Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmtset Structured version   Unicode version

Theorem zlmtset 27432
Description: Topology in a  ZZ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmlem2.1  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
zlmtset.1  |-  J  =  (TopSet `  G )
Assertion
Ref Expression
zlmtset  |-  ( G  e.  V  ->  J  =  (TopSet `  W )
)

Proof of Theorem zlmtset
StepHypRef Expression
1 zlmlem2.1 . . . 4  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2460 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2zlmval 18313 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G
) >. ) )
43fveq2d 5861 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  (TopSet `  W )  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) ) )
5 zlmtset.1 . . 3  |-  J  =  (TopSet `  G )
6 tsetid 14632 . . . 4  |- TopSet  = Slot  (TopSet ` 
ndx )
7 5re 10603 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
8 5lt9 10722 . . . . . 6  |-  5  <  9
97, 8gtneii 9685 . . . . 5  |-  9  =/=  5
10 tsetndx 14631 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
11 scandx 14604 . . . . . 6  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1210, 11neeq12i 2749 . . . . 5  |-  ( (TopSet `  ndx )  =/=  (Scalar ` 
ndx )  <->  9  =/=  5 )
139, 12mpbir 209 . . . 4  |-  (TopSet `  ndx )  =/=  (Scalar ` 
ndx )
146, 13setsnid 14521 . . 3  |-  (TopSet `  G )  =  (TopSet `  ( G sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,ring >. ) )
15 6re 10605 . . . . . 6  |-  6  e.  RR
16 6lt9 10721 . . . . . 6  |-  6  <  9
1715, 16gtneii 9685 . . . . 5  |-  9  =/=  6
18 vscandx 14606 . . . . . 6  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
1910, 18neeq12i 2749 . . . . 5  |-  ( (TopSet `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )  <->  9  =/=  6 )
2017, 19mpbir 209 . . . 4  |-  (TopSet `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
216, 20setsnid 14521 . . 3  |-  (TopSet `  ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) )  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
225, 14, 213eqtri 2493 . 2  |-  J  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
234, 22syl6reqr 2520 1  |-  ( G  e.  V  ->  J  =  (TopSet `  W )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   <.cop 4026   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   5c5 10577   6c6 10578   9c9 10581   ndxcnx 14476   sSet csts 14477  Scalarcsca 14547   .scvsca 14548  TopSetcts 14550  .gcmg 15720  ℤringzring 18249   ZModczlm 18298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-sets 14485  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-tset 14563  df-zlm 18302
This theorem is referenced by:  zhmnrg  27434
  Copyright terms: Public domain W3C validator