MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlpirlem3 Structured version   Unicode version

Theorem zlpirlem3 18323
Description: Lemma for zlpir 18324. All elements of a nonzero ideal of integers are divided by the least one. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) Obsolete version of zringlpirlem3 18318 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
zlpirlem.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
zlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal `  Z ) )
zlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
zlpirlem.g  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
zlpirlem.x  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
Assertion
Ref Expression
zlpirlem3  |-  ( ph  ->  G  ||  X )

Proof of Theorem zlpirlem3
StepHypRef Expression
1 zsubrg 18279 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 zlpirlem.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  (flds  ZZ )
32subrgrng 17244 . . . . . . . . . 10  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e. 
Ring )
41, 3mp1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  Z  e.  Ring )
5 zlpirlem.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal `  Z ) )
6 zsscn 10873 . . . . . . . . . . 11  |-  ZZ  C_  CC
7 cnfldbas 18235 . . . . . . . . . . . 12  |-  CC  =  ( Base ` fld )
82, 7ressbas2 14549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ZZ  C_  CC  ->  ZZ  =  ( Base `  Z )
)
96, 8ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ZZ  =  ( Base `  Z )
10 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  (LIdeal `  Z )  =  (LIdeal `  Z )
119, 10lidlssOLD 17669 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal `  Z )
)  ->  I  C_  ZZ )
124, 5, 11syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  I  C_  ZZ )
13 zlpirlem.x . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  I )
1412, 13sseldd 3505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  e.  ZZ )
1514zred 10967 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
16 inss2 3719 . . . . . . . 8  |-  ( I  i^i  NN )  C_  NN
17 zlpirlem.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
18 nnuz 11118 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
1916, 18sseqtri 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1 )
20 zlpirlem.n0 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
212, 5, 20zlpirlem1 18321 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
22 infmssuzcl 11166 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  sup ( ( I  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i  NN ) )
2319, 21, 22sylancr 663 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i 
NN ) )
2417, 23syl5eqel 2559 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  ( I  i^i  NN ) )
2516, 24sseldi 3502 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  G  e.  NN )
2625nnrpd 11256 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR+ )
27 modlt 11975 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  <  G )
2815, 26, 27syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  <  G )
2914, 25zmodcld 11985 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  NN0 )
3029nn0red 10854 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  RR )
3125nnred 10552 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  RR )
3230, 31ltnled 9732 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  <  G  <->  -.  G  <_  ( X  mod  G
) ) )
3328, 32mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  G  <_  ( X  mod  G ) )
3414zcnd 10968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
3525nncnd 10553 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  CC )
3615, 25nndivred 10585 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( X  /  G
)  e.  RR )
3736flcld 11904 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  ZZ )
3837zcnd 10968 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( |_ `  ( X  /  G ) )  e.  CC )
3935, 38mulcld 9617 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  e.  CC )
4034, 39negsubd 9937 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4137znegcld 10969 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  ZZ )
4241zcnd 10968 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  -> 
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  CC )
4342, 35mulcomd 9618 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
4435, 38mulneg2d 10011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( G  x.  -u ( |_ `  ( X  /  G ) ) )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
4543, 44eqtrd 2508 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  =  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) )
4645oveq2d 6301 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  =  ( X  +  -u ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G
