnz 10770 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( L  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( L  -  1 ) ) )
4335, 41, 42sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
4443ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
4532, 44syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
4645expd 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <_  (
1  +  N )  ->  ( ( 1  +  N )  < 
L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4724, 46sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4847impancom 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4919, 48sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  N
)  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5118, 50sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  ( L  -  N )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5215, 51sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  (
( L  -  N
)  -  1 )  ->  ( L  - 
1 )  e.  NN ) )
5352adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( 0  <  ( ( L  -  N )  - 
1 )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5412, 53syld 44 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) )  -> 
( L  -  1 )  e.  NN ) )
5554ex 434 . . . 4  |-  ( J  e.  RR  ->  (
( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
5655com23 78 . . 3  |-  ( J  e.  RR  ->  (
( 0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
57563impib 1186 . 2  |-  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  - 
1 )  e.  NN ) )
5857com12 31 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9395   0cc0 9396   1c1 9397    + caddc 9399    < clt 9532    <_ cle 9533    - cmin 9709   NNcn 10436   NN0cn0 10693   ZZcz 10760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761
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