Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzscm Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzscm 38438
Description: The scalar multiplication of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzscm.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzscm  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  x.  B )
>. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C
) >. } )

Proof of Theorem zlmodzxzscm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4632 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
3 fnconstg 5755 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  Fn  {
0 ,  1 } )
433ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  Fn  {
0 ,  1 } )
5 c0ex 9619 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
6 1ex 9620 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
75, 6pm3.2i 453 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
)
9 3simpc 996 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
10 0ne1 10643 . . . . 5  |-  0  =/=  1
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  0  =/=  1 )
12 fnprg 5622 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. }  Fn  {
0 ,  1 } )
138, 9, 11, 12syl3anc 1230 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
142, 4, 13offvalfv 38424 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  oF ( .r ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  ( x  e.  {
0 ,  1 } 
|->  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  x )
( .r ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ) ) )
15 zlmodzxz.z . . 3  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
16 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
17 eqid 2402 . . 3  |-  ( Base ` ring )  =  ( Base ` ring )
18 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
19 zringbas 18812 . . . 4  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2018, 19syl6eleq 2500 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( Base ` ring ) )
2115zlmodzxzel 38436 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
22213adant1 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
23 zlmodzxzscm.t . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
24 eqid 2402 . . 3  |-  ( .r
` ring
)  =  ( .r
` ring
)
2515, 16, 17, 2, 20, 22, 23, 24frlmvscafval 19093 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  oF ( .r ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } ) )
265a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  0  e.  _V )
276a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  1  e.  _V )
28 ovex 6305 . . . 4  |-  ( A  x.  B )  e. 
_V
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B )  e.  _V )
30 ovex 6305 . . . 4  |-  ( A  x.  C )  e. 
_V
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C )  e.  _V )
32 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
)  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
) )
33 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )
3432, 33oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) )  =  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0
) ) )
35 zringmulr 18815 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` ring )
3635eqcomi 2415 . . . . . 6  |-  ( .r
` ring
)  =  x.
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( .r ` ring )  =  x.  )
385prid1 4079 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
39 fvconst2g 6104 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  0 )  =  A )
4018, 38, 39sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
)  =  A )
41 simp2 998 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
42 fvpr1g 6095 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  B  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  B )
4326, 41, 11, 42syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  B )
4437, 40, 43oveq123d 6298 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) ` 
0 ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )  =  ( A  x.  B ) )
4534, 44sylan9eqr 2465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  x  =  0
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) )  =  ( A  x.  B ) )
46 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
)  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
) )
47 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )
4846, 47oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) )  =  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1
) ) )
496prid2 4080 . . . . . 6  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
50 fvconst2g 6104 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  1 )  =  A )
5118, 49, 50sylancl 660 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
52 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
53 fvpr2g 6096 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  C  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
5427, 52, 11, 53syl3anc 1230 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
5537, 51, 54oveq123d 6298 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) ` 
1 ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )  =  ( A  x.  C ) )
5648, 55sylan9eqr 2465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  x  =  1
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) )  =  ( A  x.  C ) )
5726, 27, 29, 31, 45, 56fmptpr 6075 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  ( A  x.  B ) >. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C ) >. }  =  ( x  e.  { 0 ,  1 }  |->  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ) ) )
5814, 25, 573eqtr4d 2453 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  x.  B )
>. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C
) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3058   {csn 3971   {cpr 3973   <.cop 3977    |-> cmpt 4452    X. cxp 4820    Fn wfn 5563   ` cfv 5568  (class class class)co 6277    oFcof 6518   0cc0 9521   1c1 9522    x. cmul 9526   ZZcz 10904   Basecbs 14839   .rcmulr 14908   .scvsca 14911  ℤringzring 18806   freeLMod cfrlm 19073
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598  ax-addf 9600  ax-mulf 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6520  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-supp 6902  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-ixp 7507  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-fsupp 7863  df-sup 7934  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-10 10642  df-n0 10836  df-z 10905  df-dec 11019  df-uz 11127  df-fz 11725  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-sets 14845  df-ress 14846  df-plusg 14920  df-mulr 14921  df-starv 14922  df-sca 14923  df-vsca 14924  df-ip 14925  df-tset 14926  df-ple 14927  df-ds 14929  df-unif 14930  df-hom 14931  df-cco 14932  df-0g 15054  df-prds 15060  df-pws 15062  df-mgm 16194  df-sgrp 16233  df-mnd 16243  df-grp 16379  df-minusg 16380  df-subg 16520  df-cmn 17122  df-mgp 17460  df-ur 17472  df-ring 17518  df-cring 17519  df-subrg 17745  df-sra 18136  df-rgmod 18137  df-cnfld 18739  df-zring 18807  df-dsmm 19059  df-frlm 19074
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  38589  zlmodzxznm  38590  zlmodzxzequap  38592
  Copyright terms: Public domain W3C validator