Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzsub Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzsub 30755
Description: The subtraction of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzsub.m  |-  .-  =  ( -g `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzsub  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. } )

Proof of Theorem zlmodzxzsub
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10686 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
2 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
31, 2jca 532 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
4 zsubcl 10686 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  -  D
)  e.  ZZ )
5 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
64, 5jca 532 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( C  -  D )  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
7 zlmodzxz.z . . . . 5  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
8 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
97, 8zlmodzxzadd 30753 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( C  -  D )  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( A  -  B )  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( ( C  -  D
)  +  D )
>. } )
103, 6, 9syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( A  -  B )  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( ( C  -  D
)  +  D )
>. } )
11 zcn 10650 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
12 zcn 10650 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
13 npcan 9618 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
1615opeq2d 4065 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  <. 0 ,  ( ( A  -  B )  +  B ) >.  =  <. 0 ,  A >. )
17 zcn 10650 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
18 zcn 10650 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
19 npcan 9618 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( C  -  D )  +  D
)  =  C )
2017, 18, 19syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( C  -  D )  +  D
)  =  C )
2120adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  -  D )  +  D
)  =  C )
2221opeq2d 4065 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  <. 1 ,  ( ( C  -  D )  +  D ) >.  =  <. 1 ,  C >. )
2316, 22preq12d 3961 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  ( ( A  -  B
)  +  B )
>. ,  <. 1 ,  ( ( C  -  D )  +  D
) >. }  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } )
2410, 23eqtrd 2474 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } )
257zlmodzxzlmod 30749 . . . 4  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
26 lmodgrp 16954 . . . . 5  |-  ( Z  e.  LMod  ->  Z  e. 
Grp )
2726adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->  Z  e.  Grp )
2825, 27mp1i 12 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  Z  e.  Grp )
297zlmodzxzel 30750 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
3029ad2ant2r 746 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
317zlmodzxzel 30750 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
322, 5, 31syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
337zlmodzxzel 30750 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  ( C  -  D
)  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  e.  ( Base `  Z )
)
341, 4, 33syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  ( A  -  B )
>. ,  <. 1 ,  ( C  -  D
) >. }  e.  (
Base `  Z )
)
35 eqid 2442 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
36 zlmodzxzsub.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  Z )
3735, 8, 36grpsubadd 15612 . . 3  |-  ( ( Z  e.  Grp  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z )  /\  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z )  /\  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. }  e.  ( Base `  Z ) ) )  ->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. }  <->  ( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } ) )
3828, 30, 32, 34, 37syl13anc 1220 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. }  <->  ( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } ) )
3924, 38mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {cpr 3878   <.cop 3882   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   CCcc 9279   0cc0 9281   1c1 9282    + caddc 9284    - cmin 9594   ZZcz 10645   Basecbs 14173   +g cplusg 14237  Scalarcsca 14240   Grpcgrp 15409   -gcsg 15412   LModclmod 16947  ℤringzring 17882   freeLMod cfrlm 18170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358  ax-addf 9360  ax-mulf 9361
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-ixp 7263  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-fsupp 7620  df-sup 7690  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-uz 10861  df-fz 11437  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-mulr 14251  df-starv 14252  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ip 14255  df-tset 14256  df-ple 14257  df-ds 14259  df-unif 14260  df-hom 14261  df-cco 14262  df-0g 14379  df-prds 14385  df-pws 14387  df-mnd 15414  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-sbg 15546  df-subg 15677  df-cmn 16278  df-mgp 16591  df-ur 16603  df-rng 16646  df-cring 16647  df-subrg 16862  df-lmod 16949  df-lss 17013  df-sra 17252  df-rgmod 17253  df-cnfld 17818  df-zring 17883  df-dsmm 18156  df-frlm 18171
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  31036
  Copyright terms: Public domain W3C validator