Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlpir Structured version   Unicode version

Theorem zlpir 18031
 Description: The integers are a principal ideal ring but not a field. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) Obsolete version of zringlpir 18026 as of 9-Jun-2019. (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
zlpir.z flds
Assertion
Ref Expression
zlpir LPIR

Proof of Theorem zlpir
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zsubrg 17986 . . 3 SubRingfld
2 zlpir.z . . . 4 flds
32subrgrng 16986 . . 3 SubRingfld
41, 3ax-mp 5 . 2
5 eleq1 2524 . . . 4 LPIdeal LPIdeal
6 simpl 457 . . . . . . 7 LIdeal LIdeal
7 simpr 461 . . . . . . 7 LIdeal
8 eqid 2452 . . . . . . 7
92, 6, 7, 8zlpirlem2 18029 . . . . . 6 LIdeal
10 simpll 753 . . . . . . . 8 LIdeal LIdeal
11 simplr 754 . . . . . . . 8 LIdeal
12 simpr 461 . . . . . . . 8 LIdeal
132, 10, 11, 8, 12zlpirlem3 18030 . . . . . . 7 LIdeal
1413ralrimiva 2827 . . . . . 6 LIdeal
15 breq1 4398 . . . . . . . 8
1615ralbidv 2843 . . . . . . 7
1716rspcev 3173 . . . . . 6
189, 14, 17syl2anc 661 . . . . 5 LIdeal
19 eqid 2452 . . . . . . . 8 LIdeal LIdeal
20 eqid 2452 . . . . . . . 8 LPIdeal LPIdeal
212dvdsrz 18022 . . . . . . . 8 r
2219, 20, 21lpigen 17456 . . . . . . 7 LIdeal LPIdeal
234, 22mpan 670 . . . . . 6 LIdeal LPIdeal
2423adantr 465 . . . . 5 LIdeal LPIdeal
2518, 24mpbird 232 . . . 4 LIdeal LPIdeal
26 cnfld0 17960 . . . . . . . 8 fld
272, 26subrg0 16990 . . . . . . 7 SubRingfld
281, 27ax-mp 5 . . . . . 6
2920, 28lpi0 17447 . . . . 5 LPIdeal
304, 29mp1i 12 . . . 4 LIdeal LPIdeal
315, 25, 30pm2.61ne 2764 . . 3 LIdeal LPIdeal
3231ssriv 3463 . 2 LIdeal LPIdeal
3320, 19islpir2 17451 . 2 LPIR LIdeal LPIdeal
344, 32, 33mpbir2an 911 1 LPIR
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   wceq 1370   wcel 1758   wne 2645  wral 2796  wrex 2797   cin 3430   wss 3431  csn 3980   class class class wbr 4395  ccnv 4942  cfv 5521  (class class class)co 6195  csup 7796  cr 9387  cc0 9388   clt 9524  cn 10428  cz 10752   cdivides 13648   ↾s cress 14288  c0g 14492  crg 16763  SubRingcsubrg 16979  LIdealclidl 17369  LPIdealclpidl 17441  LPIRclpir 17442  ℂfldccnfld 17938 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-oadd 7029  df-er 7206  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-sup 7797  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-rp 11098  df-fz 11550  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-dvds 13649  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-0g 14494  df-mnd 15529  df-grp 15659  df-minusg 15660  df-sbg 15661  df-subg 15792  df-cmn 16395  df-mgp 16709  df-ur 16721  df-rng 16765  df-cring 16766  df-dvdsr 16851  df-subrg 16981  df-lmod 17068  df-lss 17132  df-lsp 17171  df-sra 17371  df-rgmod 17372  df-lidl 17373  df-rsp 17374  df-lpidl 17443  df-lpir 17444  df-cnfld 17939 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator