Theorem zlmodzxznm 33242

Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzequa.o	|- .0. = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
zlmodzxzequa.t	|- .xb = ( .s ` Z )
zlmodzxzequa.m	|- .- = ( -g ` Z )
zlmodzxzequa.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzequa.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxznm	|- A. i e. ZZ ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A )

Proof of Theorem zlmodzxznm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3prm 14246	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. Prime
2		2prm 14245	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
3		ztprmneprm 33080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( i x. 3 ) = 2 -> 3 = 2 ) )
4	1, 2, 3	mp3an23 1316	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> ( ( i x. 3 ) = 2 -> 3 = 2 ) )
5		2re 10626	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
6		2lt3 10724	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 < 3
7	5, 6	ltneii 9714	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 3
8		eqneqall 2664	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 = 3 -> ( 2 =/= 3 -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
9	7, 8	mpi 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 = 3 -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
10	9	eqcoms 2469	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 = 2 -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
11	4, 10	syl6com 35	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 3 ) = 2 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
12		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 3 ) =/= 2 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
13	11, 12	pm2.61ine 2770	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
14	13	olcd 393	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
15		c0ex 9607	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
16		ovex 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( i x. 3 ) e. _V
17	15, 16	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V )
18		opthneg 4735	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) ) )
19	17, 18	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) ) )
20	14, 19	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. )
21		0ne1 10624	. . . . . . . . . 10 |- 0 =/= 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> 0 =/= 1 )
23	22	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) )
24		opthneg 4735	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) ) )
25	17, 24	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) ) )
26	23, 25	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. )
27	20, 26	jca 532	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) )
28	27	orcd 392	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) )
29		opex 4720	. . . . . . . 8 |- <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V
30		opex 4720	. . . . . . . 8 |- <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V
31	29, 30	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V )
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) )
33		opex 4720	. . . . . . . 8 |- <. 0 , 2 >. e. _V
34		opex 4720	. . . . . . . 8 |- <. 1 , 4 >. e. _V
35	33, 34	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V )
36	35	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) )
37	22	orcd 392	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) )
38		opthneg 4735	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) ) )
39	17, 38	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) ) )
40	37, 39	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. )
41		prnebg 4214	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. ) -> ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) <-> { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
42	41	bicomd 201	. . . . . 6 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. ) -> ( { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) ) )
43	32, 36, 40, 42	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) ) )
44	28, 43	mpbird 232	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
45		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
46	45	oveq2i 6307	. . . . 5 |- ( i .xb A ) = ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
47		3z 10918	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
48		6nn 10718	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
49	48	nnzi 10909	. . . . . 6 |- 6 e. ZZ
50		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
51		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 |- .xb = ( .s ` Z )
52	50, 51	zlmodzxzscm 33090	. . . . . 6 |- ( ( i e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
53	47, 49, 52	mp3an23 1316	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
54	46, 53	syl5eq 2510	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb A ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
55		zlmodzxzequa.b	. . . . 5 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
57	44, 54, 56	3netr4d 2762	. . 3 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb A ) =/= B )
58		ztprmneprm 33080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ 2 e. Prime /\ 3 e. Prime ) -> ( ( i x. 2 ) = 3 -> 2 = 3 ) )
59	2, 1, 58	mp3an23 1316	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> ( ( i x. 2 ) = 3 -> 2 = 3 ) )
60		eqneqall 2664	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 = 3 -> ( 2 =/= 3 -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
61	7, 60	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 = 3 -> ( i x. 2 ) =/= 3 )
62	59, 61	syl6com 35	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 2 ) = 3 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
63		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 2 ) =/= 3 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
64	62, 63	pm2.61ine 2770	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 )
65	64	olcd 393	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
66		ovex 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( i x. 2 ) e. _V
67	15, 66	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V )
68		opthneg 4735	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) ) )
69	67, 68	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) ) )
70	65, 69	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. )
71	22	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) )
72		opthneg 4735	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) ) )
73	67, 72	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) ) )
74	71, 73	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. )
75	70, 74	jca 532	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) )
76	75	orcd 392	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) )
77		opex 4720	. . . . . . . 8 |- <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V
78		opex 4720	. . . . . . . 8 |- <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V
79	77, 78	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V )
80	79	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) )
81		opex 4720	. . . . . . . 8 |- <. 0 , 3 >. e. _V
82		opex 4720	. . . . . . . 8 |- <. 1 , 6 >. e. _V
83	81, 82	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V )
84	83	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) )
85	22	orcd 392	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) )
86		opthneg 4735	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) ) )
87	67, 86	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) ) )
88	85, 87	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. )
89		prnebg 4214	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. ) -> ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) <-> { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) )
90	89	bicomd 201	. . . . . 6 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. ) -> ( { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) ) )
91	80, 84, 88, 90	syl3anc 1228	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) ) )
92	76, 91	mpbird 232	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
93	55	oveq2i 6307	. . . . 5 |- ( i .xb B ) = ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
94		2z 10917	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
95		4z 10919	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
96	50, 51	zlmodzxzscm 33090	. . . . . 6 |- ( ( i e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
97	94, 95, 96	mp3an23 1316	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
98	93, 97	syl5eq 2510	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb B ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
99	45	a1i 11	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
100	92, 98, 99	3netr4d 2762	. . 3 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb B ) =/= A )
101	57, 100	jca 532	. 2 |- ( i e. ZZ -> ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A ) )
102	101	rgen 2817	1 |- A. i e. ZZ ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   {cpr 4034   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510   x. cmul 9514   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   6c6 10610   ZZcz 10885   Primecprime 14229   .scvsca 14716   -gcsg 16182  ℤ_ringzring 18615   freeLMod cfrlm 18904

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-prm 14230  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-dsmm 18890  df-frlm 18905

This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  33250  ldepsnlinclem2  33251