MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zltp1le Structured version   Unicode version

Theorem zltp1le 10682
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zltp1le  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( M  +  1 )  <_  N ) )

Proof of Theorem zltp1le
StepHypRef Expression
1 nnge1 10336 . . . 4  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN  ->  1  <_  ( N  -  M
) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN  ->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
3 znnsub 10679 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
4 zre 10638 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10638 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 1re 9373 . . . . 5  |-  1  e.  RR
7 leaddsub2 9804 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
86, 7mp3an2 1295 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
94, 5, 8syl2an 474 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
102, 3, 93imtr4d 268 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
)
114adantr 462 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
1211ltp1d 10251 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
13 peano2re 9530 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
155adantl 463 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
16 ltletr 9454 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  < 
( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  M  <  N ) )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1211 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  < 
( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  M  <  N ) )
1812, 17mpand 668 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  ->  M  <  N ) )
1910, 18impbid 191 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( M  +  1 )  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9269   1c1 9271    + caddc 9273    < clt 9406    <_ cle 9407    - cmin 9583   NNcn 10310   ZZcz 10634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-n0 10568  df-z 10635
This theorem is referenced by:  zleltp1  10683  zlem1lt  10684  zgt0ge1  10686  nnltp1le  10688  nn0ltp1le  10690  recnz  10705  btwnnz  10706  uzind2  10722  fzind  10728  eluzp1l  10873  eluz2b1  10914  fzsplit2  11461  bcval5  12078  hashge2el2dif  12168  seqcoll  12200  swrd2lsw  12536  2swrd2eqwrdeq  12537  isercoll  13129  divalglem6  13585  isprm3  13755  prmgt1  13765  hashdvds  13833  prmreclem5  13964  sylow1lem3  16079  dyaddisjlem  20917  plyeq0lem  21563  basellem2  22304  chtub  22436  bposlem9  22516  lgsdilem2  22555  lgsquadlem1  22578  pntpbnd1  22720  pntpbnd2  22721  tgldimor  22837  nndiffz1  25898  ltesubnnd  25914  ellz1  28950  lzunuz  28951  rmygeid  29152  jm3.1lem2  29212  fmul01lt1lem1  29610  prmn2uzge3  30095  numclwwlkovf2ex  30525
  Copyright terms: Public domain W3C validator