Theorem zltlem1 10923

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zltlem1	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )

Proof of Theorem zltlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 10914	. . 3 |- ( N e. ZZ -> ( N - 1 ) e. ZZ )
2		zleltp1 10921	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ ( N - 1 ) e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> M < ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
3	1, 2	sylan2 474	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ ( N - 1 ) <-> M < ( ( N - 1 ) + 1 ) ) )
4		zcn 10876	. . . . 5 |- ( N e. ZZ -> N e. CC )
5		ax-1cn 9553	. . . . 5 |- 1 e. CC
6		npcan 9834	. . . . 5 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
7	4, 5, 6	sylancl 662	. . . 4 |- ( N e. ZZ -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
8	7	adantl 466	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
9	8	breq2d 4449	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < ( ( N - 1 ) + 1 ) <-> M < N ) )
10	3, 9	bitr2d 254	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M < N <-> M <_ ( N - 1 ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1383   e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   CCcc 9493   1c1 9496   + caddc 9498   < clt 9631   <_ cle 9632   - cmin 9810   ZZcz 10871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-n0 10803  df-z 10872

This theorem is referenced by:  nn0ltlem1  10930  nn0lt2  10934  nnltlem1  10937  nnm1ge0  10938  zextlt  10944  uzm1  11121  elfzm11  11759  fzm1  11768  elfzo  11812  fzosplitprm1  11900  intfracq  11967  seqf1olem1  12127  seqcoll  12493  isercolllem1  13468  fzm1ndvds  14019  bitscmp  14069  nn0seqcvgd  14180  isprm3  14207  prmdiveq  14297  4sqlem12  14455  degltlem1  22449  dgreq0  22638  wilthlem1  23318  lgseisenlem2  23601  lgsquadlem1  23605  2sqlem8  23623  clwlkisclwwlklem2a4  24760  clwlkisclwwlklem2a  24761  nbhashuvtx1  24891  frgrareggt1  25092  bcm1n  27576  ballotlemimin  28421  ballotlemfrcn0  28445  preduz  29255  predfz  29258  fmul01lt1lem2  31507  fourierdlem41  31819  fourierdlem42  31820  fourierdlem50  31828  fourierdlem64  31842  fourierdlem79  31857  nn0le2is012  32689