Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmtset Structured version   Unicode version

Theorem zlmtset 26525
Description: Topology in a  ZZ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmlem2.1  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
zlmtset.1  |-  J  =  (TopSet `  G )
Assertion
Ref Expression
zlmtset  |-  ( G  e.  V  ->  J  =  (TopSet `  W )
)

Proof of Theorem zlmtset
StepHypRef Expression
1 zlmlem2.1 . . . 4  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2451 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2zlmval 18053 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G
) >. ) )
43fveq2d 5790 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  (TopSet `  W )  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) ) )
5 zlmtset.1 . . 3  |-  J  =  (TopSet `  G )
6 tsetid 14425 . . . 4  |- TopSet  = Slot  (TopSet ` 
ndx )
7 5re 10498 . . . . . 6  |-  5  e.  RR
8 5lt9 10617 . . . . . 6  |-  5  <  9
97, 8gtneii 9584 . . . . 5  |-  9  =/=  5
10 tsetndx 14424 . . . . . 6  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
11 scandx 14397 . . . . . 6  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1210, 11neeq12i 2735 . . . . 5  |-  ( (TopSet `  ndx )  =/=  (Scalar ` 
ndx )  <->  9  =/=  5 )
139, 12mpbir 209 . . . 4  |-  (TopSet `  ndx )  =/=  (Scalar ` 
ndx )
146, 13setsnid 14315 . . 3  |-  (TopSet `  G )  =  (TopSet `  ( G sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,ring >. ) )
15 6re 10500 . . . . . 6  |-  6  e.  RR
16 6lt9 10616 . . . . . 6  |-  6  <  9
1715, 16gtneii 9584 . . . . 5  |-  9  =/=  6
18 vscandx 14399 . . . . . 6  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
1910, 18neeq12i 2735 . . . . 5  |-  ( (TopSet `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )  <->  9  =/=  6 )
2017, 19mpbir 209 . . . 4  |-  (TopSet `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
216, 20setsnid 14315 . . 3  |-  (TopSet `  ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) )  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
225, 14, 213eqtri 2483 . 2  |-  J  =  (TopSet `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
234, 22syl6reqr 2510 1  |-  ( G  e.  V  ->  J  =  (TopSet `  W )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2642   <.cop 3978   ` cfv 5513  (class class class)co 6187   5c5 10472   6c6 10473   9c9 10476   ndxcnx 14270   sSet csts 14271  Scalarcsca 14340   .scvsca 14341  TopSetcts 14343  .gcmg 15513  ℤringzring 17989   ZModczlm 18038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4508  ax-nul 4516  ax-pow 4565  ax-pr 4626  ax-un 6469  ax-cnex 9436  ax-resscn 9437  ax-1cn 9438  ax-icn 9439  ax-addcl 9440  ax-addrcl 9441  ax-mulcl 9442  ax-mulrcl 9443  ax-mulcom 9444  ax-addass 9445  ax-mulass 9446  ax-distr 9447  ax-i2m1 9448  ax-1ne0 9449  ax-1rid 9450  ax-rnegex 9451  ax-rrecex 9452  ax-cnre 9453  ax-pre-lttri 9454  ax-pre-lttrn 9455  ax-pre-ltadd 9456  ax-pre-mulgt0 9457
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2599  df-ne 2644  df-nel 2645  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3067  df-sbc 3282  df-csb 3384  df-dif 3426  df-un 3428  df-in 3430  df-ss 3437  df-pss 3439  df-nul 3733  df-if 3887  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4187  df-iun 4268  df-br 4388  df-opab 4446  df-mpt 4447  df-tr 4481  df-eprel 4727  df-id 4731  df-po 4736  df-so 4737  df-fr 4774  df-we 4776  df-ord 4817  df-on 4818  df-lim 4819  df-suc 4820  df-xp 4941  df-rel 4942  df-cnv 4943  df-co 4944  df-dm 4945  df-rn 4946  df-res 4947  df-ima 4948  df-iota 5476  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6148  df-ov 6190  df-oprab 6191  df-mpt2 6192  df-om 6574  df-recs 6929  df-rdg 6963  df-er 7198  df-en 7408  df-dom 7409  df-sdom 7410  df-pnf 9518  df-mnf 9519  df-xr 9520  df-ltxr 9521  df-le 9522  df-sub 9695  df-neg 9696  df-nn 10421  df-2 10478  df-3 10479  df-4 10480  df-5 10481  df-6 10482  df-7 10483  df-8 10484  df-9 10485  df-ndx 14276  df-slot 14277  df-sets 14279  df-sca 14353  df-vsca 14354  df-tset 14356  df-zlm 18042
This theorem is referenced by:  zhmnrg  26527
  Copyright terms: Public domain W3C validator