Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzscm Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzscm 32380
Description: The scalar multiplication of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzscm.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzscm  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  x.  B )
>. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C
) >. } )

Proof of Theorem zlmodzxzscm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4695 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
3 fnconstg 5779 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  Fn  {
0 ,  1 } )
433ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  Fn  {
0 ,  1 } )
5 c0ex 9602 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
6 1ex 9603 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
75, 6pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
)
9 3simpc 995 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
10 0ne1 10615 . . . . 5  |-  0  =/=  1
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  0  =/=  1 )
12 fnprg 5648 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. }  Fn  {
0 ,  1 } )
138, 9, 11, 12syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
142, 4, 13offvalfv 32366 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  oF ( .r ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  ( x  e.  {
0 ,  1 } 
|->  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  x )
( .r ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ) ) )
15 zlmodzxz.z . . 3  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
16 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
17 eqid 2467 . . 3  |-  ( Base ` ring )  =  ( Base ` ring )
18 simp1 996 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
19 zringbas 18364 . . . 4  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2018, 19syl6eleq 2565 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( Base ` ring ) )
2115zlmodzxzel 32378 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
22213adant1 1014 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
23 zlmodzxzscm.t . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
24 eqid 2467 . . 3  |-  ( .r
` ring
)  =  ( .r
` ring
)
2515, 16, 17, 2, 20, 22, 23, 24frlmvscafval 18668 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  oF ( .r ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } ) )
265a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  0  e.  _V )
276a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  1  e.  _V )
28 ovex 6320 . . . 4  |-  ( A  x.  B )  e. 
_V
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B )  e.  _V )
30 ovex 6320 . . . 4  |-  ( A  x.  C )  e. 
_V
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C )  e.  _V )
32 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
)  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
) )
33 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )
3432, 33oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) )  =  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0
) ) )
35 zringmulr 18367 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` ring )
3635eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  ( .r
` ring
)  =  x.
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( .r ` ring )  =  x.  )
385prid1 4141 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
39 fvconst2g 6125 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  0 )  =  A )
4018, 38, 39sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
)  =  A )
41 simp2 997 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
42 fvpr1g 6117 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  B  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  B )
4326, 41, 11, 42syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  B )
4437, 40, 43oveq123d 6316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) ` 
0 ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )  =  ( A  x.  B ) )
4534, 44sylan9eqr 2530 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  x  =  0
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) )  =  ( A  x.  B ) )
46 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
)  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
) )
47 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )
4846, 47oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) )  =  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1
) ) )
496prid2 4142 . . . . . 6  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
50 fvconst2g 6125 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  1 )  =  A )
5118, 49, 50sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
52 simp3 998 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
53 fvpr2g 6118 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  C  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
5427, 52, 11, 53syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
5537, 51, 54oveq123d 6316 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) ` 
1 ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )  =  ( A  x.  C ) )
5648, 55sylan9eqr 2530 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  x  =  1
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) )  =  ( A  x.  C ) )
5726, 27, 29, 31, 45, 56fmptpr 6097 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  ( A  x.  B ) >. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C ) >. }  =  ( x  e.  { 0 ,  1 }  |->  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ) ) )
5814, 25, 573eqtr4d 2518 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  x.  B )
>. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C
) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118   {csn 4033   {cpr 4035   <.cop 4039    |-> cmpt 4511    X. cxp 5003    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    oFcof 6533   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509   ZZcz 10876   Basecbs 14507   .rcmulr 14573   .scvsca 14576  ℤringzring 18358   freeLMod cfrlm 18646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-subrg 17298  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-dsmm 18632  df-frlm 18647
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  32534  zlmodzxznm  32535  zlmodzxzequap  32537
  Copyright terms: Public domain W3C validator