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Theorem zm1nn 37938
Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
zm1nn  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem zm1nn
StepHypRef Expression
1 0red 9626 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  0  e.  RR )
2 simpl 455 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  RR )
3 zre 10908 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
4 nn0re 10844 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
5 resubcl 9918 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( L  -  N
)  e.  RR )
63, 4, 5syl2anr 476 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  N
)  e.  RR )
76adantl 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( L  -  N )  e.  RR )
8 peano2rem 9921 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  -  N )  e.  RR  ->  (
( L  -  N
)  -  1 )  e.  RR )
97, 8syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( ( L  -  N )  -  1 )  e.  RR )
10 lelttr 9705 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  (
( L  -  N
)  -  1 )  e.  RR )  -> 
( ( 0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  0  <  ( ( L  -  N
)  -  1 ) ) )
111, 2, 9, 10syl3anc 1230 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) ) )
12 1red 9640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
1312, 6posdifd 10178 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  ( L  -  N )  <->  0  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) ) )
144adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
153adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
1612, 14, 15ltaddsubd 10191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  <->  1  <  ( L  -  N ) ) )
17 elnn0z 10917 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
18 0red 9626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
19 zre 10908 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
2019adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
21 1red 9640 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
2218, 20, 21leadd2d 10186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 1  +  0 )  <_  ( 1  +  N ) ) )
23 1re 9624 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  1  e.  RR
24 0re 9625 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  RR
2523, 24readdcli 9638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  0 )  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  0 )  e.  RR )
27 1red 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
2827, 19readdcld 9652 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  +  N )  e.  RR )
2928adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  N
)  e.  RR )
303adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
31 lelttr 9705 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  +  0 )  e.  RR  /\  ( 1  +  N
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  (
1  +  0 )  <  L ) )
3226, 29, 30, 31syl3anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  (
1  +  0 )  <  L ) )
33 peano2zm 10947 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
3433adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
3534adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
36 1red 9640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
37 0red 9626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
3836, 37, 3ltaddsub2d 10192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  0 )  <  L  <->  0  <  ( L  -  1 ) ) )
3938biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  0 )  <  L  -> 
0  <  ( L  -  1 ) ) )
4039adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <  L  ->  0  <  ( L  -  1 ) ) )
4140imp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  0  <  ( L  -  1 ) )
42 elnnz 10914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( L  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( L  -  1 ) ) )
4335, 41, 42sylanbrc 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
4443ex 432 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
4532, 44syld 42 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
4645expd 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <_  (
1  +  N )  ->  ( ( 1  +  N )  < 
L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4722, 46sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4847impancom 438 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4917, 48sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  N
)  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
5049imp 427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5116, 50sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  ( L  -  N )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5213, 51sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  (
( L  -  N
)  -  1 )  ->  ( L  - 
1 )  e.  NN ) )
5352adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( 0  <  ( ( L  -  N )  - 
1 )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5411, 53syld 42 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) )  -> 
( L  -  1 )  e.  NN ) )
5554ex 432 . . . 4  |-  ( J  e.  RR  ->  (
( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
5655com23 78 . . 3  |-  ( J  e.  RR  ->  (
( 0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
57563impib 1195 . 2  |-  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  - 
1 )  e.  NN ) )
5857com12 29 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    e. wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    + caddc 9524    < clt 9657    <_ cle 9658    - cmin 9840   NNcn 10575   NN0cn0 10835   ZZcz 10904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-n0 10836  df-z 10905
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