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Theorem zm1nn 30421
Description: An integer minus 1 is positive under certain circumstances. (Contributed by Alexander van der Vekens, 9-Jun-2018.)
Assertion
Ref Expression
zm1nn  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )

Proof of Theorem zm1nn
StepHypRef Expression
1 0re 9378 . . . . . . . 8  |-  0  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  0  e.  RR )
3 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  J  e.  RR )
4 zre 10642 . . . . . . . . . 10  |-  ( L  e.  ZZ  ->  L  e.  RR )
5 nn0re 10580 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  RR )
6 resubcl 9665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( L  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( L  -  N
)  e.  RR )
74, 5, 6syl2anr 478 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  N
)  e.  RR )
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( L  -  N )  e.  RR )
9 peano2rem 9667 . . . . . . . 8  |-  ( ( L  -  N )  e.  RR  ->  (
( L  -  N
)  -  1 )  e.  RR )
108, 9syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( ( L  -  N )  -  1 )  e.  RR )
11 lelttr 9457 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  J  e.  RR  /\  (
( L  -  N
)  -  1 )  e.  RR )  -> 
( ( 0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  0  <  ( ( L  -  N
)  -  1 ) ) )
122, 3, 10, 11syl3anc 1218 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) )  -> 
0  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) ) )
13 1re 9377 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
1413a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
1514, 7posdifd 9918 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  ( L  -  N )  <->  0  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) ) )
165adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
174adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
1814, 16, 17ltaddsubd 9931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  <->  1  <  ( L  -  N ) ) )
19 elnn0z 10651 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  NN0  <->  ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N ) )
201a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  0  e.  RR )
21 zre 10642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
2221adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
2313a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  1  e.  RR )
2420, 22, 23leadd2d 9926 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  <->  ( 1  +  0 )  <_  ( 1  +  N ) ) )
2513, 1readdcli 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1  +  0 )  e.  RR
2625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  0 )  e.  RR )
2713a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
2827, 21readdcld 9405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
1  +  N )  e.  RR )
2928adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  +  N
)  e.  RR )
304adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  L  e.  RR )
31 lelttr 9457 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 1  +  0 )  e.  RR  /\  ( 1  +  N
)  e.  RR  /\  L  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  (
1  +  0 )  <  L ) )
3226, 29, 30, 31syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  (
1  +  0 )  <  L ) )
33 peano2zm 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
3433adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
3534adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  ZZ )
3613a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ZZ  ->  1  e.  RR )
371a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( L  e.  ZZ  ->  0  e.  RR )
3836, 37, 4ltaddsub2d 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  0 )  <  L  <->  0  <  ( L  -  1 ) ) )
3938biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  0 )  <  L  -> 
0  <  ( L  -  1 ) ) )
4039adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <  L  ->  0  <  ( L  -  1 ) ) )
4140imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  0  <  ( L  -  1 ) )
42 elnnz 10648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( L  -  1 )  e.  NN  <->  ( ( L  -  1 )  e.  ZZ  /\  0  <  ( L  -  1 ) ) )
4335, 41, 42sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  /\  ( 1  +  0 )  <  L
)  ->  ( L  -  1 )  e.  NN )
4443ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
4532, 44syld 44 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( ( 1  +  0 )  <_ 
( 1  +  N
)  /\  ( 1  +  N )  < 
L )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
4645expd 436 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  0 )  <_  (
1  +  N )  ->  ( ( 1  +  N )  < 
L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4724, 46sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <_  N  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4847impancom 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ZZ  /\  0  <_  N )  -> 
( L  e.  ZZ  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
4919, 48sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( L  e.  ZZ  ->  (
( 1  +  N
)  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
5049imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 1  +  N )  <  L  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5118, 50sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 1  <  ( L  -  N )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5215, 51sylbird 235 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( 0  <  (
( L  -  N
)  -  1 )  ->  ( L  - 
1 )  e.  NN ) )
5352adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( 0  <  ( ( L  -  N )  - 
1 )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
5412, 53syld 44 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  RR  /\  ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ ) )  ->  ( (
0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  - 
1 ) )  -> 
( L  -  1 )  e.  NN ) )
5554ex 434 . . . 4  |-  ( J  e.  RR  ->  (
( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
5655com23 78 . . 3  |-  ( J  e.  RR  ->  (
( 0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) ) )
57563impib 1185 . 2  |-  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  ( ( L  -  N )  -  1 ) )  ->  (
( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( L  - 
1 )  e.  NN ) )
5857com12 31 1  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  L  e.  ZZ )  ->  ( ( J  e.  RR  /\  0  <_  J  /\  J  <  (
( L  -  N
)  -  1 ) )  ->  ( L  -  1 )  e.  NN ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   NN0cn0 10571   ZZcz 10638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639
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