MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmvsca Structured version   Unicode version

Theorem zlmvsca 18064
Description: Scalar multiplication operation of a  ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmbas.w  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
zlmvsca.2  |-  .x.  =  (.g
`  G )
Assertion
Ref Expression
zlmvsca  |-  .x.  =  ( .s `  W )

Proof of Theorem zlmvsca
StepHypRef Expression
1 zlmbas.w . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 zlmvsca.2 . . . . 5  |-  .x.  =  (.g
`  G )
31, 2zlmval 18058 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. )
)
43fveq2d 5795 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( .s `  W )  =  ( .s `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ) ) )
5 ovex 6217 . . . 4  |-  ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. )  e.  _V
6 fvex 5801 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  e.  _V
72, 6eqeltri 2535 . . . 4  |-  .x.  e.  _V
8 vscaid 14405 . . . . 5  |-  .s  = Slot  ( .s `  ndx )
98setsid 14319 . . . 4  |-  ( ( ( G sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,ring >. )  e.  _V  /\ 
.x.  e.  _V )  ->  .x.  =  ( .s
`  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  .x.  >. )
) )
105, 7, 9mp2an 672 . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ) )
114, 10syl6reqr 2511 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  .x.  =  ( .s `  W ) )
128str0 14316 . . 3  |-  (/)  =  ( .s `  (/) )
13 fvprc 5785 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  (.g `  G )  =  (/) )
142, 13syl5eq 2504 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .x.  =  (/) )
15 fvprc 5785 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( ZMod `  G )  =  (/) )
161, 15syl5eq 2504 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  W  =  (/) )
1716fveq2d 5795 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( .s `  W )  =  ( .s `  (/) ) )
1812, 14, 173eqtr4a 2518 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  .x.  =  ( .s `  W ) )
1911, 18pm2.61i 164 1  |-  .x.  =  ( .s `  W )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3070   (/)c0 3737   <.cop 3983   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   ndxcnx 14275   sSet csts 14276  Scalarcsca 14345   .scvsca 14346  .gcmg 15518  ℤringzring 17994   ZModczlm 18043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-sets 14284  df-vsca 14359  df-zlm 18047
This theorem is referenced by:  zlmlmod  18065  zlmassa  18066  clmzlmvsca  20786  nmmulg  26533  cnzh  26535  rezh  26536
  Copyright terms: Public domain W3C validator