MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmsca Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zlmsca 19104
Description: Scalar ring of a  ZZ-module. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.) (Revised by AV, 12-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmbas.w  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
Assertion
Ref Expression
zlmsca  |-  ( G  e.  V  ->ring  =  (Scalar `  W
) )

Proof of Theorem zlmsca
StepHypRef Expression
1 scaid 15270 . . 3  |- Scalar  = Slot  (Scalar ` 
ndx )
2 5re 10695 . . . . 5  |-  5  e.  RR
3 5lt6 10793 . . . . 5  |-  5  <  6
42, 3ltneii 9752 . . . 4  |-  5  =/=  6
5 scandx 15269 . . . . 5  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
6 vscandx 15271 . . . . 5  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
75, 6neeq12i 2692 . . . 4  |-  ( (Scalar `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )  <->  5  =/=  6 )
84, 7mpbir 213 . . 3  |-  (Scalar `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
91, 8setsnid 15177 . 2  |-  (Scalar `  ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) )  =  (Scalar `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
10 zringring 19054 . . 3  |-ring  e.  Ring
111setsid 15176 . . 3  |-  ( ( G  e.  V  /\ring  e.  Ring )  ->ring  =  (Scalar `  ( G sSet  <.
(Scalar `  ndx ) ,ring >. ) ) )
1210, 11mpan2 678 . 2  |-  ( G  e.  V  ->ring  =  (Scalar `  ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) ) )
13 zlmbas.w . . . 4  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
14 eqid 2453 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
1513, 14zlmval 19099 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G
) >. ) )
1615fveq2d 5874 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  (Scalar `  W )  =  (Scalar `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) ) )
179, 12, 163eqtr4a 2513 1  |-  ( G  e.  V  ->ring  =  (Scalar `  W
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   <.cop 3976   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   5c5 10669   6c6 10670   ndxcnx 15130   sSet csts 15131  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206  .gcmg 16684   Ringcrg 17792  ℤringzring 19051   ZModczlm 19084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-subg 16826  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-subrg 18018  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-zlm 19088
This theorem is referenced by:  zlmlmod  19106  zlmassa  19107  zlmclm  22138  nmmulg  28784  cnzh  28786  rezh  28787
  Copyright terms: Public domain W3C validator