MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlpirlem2 Structured version   Unicode version

Theorem zlpirlem2 17924
Description: Lemma for zlpir 17926. A nonzero ideal of integers contains the least positive element. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) Obsolete version of zringlpirlem2 17919 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
zlpirlem.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
zlpirlem.i  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal `  Z ) )
zlpirlem.n0  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
zlpirlem.g  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
Assertion
Ref Expression
zlpirlem2  |-  ( ph  ->  G  e.  I )

Proof of Theorem zlpirlem2
StepHypRef Expression
1 zlpirlem.g . 2  |-  G  =  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )
2 inss1 3585 . . 3  |-  ( I  i^i  NN )  C_  I
3 inss2 3586 . . . . 5  |-  ( I  i^i  NN )  C_  NN
4 nnuz 10911 . . . . 5  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
53, 4sseqtri 3403 . . . 4  |-  ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1 )
6 zlpirlem.z . . . . 5  |-  Z  =  (flds  ZZ )
7 zlpirlem.i . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  e.  (LIdeal `  Z ) )
8 zlpirlem.n0 . . . . 5  |-  ( ph  ->  I  =/=  { 0 } )
96, 7, 8zlpirlem1 17923 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )
10 infmssuzcl 10953 . . . 4  |-  ( ( ( I  i^i  NN )  C_  ( ZZ>= `  1
)  /\  ( I  i^i  NN )  =/=  (/) )  ->  sup ( ( I  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i  NN ) )
115, 9, 10sylancr 663 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  ( I  i^i 
NN ) )
122, 11sseldi 3369 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ( I  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  I )
131, 12syl5eqel 2527 1  |-  ( ph  ->  G  e.  I )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620    i^i cin 3342    C_ wss 3343   (/)c0 3652   {csn 3892   `'ccnv 4854   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   supcsup 7705   RRcr 9296   0cc0 9297   1c1 9298    < clt 9433   NNcn 10337   ZZcz 10661   ZZ>=cuz 10876   ↾s cress 14190  LIdealclidl 17266  ℂfldccnfld 17833
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375  ax-addf 9376  ax-mulf 9377
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-oadd 6939  df-er 7116  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-4 10397  df-5 10398  df-6 10399  df-7 10400  df-8 10401  df-9 10402  df-10 10403  df-n0 10595  df-z 10662  df-dec 10771  df-uz 10877  df-rp 11007  df-fz 11453  df-seq 11822  df-exp 11881  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-struct 14191  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-mulr 14267  df-starv 14268  df-sca 14269  df-vsca 14270  df-ip 14271  df-tset 14272  df-ple 14273  df-ds 14275  df-unif 14276  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-subg 15693  df-cmn 16294  df-mgp 16607  df-ur 16619  df-rng 16662  df-cring 16663  df-subrg 16878  df-lmod 16965  df-lss 17029  df-sra 17268  df-rgmod 17269  df-lidl 17270  df-cnfld 17834
This theorem is referenced by:  zlpirlem3  17925  zlpir  17926
  Copyright terms: Public domain W3C validator