MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zltp1le Structured version   Unicode version

Theorem zltp1le 10804
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zltp1le  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( M  +  1 )  <_  N ) )

Proof of Theorem zltp1le
StepHypRef Expression
1 nnge1 10458 . . . 4  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN  ->  1  <_  ( N  -  M
) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN  ->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
3 znnsub 10801 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
4 zre 10760 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10760 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 1re 9495 . . . . 5  |-  1  e.  RR
7 leaddsub2 9926 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
86, 7mp3an2 1303 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
94, 5, 8syl2an 477 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
102, 3, 93imtr4d 268 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
)
114adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
1211ltp1d 10373 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
13 peano2re 9652 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
155adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
16 ltletr 9576 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  < 
( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  M  <  N ) )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  < 
( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  M  <  N ) )
1812, 17mpand 675 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  ->  M  <  N ) )
1910, 18impbid 191 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( M  +  1 )  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4399  (class class class)co 6199   RRcr 9391   1c1 9393    + caddc 9395    < clt 9528    <_ cle 9529    - cmin 9705   NNcn 10432   ZZcz 10756
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-er 7210  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-n0 10690  df-z 10757
This theorem is referenced by:  zleltp1  10805  zlem1lt  10806  zgt0ge1  10808  nnltp1le  10810  nn0ltp1le  10812  recnz  10827  btwnnz  10828  uzind2  10844  fzind  10850  eluzp1l  10995  eluz2b1  11036  fzsplit2  11590  bcval5  12210  hashge2el2dif  12301  seqcoll  12333  swrd2lsw  12669  2swrd2eqwrdeq  12670  isercoll  13262  divalglem6  13719  isprm3  13889  prmgt1  13899  hashdvds  13967  prmreclem5  14098  sylow1lem3  16219  dyaddisjlem  21207  plyeq0lem  21810  basellem2  22551  chtub  22683  bposlem9  22763  lgsdilem2  22802  lgsquadlem1  22825  pntpbnd1  22967  pntpbnd2  22968  tgldimor  23089  nndiffz1  26219  ltesubnnd  26235  ellz1  29252  lzunuz  29253  rmygeid  29454  jm3.1lem2  29514  fmul01lt1lem1  29912  prmn2uzge3  30396  numclwwlkovf2ex  30826  chfacfscmul0  31329  chfacfscmulfsupp  31330  chfacfpmmul0  31333  chfacfpmmulfsupp  31334
  Copyright terms: Public domain W3C validator