MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlpirlem3 Structured version   Unicode version

Theorem zlpirlem3 17910
Description: Lemma for zlpir 17911. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) Obsolete version of zringlpirlem3 17905 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
zlpirlem.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
zlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal `  Z ) )
zlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
zlpirlem.g  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
zlpirlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
zlpirlem3  |-  ( ph  ->  G  ||  X )

Proof of Theorem zlpirlem3
StepHypRef Expression
1 zsubrg 17866 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 zlpirlem.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  (flds  ZZ )
32subrgrng 16868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e. 
Ring )
41, 3mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
5 zlpirlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal `  Z ) )
6 zsscn 10654 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  CC
7 cnfldbas 17822 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  ( Base ` fld )
82, 7ressbas2 14229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
96, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
10 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  (LIdeal `  Z )  =  (LIdeal `  Z )
119, 10lidlssOLD 17292 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal `  Z )
)  ->  I  C_  ZZ )
124, 5, 11syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  C_  ZZ )
13 zlpirlem.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
1412, 13sseldd 3357 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
1514zred 10747 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
16 inss2 3571 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  NN )  C_  NN
17 zlpirlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
18 nnuz 10896 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1916, 18sseqtri 3388 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1 )
20 zlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
212, 5, 20zlpirlem1 17908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
22 infmssuzcl 10938 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  sup ( ( I  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i  NN ) )
2319, 21, 22sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i 
NN ) )
2417, 23syl5eqel 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( I  i^i  NN ) )
2516, 24sseldi 3354 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
2625nnrpd 11026 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
27 modlt 11718 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  <  G )
2815, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  <  G )
2914, 25zmodcld 11728 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  NN0 )
3029nn0red 10637 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  RR )
3125nnred 10337 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
3230, 31ltnled 9521 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  <  G  <->  -.  G  <_  ( X  mod  G
) ) )
3328, 32mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  G  <_  ( X  mod  G ) )
3414zcnd 10748 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3525nncnd 10338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
3615, 25nndivred 10370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  /  G
)  e.  RR )
3736flcld 11648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ )
3837zcnd 10748 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  CC )
3935, 38mulcld 9406 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  e.  CC )
4034, 39negsubd 9725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4137znegcld 10749 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  ZZ )
4241zcnd 10748 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  CC )
4342, 35mulcomd 9407 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
4435, 38mulneg2d 9798 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
4543, 44eqtrd 2475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
4645oveq2d 6107 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  =  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G
) ) ) ) )
47 modval 11710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4815, 26, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4940, 46, 483eqtr4rd 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) ) )
502, 5, 20, 17zlpirlem2 17909 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  I )
51 zex 10655 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  _V
52 cnfldmul 17824 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x.  =  ( .r ` fld )
532, 52ressmulr 14291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Z ) )
5451, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  =  ( .r `  Z )
5510, 9, 54lidlmcl 17299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal `  Z ) )  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  ZZ  /\  G  e.  I ) )  ->  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
)
564, 5, 41, 50, 55syl22anc 1219 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
)
57 cnfldadd 17823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  =  ( +g  ` fld )
582, 57ressplusg 14280 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Z
) )
5951, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  +  =  ( +g  `  Z )
6010, 59lidlacl 17295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal `  Z ) )  /\  ( X  e.  I  /\  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
) )  ->  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) )  e.  I )
614, 5, 13, 56, 60syl22anc 1219 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  e.  I
)
6249, 61eqeltrd 2517 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  I )
6362adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  I )
64 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  NN )
6563, 64elind 3540 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )
66 infmssuzle 10937 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )  ->  sup (
( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
6719, 65, 66sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
6817, 67syl5eqbr 4325 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  G  <_  ( X  mod  G ) )
6933, 68mtand 659 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( X  mod  G )  e.  NN )
70 elnn0 10581 . . . 4  |-  ( ( X  mod  G )  e.  NN0  <->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
7129, 70sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
72 orel1 382 . . 3  |-  ( -.  ( X  mod  G
)  e.  NN  ->  ( ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 )  -> 
( X  mod  G
)  =  0 ) )
7369, 71, 72sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  0 )
74 dvdsval3 13539 . . 3  |-  ( ( G  e.  NN  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
7525, 14, 74syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
7673, 75mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  G  ||  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   _Vcvv 2972    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {csn 3877   class class class wbr 4292   `'ccnv 4839   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   supcsup 7690   CCcc 9280   RRcr 9281   0cc0 9282   1c1 9283    + caddc 9285    x. cmul 9287    < clt 9418    <_ cle 9419    - cmin 9595   -ucneg 9596    / cdiv 9993   NNcn 10322   NN0cn0 10579   ZZcz 10646   ZZ>=cuz 10861   RR+crp 10991   |_cfl 11640    mod cmo 11708    || cdivides 13535   Basecbs 14174   ↾s cress 14175   +g cplusg 14238   .rcmulr 14239   Ringcrg 16645  SubRingcsubrg 16861  LIdealclidl 17251  ℂfldccnfld 17818
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359  ax-pre-sup 9360  ax-addf 9361  ax-mulf 9362
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-sup 7691  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-div 9994  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-10 10388  df-n0 10580  df-z 10647  df-dec 10756  df-uz 10862  df-rp 10992  df-fz 11438  df-fl 11642  df-mod 11709  df-seq 11807  df-exp 11866  df-cj 12588  df-re 12589  df-im 12590  df-sqr 12724  df-abs 12725  df-dvds 13536  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-sets 14180  df-ress 14181  df-plusg 14251  df-mulr 14252  df-starv 14253  df-sca 14254  df-vsca 14255  df-ip 14256  df-tset 14257  df-ple 14258  df-ds 14260  df-unif 14261  df-0g 14380  df-mnd 15415  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-sbg 15547  df-subg 15678  df-cmn 16279  df-mgp 16592  df-ur 16604  df-rng 16647  df-cring 16648  df-subrg 16863  df-lmod 16950  df-lss 17014  df-sra 17253  df-rgmod 17254  df-lidl 17255  df-cnfld 17819
This theorem is referenced by:  zlpir  17911
  Copyright terms: Public domain W3C validator