MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zltlem1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zltlem1 11017
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zltlem1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )

Proof of Theorem zltlem1
StepHypRef Expression
1 peano2zm 11008 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  -  1 )  e.  ZZ )
2 zleltp1 11015 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  1
)  e.  ZZ )  ->  ( M  <_ 
( N  -  1 )  <->  M  <  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
31, 2sylan2 481 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  ( N  -  1 )  <-> 
M  <  ( ( N  -  1 )  +  1 ) ) )
4 zcn 10970 . . . . 5  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
5 ax-1cn 9622 . . . . 5  |-  1  e.  CC
6 npcan 9909 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
74, 5, 6sylancl 673 . . . 4  |-  ( N  e.  ZZ  ->  (
( N  -  1 )  +  1 )  =  N )
87adantl 472 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( N  - 
1 )  +  1 )  =  N )
98breq2d 4427 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  (
( N  -  1 )  +  1 )  <-> 
M  <  N )
)
103, 9bitr2d 262 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  N  <->  M  <_  ( N  - 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897   class class class wbr 4415  (class class class)co 6314   CCcc 9562   1c1 9565    + caddc 9567    < clt 9700    <_ cle 9701    - cmin 9885   ZZcz 10965
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-nn 10637  df-n0 10898  df-z 10966
This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  11024  nn0lt2  11028  nnltlem1  11031  nnm1ge0  11032  zextlt  11038  uzm1  11217  elfzm11  11893  preduz  11941  predfz  11944  elfzo  11952  fzosplitprm1  12048  intfracq  12117  seqf1olem1  12283  seqcoll  12659  isercolllem1  13776  fzm1ndvds  14405  bitscmp  14460  nn0seqcvgd  14577  isprm3  14681  ncoprmlnprm  14725  prmdiveq  14782  4sqlem12  14948  degltlem1  23069  dgreq0  23267  wilthlem1  24041  lgseisenlem2  24326  lgsquadlem1  24330  2sqlem8  24348  clwlkisclwwlklem2a4  25560  clwlkisclwwlklem2a  25561  nbhashuvtx1  25691  frgrareggt1  25892  bcm1n  28419  smatrcl  28670  ballotlemimin  29386  ballotlemfrcn0  29410  ballotlemiminOLD  29424  ballotlemfrcn0OLD  29448  poimirlem2  31986  poimirlem24  32008  fmul01lt1lem2  37700  fourierdlem41  38048  fourierdlem42  38049  fourierdlem42OLD  38050  fourierdlem50  38057  fourierdlem64  38071  fourierdlem79  38086  etransclem44  38180  etransclem48OLD  38184  etransclem48  38185  nn0le2is012  40420  pw2m1lepw2m1  40590  fllog2  40651
  Copyright terms: Public domain W3C validator