Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzsub Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzsub 33222
Description: The subtraction of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzsub.m  |-  .-  =  ( -g `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzsub  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. } )

Proof of Theorem zlmodzxzsub
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10902 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
2 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
31, 2jca 530 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
4 zsubcl 10902 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  -  D
)  e.  ZZ )
5 simpr 459 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
64, 5jca 530 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( C  -  D )  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
7 zlmodzxz.z . . . . 5  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
97, 8zlmodzxzadd 33220 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( C  -  D )  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( A  -  B )  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( ( C  -  D
)  +  D )
>. } )
103, 6, 9syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( A  -  B )  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( ( C  -  D
)  +  D )
>. } )
11 zcn 10865 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
12 zcn 10865 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
13 npcan 9820 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
1411, 12, 13syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
1514adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
1615opeq2d 4210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  <. 0 ,  ( ( A  -  B )  +  B ) >.  =  <. 0 ,  A >. )
17 zcn 10865 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
18 zcn 10865 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
19 npcan 9820 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( C  -  D )  +  D
)  =  C )
2017, 18, 19syl2an 475 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( C  -  D )  +  D
)  =  C )
2120adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  -  D )  +  D
)  =  C )
2221opeq2d 4210 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  <. 1 ,  ( ( C  -  D )  +  D ) >.  =  <. 1 ,  C >. )
2316, 22preq12d 4103 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  ( ( A  -  B
)  +  B )
>. ,  <. 1 ,  ( ( C  -  D )  +  D
) >. }  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } )
2410, 23eqtrd 2495 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } )
257zlmodzxzlmod 33216 . . . 4  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
26 lmodgrp 17717 . . . . 5  |-  ( Z  e.  LMod  ->  Z  e. 
Grp )
2726adantr 463 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->  Z  e.  Grp )
2825, 27mp1i 12 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  Z  e.  Grp )
297zlmodzxzel 33217 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
3029ad2ant2r 744 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
317zlmodzxzel 33217 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
322, 5, 31syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
337zlmodzxzel 33217 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  ( C  -  D
)  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  e.  ( Base `  Z )
)
341, 4, 33syl2an 475 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  ( A  -  B )
>. ,  <. 1 ,  ( C  -  D
) >. }  e.  (
Base `  Z )
)
35 eqid 2454 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
36 zlmodzxzsub.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  Z )
3735, 8, 36grpsubadd 16328 . . 3  |-  ( ( Z  e.  Grp  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z )  /\  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z )  /\  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. }  e.  ( Base `  Z ) ) )  ->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. }  <->  ( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } ) )
3828, 30, 32, 34, 37syl13anc 1228 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. }  <->  ( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } ) )
3924, 38mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cpr 4018   <.cop 4022   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   CCcc 9479   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    - cmin 9796   ZZcz 10860   Basecbs 14719   +g cplusg 14787  Scalarcsca 14790   Grpcgrp 16255   -gcsg 16257   LModclmod 17710  ℤringzring 18686   freeLMod cfrlm 18953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-prds 14940  df-pws 14942  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-subg 16400  df-cmn 17002  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-subrg 17625  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-cnfld 18619  df-zring 18687  df-dsmm 18939  df-frlm 18954
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  33370
  Copyright terms: Public domain W3C validator