MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlpir Structured version   Unicode version

Theorem zlpir 18031
Description: The integers are a principal ideal ring but not a field. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) Obsolete version of zringlpir 18026 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
zlpir.z  |-  Z  =  (flds  ZZ )
Assertion
Ref Expression
zlpir  |-  Z  e. LPIR

Proof of Theorem zlpir
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 17986 . . 3  |-  ZZ  e.  (SubRing ` fld )
2 zlpir.z . . . 4  |-  Z  =  (flds  ZZ )
32subrgrng 16986 . . 3  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  Z  e. 
Ring )
41, 3ax-mp 5 . 2  |-  Z  e. 
Ring
5 eleq1 2524 . . . 4  |-  ( x  =  { 0 }  ->  ( x  e.  (LPIdeal `  Z )  <->  { 0 }  e.  (LPIdeal `  Z ) ) )
6 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  x  e.  (LIdeal `  Z ) )
7 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  x  =/=  {
0 } )
8 eqid 2452 . . . . . . 7  |-  sup (
( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  =  sup ( ( x  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )
92, 6, 7, 8zlpirlem2 18029 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  sup ( ( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  x )
10 simpll 753 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  /\  z  e.  x
)  ->  x  e.  (LIdeal `  Z ) )
11 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  /\  z  e.  x
)  ->  x  =/=  { 0 } )
12 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  /\  z  e.  x
)  ->  z  e.  x )
132, 10, 11, 8, 12zlpirlem3 18030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  /\  z  e.  x
)  ->  sup (
( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ||  z
)
1413ralrimiva 2827 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  A. z  e.  x  sup ( ( x  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ||  z )
15 breq1 4398 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  sup ( ( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( y  ||  z  <->  sup ( ( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  ) 
||  z ) )
1615ralbidv 2843 . . . . . . 7  |-  ( y  =  sup ( ( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ->  ( A. z  e.  x  y  ||  z  <->  A. z  e.  x  sup ( ( x  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ||  z ) )
1716rspcev 3173 . . . . . 6  |-  ( ( sup ( ( x  i^i  NN ) ,  RR ,  `'  <  )  e.  x  /\  A. z  e.  x  sup ( ( x  i^i 
NN ) ,  RR ,  `'  <  )  ||  z )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  y  ||  z )
189, 14, 17syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  y  ||  z )
19 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  (LIdeal `  Z )  =  (LIdeal `  Z )
20 eqid 2452 . . . . . . . 8  |-  (LPIdeal `  Z
)  =  (LPIdeal `  Z
)
212dvdsrz 18022 . . . . . . . 8  |-  ||  =  ( ||r `
 Z )
2219, 20, 21lpigen 17456 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  e.  Ring  /\  x  e.  (LIdeal `  Z )
)  ->  ( x  e.  (LPIdeal `  Z )  <->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  y  ||  z ) )
234, 22mpan 670 . . . . . 6  |-  ( x  e.  (LIdeal `  Z
)  ->  ( x  e.  (LPIdeal `  Z )  <->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  y  ||  z ) )
2423adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  ( x  e.  (LPIdeal `  Z )  <->  E. y  e.  x  A. z  e.  x  y  ||  z ) )
2518, 24mpbird 232 . . . 4  |-  ( ( x  e.  (LIdeal `  Z )  /\  x  =/=  { 0 } )  ->  x  e.  (LPIdeal `  Z ) )
26 cnfld0 17960 . . . . . . . 8  |-  0  =  ( 0g ` fld )
272, 26subrg0 16990 . . . . . . 7  |-  ( ZZ  e.  (SubRing ` fld )  ->  0  =  ( 0g `  Z
) )
281, 27ax-mp 5 . . . . . 6  |-  0  =  ( 0g `  Z )
2920, 28lpi0 17447 . . . . 5  |-  ( Z  e.  Ring  ->  { 0 }  e.  (LPIdeal `  Z
) )
304, 29mp1i 12 . . . 4  |-  ( x  e.  (LIdeal `  Z
)  ->  { 0 }  e.  (LPIdeal `  Z
) )
315, 25, 30pm2.61ne 2764 . . 3  |-  ( x  e.  (LIdeal `  Z
)  ->  x  e.  (LPIdeal `  Z ) )
3231ssriv 3463 . 2  |-  (LIdeal `  Z )  C_  (LPIdeal `  Z )
3320, 19islpir2 17451 . 2  |-  ( Z  e. LPIR 
<->  ( Z  e.  Ring  /\  (LIdeal `  Z )  C_  (LPIdeal `  Z )
) )
344, 32, 33mpbir2an 911 1  |-  Z  e. LPIR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   A.wral 2796   E.wrex 2797    i^i cin 3430    C_ wss 3431   {csn 3980   class class class wbr 4395   `'ccnv 4942   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   supcsup 7796   RRcr 9387   0cc0 9388    < clt 9524   NNcn 10428   ZZcz 10752    || cdivides 13648   ↾s cress 14288   0gc0g 14492   Ringcrg 16763  SubRingcsubrg 16979  LIdealclidl 17369  LPIdealclpidl 17441  LPIRclpir 17442  ℂfldccnfld 17938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-dvds 13649  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-cmn 16395  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-cring 16766  df-dvdsr 16851  df-subrg 16981  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-sra 17371  df-rgmod 17372  df-lidl 17373  df-rsp 17374  df-lpidl 17443  df-lpir 17444  df-cnfld 17939
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator