Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzsub Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzsub 32657
Description: The subtraction of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzsub.m  |-  .-  =  ( -g `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzsub  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. } )

Proof of Theorem zlmodzxzsub
StepHypRef Expression
1 zsubcl 10907 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  -  B
)  e.  ZZ )
2 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
31, 2jca 532 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ ) )
4 zsubcl 10907 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( C  -  D
)  e.  ZZ )
5 simpr 461 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
64, 5jca 532 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( C  -  D )  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
7 zlmodzxz.z . . . . 5  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
8 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
97, 8zlmodzxzadd 32655 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  -  B )  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( ( C  -  D )  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( A  -  B )  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( ( C  -  D
)  +  D )
>. } )
103, 6, 9syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( A  -  B )  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( ( C  -  D
)  +  D )
>. } )
11 zcn 10870 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  CC )
12 zcn 10870 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  CC )
13 npcan 9829 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
1411, 12, 13syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( A  -  B )  +  B
)  =  A )
1615opeq2d 4205 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  <. 0 ,  ( ( A  -  B )  +  B ) >.  =  <. 0 ,  A >. )
17 zcn 10870 . . . . . . 7  |-  ( C  e.  ZZ  ->  C  e.  CC )
18 zcn 10870 . . . . . . 7  |-  ( D  e.  ZZ  ->  D  e.  CC )
19 npcan 9829 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  CC  /\  D  e.  CC )  ->  ( ( C  -  D )  +  D
)  =  C )
2017, 18, 19syl2an 477 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  ( ( C  -  D )  +  D
)  =  C )
2120adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( C  -  D )  +  D
)  =  C )
2221opeq2d 4205 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  <. 1 ,  ( ( C  -  D )  +  D ) >.  =  <. 1 ,  C >. )
2316, 22preq12d 4098 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  ( ( A  -  B
)  +  B )
>. ,  <. 1 ,  ( ( C  -  D )  +  D
) >. }  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } )
2410, 23eqtrd 2482 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } )
257zlmodzxzlmod 32651 . . . 4  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
26 lmodgrp 17387 . . . . 5  |-  ( Z  e.  LMod  ->  Z  e. 
Grp )
2726adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->  Z  e.  Grp )
2825, 27mp1i 12 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  Z  e.  Grp )
297zlmodzxzel 32652 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
3029ad2ant2r 746 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
317zlmodzxzel 32652 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
322, 5, 31syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
337zlmodzxzel 32652 . . . 4  |-  ( ( ( A  -  B
)  e.  ZZ  /\  ( C  -  D
)  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  e.  ( Base `  Z )
)
341, 4, 33syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  ( A  -  B )
>. ,  <. 1 ,  ( C  -  D
) >. }  e.  (
Base `  Z )
)
35 eqid 2441 . . . 4  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
36 zlmodzxzsub.m . . . 4  |-  .-  =  ( -g `  Z )
3735, 8, 36grpsubadd 15995 . . 3  |-  ( ( Z  e.  Grp  /\  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z )  /\  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z )  /\  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. }  e.  ( Base `  Z ) ) )  ->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. }  <->  ( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } ) )
3828, 30, 32, 34, 37syl13anc 1229 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. }  <->  ( { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D ) >. }  ( +g  `  Z ) {
<. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } ) )
3924, 38mpbird 232 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .-  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  -  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  -  D )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1381    e. wcel 1802   {cpr 4012   <.cop 4016   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   CCcc 9488   0cc0 9490   1c1 9491    + caddc 9493    - cmin 9805   ZZcz 10865   Basecbs 14504   +g cplusg 14569  Scalarcsca 14572   Grpcgrp 15922   -gcsg 15924   LModclmod 17380  ℤringzring 18356   freeLMod cfrlm 18644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-fz 11677  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-0g 14711  df-prds 14717  df-pws 14719  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-sbg 15928  df-subg 16067  df-cmn 16669  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-subrg 17295  df-lmod 17382  df-lss 17447  df-sra 17686  df-rgmod 17687  df-cnfld 18289  df-zring 18357  df-dsmm 18630  df-frlm 18645
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  32807
  Copyright terms: Public domain W3C validator