Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzscm Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzscm 32814
Description: The scalar multiplication of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzscm.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzscm  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  x.  B )
>. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C
) >. } )

Proof of Theorem zlmodzxzscm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4679 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
3 fnconstg 5763 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  Fn  {
0 ,  1 } )
433ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  Fn  {
0 ,  1 } )
5 c0ex 9593 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
6 1ex 9594 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
75, 6pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
)
9 3simpc 996 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
10 0ne1 10610 . . . . 5  |-  0  =/=  1
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  0  =/=  1 )
12 fnprg 5632 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. }  Fn  {
0 ,  1 } )
138, 9, 11, 12syl3anc 1229 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
142, 4, 13offvalfv 32800 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  oF ( .r ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  ( x  e.  {
0 ,  1 } 
|->  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  x )
( .r ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ) ) )
15 zlmodzxz.z . . 3  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
16 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
17 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base ` ring )  =  ( Base ` ring )
18 simp1 997 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
19 zringbas 18473 . . . 4  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2018, 19syl6eleq 2541 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( Base ` ring ) )
2115zlmodzxzel 32812 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
22213adant1 1015 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
23 zlmodzxzscm.t . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
24 eqid 2443 . . 3  |-  ( .r
` ring
)  =  ( .r
` ring
)
2515, 16, 17, 2, 20, 22, 23, 24frlmvscafval 18777 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  oF ( .r ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } ) )
265a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  0  e.  _V )
276a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  1  e.  _V )
28 ovex 6309 . . . 4  |-  ( A  x.  B )  e. 
_V
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B )  e.  _V )
30 ovex 6309 . . . 4  |-  ( A  x.  C )  e. 
_V
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C )  e.  _V )
32 fveq2 5856 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
)  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
) )
33 fveq2 5856 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )
3432, 33oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) )  =  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0
) ) )
35 zringmulr 18476 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` ring )
3635eqcomi 2456 . . . . . 6  |-  ( .r
` ring
)  =  x.
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( .r ` ring )  =  x.  )
385prid1 4123 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
39 fvconst2g 6109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  0 )  =  A )
4018, 38, 39sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
)  =  A )
41 simp2 998 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
42 fvpr1g 6101 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  B  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  B )
4326, 41, 11, 42syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  B )
4437, 40, 43oveq123d 6302 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) ` 
0 ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )  =  ( A  x.  B ) )
4534, 44sylan9eqr 2506 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  x  =  0
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) )  =  ( A  x.  B ) )
46 fveq2 5856 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
)  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
) )
47 fveq2 5856 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )
4846, 47oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) )  =  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1
) ) )
496prid2 4124 . . . . . 6  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
50 fvconst2g 6109 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  1 )  =  A )
5118, 49, 50sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
52 simp3 999 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
53 fvpr2g 6102 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  C  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
5427, 52, 11, 53syl3anc 1229 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
5537, 51, 54oveq123d 6302 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) ` 
1 ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )  =  ( A  x.  C ) )
5648, 55sylan9eqr 2506 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  x  =  1
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) )  =  ( A  x.  C ) )
5726, 27, 29, 31, 45, 56fmptpr 6081 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  ( A  x.  B ) >. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C ) >. }  =  ( x  e.  { 0 ,  1 }  |->  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ) ) )
5814, 25, 573eqtr4d 2494 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  x.  B )
>. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C
) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804    =/= wne 2638   _Vcvv 3095   {csn 4014   {cpr 4016   <.cop 4020    |-> cmpt 4495    X. cxp 4987    Fn wfn 5573   ` cfv 5578  (class class class)co 6281    oFcof 6523   0cc0 9495   1c1 9496    x. cmul 9500   ZZcz 10871   Basecbs 14614   .rcmulr 14680   .scvsca 14683  ℤringzring 18467   freeLMod cfrlm 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-0g 14821  df-prds 14827  df-pws 14829  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-subg 16177  df-cmn 16779  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-subrg 17406  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-cnfld 18400  df-zring 18468  df-dsmm 18741  df-frlm 18756
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  32967  zlmodzxznm  32968  zlmodzxzequap  32970
  Copyright terms: Public domain W3C validator