Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzscm Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzscm 30903
Description: The scalar multiplication of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzscm.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzscm  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  x.  B )
>. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C
) >. } )

Proof of Theorem zlmodzxzscm
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prex 4643 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
21a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
3 fnconstg 5707 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  Fn  {
0 ,  1 } )
433ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  Fn  {
0 ,  1 } )
5 c0ex 9492 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
6 1ex 9493 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
75, 6pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
87a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
)
9 3simpc 987 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
10 0ne1 10501 . . . . 5  |-  0  =/=  1
1110a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  0  =/=  1 )
12 fnprg 5581 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. }  Fn  {
0 ,  1 } )
138, 9, 11, 12syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
142, 4, 13offvalfv 30882 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  oF ( .r ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  ( x  e.  {
0 ,  1 } 
|->  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  x )
( .r ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ) ) )
15 zlmodzxz.z . . 3  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
16 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
17 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base ` ring )  =  ( Base ` ring )
18 simp1 988 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
19 zringbas 18015 . . . 4  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
2018, 19syl6eleq 2552 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  A  e.  ( Base ` ring ) )
2115zlmodzxzel 30901 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
22213adant1 1006 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
23 zlmodzxzscm.t . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
24 eqid 2454 . . 3  |-  ( .r
` ring
)  =  ( .r
` ring
)
2515, 16, 17, 2, 20, 22, 23, 24frlmvscafval 18319 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } )  oF ( .r ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } ) )
265a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  0  e.  _V )
276a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  1  e.  _V )
28 ovex 6226 . . . 4  |-  ( A  x.  B )  e. 
_V
2928a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  B )  e.  _V )
30 ovex 6226 . . . 4  |-  ( A  x.  C )  e. 
_V
3130a1i 11 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  x.  C )  e.  _V )
32 fveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
)  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
) )
33 fveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )
3432, 33oveq12d 6219 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) )  =  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0
) ) )
35 zringmulr 18018 . . . . . . 7  |-  x.  =  ( .r ` ring )
3635eqcomi 2467 . . . . . 6  |-  ( .r
` ring
)  =  x.
3736a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( .r ` ring )  =  x.  )
385prid1 4092 . . . . . 6  |-  0  e.  { 0 ,  1 }
39 fvconst2g 6041 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  0 )  =  A )
4018, 38, 39sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  0
)  =  A )
41 simp2 989 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
42 fvpr1g 6033 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  B  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  B )
4326, 41, 11, 42syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  B )
4437, 40, 43oveq123d 6222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) ` 
0 ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )  =  ( A  x.  B ) )
4534, 44sylan9eqr 2517 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  x  =  0
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) )  =  ( A  x.  B ) )
46 fveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
)  =  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
) )
47 fveq2 5800 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )
4846, 47oveq12d 6219 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) )  =  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1
) ) )
496prid2 4093 . . . . . 6  |-  1  e.  { 0 ,  1 }
50 fvconst2g 6041 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  1  e.  { 0 ,  1 } )  ->  ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A }
) `  1 )  =  A )
5118, 49, 50sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  1
)  =  A )
52 simp3 990 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
53 fvpr2g 6034 . . . . . 6  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  C  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
5427, 52, 11, 53syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
5537, 51, 54oveq123d 6222 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  (
( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) ` 
1 ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )  =  ( A  x.  C ) )
5648, 55sylan9eqr 2517 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  x  =  1
)  ->  ( (
( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x
) ( .r ` ring )
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) )  =  ( A  x.  C ) )
5726, 27, 29, 31, 45, 56fmptpr 6013 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  ( A  x.  B ) >. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C ) >. }  =  ( x  e.  { 0 ,  1 }  |->  ( ( ( { 0 ,  1 }  X.  { A } ) `  x ) ( .r
` ring
) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ) ) )
5814, 25, 573eqtr4d 2505 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  ( A  .xb  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  C >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  x.  B )
>. ,  <. 1 ,  ( A  x.  C
) >. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078   {csn 3986   {cpr 3988   <.cop 3992    |-> cmpt 4459    X. cxp 4947    Fn wfn 5522   ` cfv 5527  (class class class)co 6201    oFcof 6429   0cc0 9394   1c1 9395    x. cmul 9399   ZZcz 10758   Basecbs 14293   .rcmulr 14359   .scvsca 14362  ℤringzring 18009   freeLMod cfrlm 18297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471  ax-addf 9473  ax-mulf 9474
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-of 6431  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-supp 6802  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-ixp 7375  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-fsupp 7733  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-starv 14373  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-unif 14381  df-hom 14382  df-cco 14383  df-0g 14500  df-prds 14506  df-pws 14508  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-subg 15798  df-cmn 16401  df-mgp 16715  df-ur 16727  df-rng 16771  df-cring 16772  df-subrg 16987  df-sra 17377  df-rgmod 17378  df-cnfld 17945  df-zring 18010  df-dsmm 18283  df-frlm 18298
This theorem is referenced by:  zlmodzxzequa  31171  zlmodzxznm  31172  zlmodzxzequap  31174
  Copyright terms: Public domain W3C validator