MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zltp1le Structured version   Unicode version

Theorem zltp1le 10908
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
zltp1le  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( M  +  1 )  <_  N ) )

Proof of Theorem zltp1le
StepHypRef Expression
1 nnge1 10558 . . . 4  |-  ( ( N  -  M )  e.  NN  ->  1  <_  ( N  -  M
) )
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  -  M )  e.  NN  ->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
3 znnsub 10905 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( N  -  M )  e.  NN ) )
4 zre 10864 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
5 zre 10864 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
6 1re 9591 . . . . 5  |-  1  e.  RR
7 leaddsub2 10025 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  (
( M  +  1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
86, 7mp3an2 1312 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
94, 5, 8syl2an 477 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  <->  1  <_  ( N  -  M ) ) )
102, 3, 93imtr4d 268 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  ->  ( M  +  1 )  <_  N )
)
114adantr 465 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  e.  RR )
1211ltp1d 10472 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  M  <  ( M  +  1 ) )
13 peano2re 9748 . . . . 5  |-  ( M  e.  RR  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
1411, 13syl 16 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  +  1 )  e.  RR )
155adantl 466 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  N  e.  RR )
16 ltletr 9672 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( M  +  1
)  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( ( M  < 
( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  M  <  N ) )
1711, 14, 15, 16syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  < 
( M  +  1 )  /\  ( M  +  1 )  <_  N )  ->  M  <  N ) )
1812, 17mpand 675 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  + 
1 )  <_  N  ->  M  <  N ) )
1910, 18impbid 191 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  ( M  +  1 )  <_  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   1c1 9489    + caddc 9491    < clt 9624    <_ cle 9625    - cmin 9801   NNcn 10532   ZZcz 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-n0 10792  df-z 10861
This theorem is referenced by:  zleltp1  10909  zlem1lt  10910  zgt0ge1  10912  nnltp1le  10914  nn0ltp1le  10916  recnz  10932  btwnnz  10933  uzind2  10949  fzind  10955  eluzp1l  11102  eluz2b1  11149  fzsplit2  11706  bcval5  12358  seqcoll  12472  hashge2el2dif  12481  swrd2lsw  12847  2swrd2eqwrdeq  12848  isercoll  13446  divalglem6  13908  isprm3  14078  prmgt1  14088  prmn2uzge3  14089  hashdvds  14157  prmreclem5  14290  sylow1lem3  16413  chfacfscmul0  19123  chfacfscmulfsupp  19124  chfacfpmmul0  19127  chfacfpmmulfsupp  19128  dyaddisjlem  21736  plyeq0lem  22339  basellem2  23080  chtub  23212  bposlem9  23292  lgsdilem2  23331  lgsquadlem1  23354  pntpbnd1  23496  pntpbnd2  23497  tgldimor  23618  numclwwlkovf2ex  24760  nndiffz1  27261  ltesubnnd  27277  ellz1  30302  lzunuz  30303  rmygeid  30504  jm3.1lem2  30564  elfzop1le2  31055  monoords  31073  fmul01lt1lem1  31134  iblspltprt  31291  itgspltprt  31297  fourierdlem6  31413  fourierdlem12  31419  fourierdlem19  31426  fourierdlem42  31449  fourierdlem48  31455  fourierdlem49  31456  fourierdlem79  31486
  Copyright terms: Public domain W3C validator