MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmvsca Structured version   Unicode version

Theorem zlmvsca 18686
Description: Scalar multiplication operation of a  ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmbas.w  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
zlmvsca.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
zlmvsca  |-  .x.  =  ( .s `  W )

Proof of Theorem zlmvsca
StepHypRef Expression
1 zlmbas.w . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 zlmvsca.2 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2zlmval 18680 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. )
)
43fveq2d 5876 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( .s `  W )  =  ( .s `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ) ) )
5 ovex 6324 . . . 4  |-  ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. )  e.  _V
6 fvex 5882 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  e.  _V
72, 6eqeltri 2541 . . . 4  |-  .x.  e.  _V
8 vscaid 14779 . . . . 5  |-  .s  = Slot  ( .s `  ndx )
98setsid 14687 . . . 4  |-  ( ( ( G sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,ring >. )  e.  _V  /\ 
.x.  e.  _V )  ->  .x.  =  ( .s
`  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
105, 7, 9mp2an 672 . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ) )
114, 10syl6reqr 2517 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  .x.  =  ( .s `  W ) )
128str0 14684 . . 3  |-  (/)  =  ( .s `  (/) )
13 fvprc 5866 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (/) )
142, 13syl5eq 2510 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .x.  =  (/) )
15 fvprc 5866 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( ZMod `  G )  =  (/) )
161, 15syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  W  =  (/) )
1716fveq2d 5876 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( .s `  W )  =  ( .s `  (/) ) )
1812, 14, 173eqtr4a 2524 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .x.  =  ( .s `  W ) )
1911, 18pm2.61i 164 1  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109   (/)c0 3793   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ndxcnx 14641   sSet csts 14642  Scalarcsca 14715   .scvsca 14716  .gcmg 16183  ℤringzring 18615   ZModczlm 18665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-sets 14650  df-vsca 14729  df-zlm 18669
This theorem is referenced by:  zlmlmod  18687  zlmassa  18688  clmzlmvsca  21722  nmmulg  28110  cnzh  28112  rezh  28113
  Copyright terms: Public domain W3C validator