Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxznm Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxznm 32808
Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 113). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzequa.o  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
zlmodzxzequa.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
zlmodzxzequa.m  |-  .-  =  ( -g `  Z )
zlmodzxzequa.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzequa.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxznm  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i 
.xb  A )  =/= 
B  /\  ( i  .xb  B )  =/=  A
)

Proof of Theorem zlmodzxznm
StepHypRef Expression
1 3prm 14106 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  Prime
2 2prm 14105 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  Prime
3 ztprmneprm 32644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  3  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )  ->  (
( i  x.  3 )  =  2  -> 
3  =  2 ) )
41, 2, 3mp3an23 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  x.  3 )  =  2  -> 
3  =  2 ) )
5 2re 10606 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
6 2lt3 10704 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <  3
75, 6ltneii 9695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  3
8 eqneqall 2648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  =  3  ->  (
2  =/=  3  -> 
( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
97, 8mpi 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  =  3  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
109eqcoms 2453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  =  2  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
114, 10syl6com 35 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  3 )  =  2  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
12 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  3 )  =/=  2  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
1311, 12pm2.61ine 2754 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
1413olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
15 c0ex 9588 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
16 ovex 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  x.  3 )  e. 
_V
1715, 16pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  _V  /\  (
i  x.  3 )  e.  _V )
18 opthneg 4712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) ) )
1917, 18mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) ) )
2014, 19mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2 >. )
21 0ne1 10604 . . . . . . . . . 10  |-  0  =/=  1
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  0  =/=  1 )
2322orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) )
24 opthneg 4712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) ) )
2517, 24mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) ) )
2623, 25mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  4 >. )
2720, 26jca 532 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )
2827orcd 392 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) )
29 opex 4697 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V
30 opex 4697 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V
3129, 30pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V ) )
33 opex 4697 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  2 >.  e.  _V
34 opex 4697 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  4 >.  e.  _V
3533, 34pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )
3722orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) )
38 opthneg 4712 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) ) )
3917, 38mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) ) )
4037, 39mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. )
41 prnebg 4193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  4
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. )  ->  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )  <->  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } ) )
4241bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  4
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. )  ->  ( {
<. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) ) )
4332, 36, 40, 42syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( { <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) ) )
4428, 43mpbird 232 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
45 zlmodzxzequa.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
4645oveq2i 6288 . . . . 5  |-  ( i 
.xb  A )  =  ( i  .xb  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } )
47 3z 10898 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
48 6nn 10698 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
4948nnzi 10889 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
50 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
51 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
5250, 51zlmodzxzscm 32654 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
5347, 49, 52mp3an23 1315 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
5446, 53syl5eq 2494 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  A )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
55 zlmodzxzequa.b . . . . 5  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
5744, 54, 563netr4d 2746 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  A )  =/=  B )
58 ztprmneprm 32644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  2  e.  Prime  /\  3  e.  Prime )  ->  (
( i  x.  2 )  =  3  -> 
2  =  3 ) )
592, 1, 58mp3an23 1315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  x.  2 )  =  3  -> 
2  =  3 ) )
60 eqneqall 2648 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  =  3  ->  (
2  =/=  3  -> 
( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
617, 60mpi 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  =  3  ->  (
i  x.  2 )  =/=  3 )
6259, 61syl6com 35 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  2 )  =  3  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
63 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  2 )  =/=  3  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
6462, 63pm2.61ine 2754 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  x.  2 )  =/=  3 )
6564olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
66 ovex 6305 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  x.  2 )  e. 
_V
6715, 66pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  _V  /\  (
i  x.  2 )  e.  _V )
68 opthneg 4712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) ) )
6967, 68mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) ) )
7065, 69mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3 >. )
7122orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) )
72 opthneg 4712 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) ) )
7367, 72mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  6
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) ) )
7471, 73mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  6 >. )
7570, 74jca 532 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) )
7675orcd 392 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) )
77 opex 4697 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V
78 opex 4697 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V
7977, 78pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )
8079a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V ) )
81 opex 4697 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  3 >.  e.  _V
82 opex 4697 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  6 >.  e.  _V
8381, 82pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V )
8483a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V ) )
8522orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) )
86 opthneg 4712 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) ) )
8767, 86mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) ) )
8885, 87mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. )
89 prnebg 4193 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  6
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. )  ->  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) )  <->  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ) )
9089bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  6
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. )  ->  ( {
<. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) ) )
9180, 84, 88, 90syl3anc 1227 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( { <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) ) )
9276, 91mpbird 232 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
9355oveq2i 6288 . . . . 5  |-  ( i 
.xb  B )  =  ( i  .xb  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } )
94 2z 10897 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
95 4nn 10696 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
9695nnzi 10889 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
9750, 51zlmodzxzscm 32654 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
9894, 96, 97mp3an23 1315 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
9993, 98syl5eq 2494 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  B )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
10045a1i 11 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
10192, 99, 1003netr4d 2746 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  B )  =/=  A )
10257, 101jca 532 . 2  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  .xb  A
)  =/=  B  /\  ( i  .xb  B
)  =/=  A ) )
103102rgen 2801 1  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i 
.xb  A )  =/= 
B  /\  ( i  .xb  B )  =/=  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 972    = wceq 1381    e. wcel 1802    =/= wne 2636   A.wral 2791   _Vcvv 3093   {cpr 4012   <.cop 4016   ` cfv 5574  (class class class)co 6277   0cc0 9490   1c1 9491    x. cmul 9495   2c2 10586   3c3 10587   4c4 10588   6c6 10590   ZZcz 10865   Primecprime 14089   .scvsca 14573   -gcsg 15924  ℤringzring 18356   freeLMod cfrlm 18644
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-rep 4544  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567  ax-pre-sup 9568  ax-addf 9569  ax-mulf 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rmo 2799  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-int 4268  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-of 6521  df-om 6682  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-supp 6900  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-1o 7128  df-2o 7129  df-oadd 7132  df-er 7309  df-map 7420  df-ixp 7468  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-fin 7518  df-fsupp 7828  df-sup 7899  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10208  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10980  df-uz 11086  df-rp 11225  df-fz 11677  df-seq 12082  df-exp 12141  df-cj 12906  df-re 12907  df-im 12908  df-sqrt 13042  df-abs 13043  df-dvds 13859  df-prm 14090  df-struct 14506  df-ndx 14507  df-slot 14508  df-base 14509  df-sets 14510  df-ress 14511  df-plusg 14582  df-mulr 14583  df-starv 14584  df-sca 14585  df-vsca 14586  df-ip 14587  df-tset 14588  df-ple 14589  df-ds 14591  df-unif 14592  df-hom 14593  df-cco 14594  df-0g 14711  df-prds 14717  df-pws 14719  df-mgm 15741  df-sgrp 15780  df-mnd 15790  df-grp 15926  df-minusg 15927  df-subg 16067  df-cmn 16669  df-mgp 17010  df-ur 17022  df-ring 17068  df-cring 17069  df-subrg 17295  df-sra 17686  df-rgmod 17687  df-cnfld 18289  df-zring 18357  df-dsmm 18630  df-frlm 18645
This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  32816  ldepsnlinclem2  32817
  Copyright terms: Public domain W3C validator