Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlpirlem1 Structured version   Unicode version

Theorem zlpirlem1 18017
 Description: Lemma for zlpir 18020. A nonzero ideal of integers contains some positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) Obsolete version of zringlpirlem1 18012 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
zlpirlem.z flds
zlpirlem.i LIdeal
zlpirlem.n0
Assertion
Ref Expression
zlpirlem1

Proof of Theorem zlpirlem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 17975 . . . . 5 SubRingfld
2 zlpirlem.z . . . . . 6 flds
32subrgrng 16974 . . . . 5 SubRingfld
41, 3ax-mp 5 . . . 4
54a1i 11 . . 3
6 zlpirlem.i . . 3 LIdeal
7 zlpirlem.n0 . . 3
8 eqid 2451 . . . 4 LIdeal LIdeal
9 cnfld0 17949 . . . . . 6 fld
102, 9subrg0 16978 . . . . 5 SubRingfld
111, 10ax-mp 5 . . . 4
128, 11lidlnz 17416 . . 3 LIdeal
135, 6, 7, 12syl3anc 1219 . 2
14 simplr 754 . . . . . . . 8
15 eleq1 2523 . . . . . . . 8
1614, 15syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
17 subrgsubg 16977 . . . . . . . . . . . . 13 SubRingfld SubGrpfld
181, 17ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 SubGrpfld
19 zsscn 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16
20 cnfldbas 17931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 fld
212, 20ressbas2 14331 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2219, 21ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15
2322, 8lidlssOLD 17398 . . . . . . . . . . . . . 14 LIdeal
244, 6, 23sylancr 663 . . . . . . . . . . . . 13
2524sselda 3454 . . . . . . . . . . . 12
26 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13 fld fld
27 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13
282, 26, 27subginv 15790 . . . . . . . . . . . 12 SubGrpfld fld
2918, 25, 28sylancr 663 . . . . . . . . . . 11 fld
3025zcnd 10849 . . . . . . . . . . . 12
31 cnfldneg 17951 . . . . . . . . . . . 12 fld
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . 11 fld
3329, 32eqtr3d 2494 . . . . . . . . . 10
344a1i 11 . . . . . . . . . . 11
356adantr 465 . . . . . . . . . . 11 LIdeal
36 simpr 461 . . . . . . . . . . 11
378, 27lidlnegcl 17402 . . . . . . . . . . 11 LIdeal
3834, 35, 36, 37syl3anc 1219 . . . . . . . . . 10
3933, 38eqeltrrd 2540 . . . . . . . . 9
4039adantr 465 . . . . . . . 8
41 eleq1 2523 . . . . . . . 8
4240, 41syl5ibrcom 222 . . . . . . 7
4325zred 10848 . . . . . . . . 9
4443absord 13004 . . . . . . . 8
4544adantr 465 . . . . . . 7
4616, 42, 45mpjaod 381 . . . . . 6
47 nnabscl 12915 . . . . . . 7
4825, 47sylan 471 . . . . . 6
4946, 48elind 3638 . . . . 5
50 ne0i 3741 . . . . 5
5149, 50syl 16 . . . 4
5251ex 434 . . 3
5352rexlimdva 2937 . 2
5413, 53mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wo 368   wa 369   wceq 1370   wcel 1758   wne 2644  wrex 2796   cin 3425   wss 3426  c0 3735  csn 3975  cfv 5516  (class class class)co 6190  cc 9381  cc0 9383  cneg 9697  cn 10423  cz 10747  cabs 12825  cbs 14276   ↾s cress 14277  c0g 14480  cminusg 15513  SubGrpcsubg 15777  crg 16751  SubRingcsubrg 16967  LIdealclidl 17357  ℂfldccnfld 17927 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-sup 7792  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-rp 11093  df-fz 11539  df-seq 11908  df-exp 11967  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-subg 15780  df-cmn 16383  df-mgp 16697  df-ur 16709  df-rng 16753  df-cring 16754  df-subrg 16969  df-lmod 17056  df-lss 17120  df-sra 17359  df-rgmod 17360  df-lidl 17361  df-cnfld 17928 This theorem is referenced by:  zlpirlem2  18018  zlpirlem3  18019
 Copyright terms: Public domain W3C validator