) ) ) ) )
47 modval 11967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  e.  RR  /\  G  e.  RR+ )  -> 
( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4815, 26, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  -  ( G  x.  ( |_ `  ( X  /  G ) ) ) ) )
4940, 46, 483eqtr4rd 2519 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) ) )
502, 5, 20, 17zlpirlem2 18322 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  I )
51 zex 10874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ZZ  e.  _V
52 cnfldmul 18237 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  x.  =  ( .r ` fld )
532, 52ressmulr 14611 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  x.  =  ( .r `  Z ) )
5451, 53ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12  |-  x.  =  ( .r `  Z )
5510, 9, 54lidlmcl 17676 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( Z  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal `  Z ) )  /\  ( -u ( |_ `  ( X  /  G
) )  e.  ZZ  /\  G  e.  I ) )  ->  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
)
564, 5, 41, 50, 55syl22anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
)
57 cnfldadd 18236 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +  =  ( +g  ` fld )
582, 57ressplusg 14600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ZZ  e.  _V  ->  +  =  ( +g  `  Z
) )
5951, 58ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  +  =  ( +g  `  Z )
6010, 59lidlacl 17672 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( Z  e.  Ring  /\  I  e.  (LIdeal `  Z ) )  /\  ( X  e.  I  /\  ( -u ( |_
`  ( X  /  G ) )  x.  G )  e.  I
) )  ->  ( X  +  ( -u ( |_ `  ( X  /  G ) )  x.  G ) )  e.  I )
614, 5, 13, 56, 60syl22anc 1229 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  +  (
-u ( |_ `  ( X  /  G
) )  x.  G
) )  e.  I
)
6249, 61eqeltrd 2555 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  e.  I )
6362adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  I )
64 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  NN )
6563, 64elind 3688 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )
66 infmssuzle 11165 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( X  mod  G )  e.  ( I  i^i  NN ) )  ->  sup (
( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
6719, 65, 66sylancr 663 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  <_  ( X  mod  G ) )
6817, 67syl5eqbr 4480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( X  mod  G )  e.  NN )  ->  G  <_  ( X  mod  G ) )
6933, 68mtand 659 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  ( X  mod  G )  e.  NN )
70 elnn0 10798 . . . 4  |-  ( ( X  mod  G )  e.  NN0  <->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
7129, 70sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 ) )
72 orel1 382 . . 3  |-  ( -.  ( X  mod  G
)  e.  NN  ->  ( ( ( X  mod  G )  e.  NN  \/  ( X  mod  G )  =  0 )  -> 
( X  mod  G
)  =  0 ) )
7369, 71, 72sylc 60 . 2  |-  ( ph  ->  ( X  mod  G
)  =  0 )
74 dvdsval3 13854 . . 3  |-  ( ( G  e.  NN  /\  X  e.  ZZ )  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
7525, 14, 74syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  ||  X  <->  ( X  mod  G )  =  0 ) )
7673, 75mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  G  ||  X )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {csn 4027   class class class wbr 4447   `'ccnv 4998   ` cfv 5588  (class class class)co 6285   supcsup 7901   CCcc 9491   RRcr 9492   0cc0 9493   1c1 9494    + caddc 9496    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630    - cmin 9806   -ucneg 9807    / cdiv 10207   NNcn 10537   NN0cn0 10796   ZZcz 10865   ZZ>=cuz 11083   RR+crp 11221   |_cfl 11896    mod cmo 11965    || cdivides 13850   Basecbs 14493   ↾s cress 14494   +g cplusg 14558   .rcmulr 14559   Ringcrg 17012  SubRingcsubrg 17237  LIdealclidl 17628  ℂfldccnfld 18231
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570  ax-pre-sup 9571  ax-addf 9572  ax-mulf 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-sup 7902  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-rp 11222  df-fz 11674  df-fl 11898  df-mod 11966  df-seq 12077  df-exp 12136  df-cj 12898  df-re 12899  df-im 12900  df-sqrt 13034  df-abs 13035  df-dvds 13851  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-sets 14499  df-ress 14500  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-starv 14573  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580  df-unif 14581  df-0g 14700  df-mnd 15735  df-grp 15871  df-minusg 15872  df-sbg 15873  df-subg 16012  df-cmn 16615  df-mgp 16956  df-ur 16968  df-rng 17014  df-cring 17015  df-subrg 17239  df-lmod 17326  df-lss 17391  df-sra 17630  df-rgmod 17631  df-lidl 17632  df-cnfld 18232
This theorem is referenced by:  zlpir  18324
  Copyright terms: Public domain W3C validator