Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlpirlem3 Structured version   Unicode version

Theorem zlpirlem3 18323
 Description: Lemma for zlpir 18324. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) Obsolete version of zringlpirlem3 18318 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
zlpirlem.z flds
zlpirlem.i LIdeal
zlpirlem.n0
zlpirlem.g
zlpirlem.x
Assertion
Ref Expression
zlpirlem3

Proof of Theorem zlpirlem3
StepHypRef Expression
1 zsubrg 18279 . . . . . . . . . 10 SubRingfld
2 zlpirlem.z . . . . . . . . . . 11 flds
32subrgrng 17244 . . . . . . . . . 10 SubRingfld
41, 3mp1i 12 . . . . . . . . 9
5 zlpirlem.i . . . . . . . . 9 LIdeal
6 zsscn 10873 . . . . . . . . . . 11
7 cnfldbas 18235 . . . . . . . . . . . 12 fld
82, 7ressbas2 14549 . . . . . . . . . . 11
96, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10
10 eqid 2467 . . . . . . . . . 10 LIdeal LIdeal
119, 10lidlssOLD 17669 . . . . . . . . 9 LIdeal
124, 5, 11syl2anc 661 . . . . . . . 8
13 zlpirlem.x . . . . . . . 8
1412, 13sseldd 3505 . . . . . . 7
1514zred 10967 . . . . . 6
16 inss2 3719 . . . . . . . 8
17 zlpirlem.g . . . . . . . . 9
18 nnuz 11118 . . . . . . . . . . 11
1916, 18sseqtri 3536 . . . . . . . . . 10
20 zlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11
212, 5, 20zlpirlem1 18321 . . . . . . . . . 10
22 infmssuzcl 11166 . . . . . . . . . 10
2319, 21, 22sylancr 663 . . . . . . . . 9
2417, 23syl5eqel 2559 . . . . . . . 8
2516, 24sseldi 3502 . . . . . . 7
2625nnrpd 11256 . . . . . 6
27 modlt 11975 . . . . . 6
2815, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5
2914, 25zmodcld 11985 . . . . . . 7
3029nn0red 10854 . . . . . 6
3125nnred 10552 . . . . . 6
3230, 31ltnled 9732 . . . . 5
3328, 32mpbid 210 . . . 4
3414zcnd 10968 . . . . . . . . . . 11
3525nncnd 10553 . . . . . . . . . . . 12
3615, 25nndivred 10585 . . . . . . . . . . . . . 14
3736flcld 11904 . . . . . . . . . . . . 13
3837zcnd 10968 . . . . . . . . . . . 12
3935, 38mulcld 9617 . . . . . . . . . . 11
4034, 39negsubd 9937 . . . . . . . . . 10
4137znegcld 10969 . . . . . . . . . . . . . 14
4241zcnd 10968 . . . . . . . . . . . . 13
4342, 35mulcomd 9618 . . . . . . . . . . . 12
4435, 38mulneg2d 10011 . . . . . . . . . . . 12
4543, 44eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11
4645oveq2d 6301 . . . . . . . . . 10
47 modval 11967 . . . . . . . . . . 11
4815, 26, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10
4940, 46, 483eqtr4rd 2519 . . . . . . . . 9
502, 5, 20, 17zlpirlem2 18322 . . . . . . . . . . 11
51 zex 10874 . . . . . . . . . . . . 13
52 cnfldmul 18237 . . . . . . . . . . . . . 14 fld
532, 52ressmulr 14611 . . . . . . . . . . . . 13
5451, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12
5510, 9, 54lidlmcl 17676 . . . . . . . . . . 11 LIdeal
564, 5, 41, 50, 55syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10
57 cnfldadd 18236 . . . . . . . . . . . . 13 fld
582, 57ressplusg 14600 . . . . . . . . . . . 12
5951, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11
6010, 59lidlacl 17672 . . . . . . . . . 10 LIdeal
614, 5, 13, 56, 60syl22anc 1229 . . . . . . . . 9
6249, 61eqeltrd 2555 . . . . . . . 8
6362adantr 465 . . . . . . 7
64 simpr 461 . . . . . . 7
6563, 64elind 3688 . . . . . 6
66 infmssuzle 11165 . . . . . 6
6719, 65, 66sylancr 663 . . . . 5
6817, 67syl5eqbr 4480 . . . 4
6933, 68mtand 659 . . 3
70 elnn0 10798 . . . 4
7129, 70sylib 196 . . 3
72 orel1 382 . . 3
7369, 71, 72sylc 60 . 2
74 dvdsval3 13854 . . 3
7525, 14, 74syl2anc 661 . 2
7673, 75mpbird 232 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 368   wa 369   wceq 1379   wcel 1767   wne 2662  cvv 3113   cin 3475   wss 3476  c0 3785  csn 4027   class class class wbr 4447  ccnv 4998  cfv 5588  (class class class)co 6285  csup 7901  cc 9491  cr 9492  cc0 9493  c1 9494   caddc 9496   cmul 9498   clt 9629   cle 9630   cmin 9806  cneg 9807   cdiv 10207  cn 10537  cn0 10796  cz 10865  cuz 11083  crp 11221  cfl 11896   cmo 11965   cdivides 13850  cbs 14493   ↾s cress 14494   cplusg 14558  cmulr 14559  crg 17012  SubRingcsubrg 17237  LIdealclidl 17628  ℂfldccnfld 18231 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-dvds 13851  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-cmn 16615  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-lidl 17632  df-cnfld 18232 This theorem is referenced by:  zlpir  18324
 Copyright terms: Public domain W3C validator