Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxznm Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zlmodzxznm 40394
Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzequa.o  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
zlmodzxzequa.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
zlmodzxzequa.m  |-  .-  =  ( -g `  Z )
zlmodzxzequa.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzequa.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxznm  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i 
.xb  A )  =/= 
B  /\  ( i  .xb  B )  =/=  A
)

Proof of Theorem zlmodzxznm
StepHypRef Expression
1 3prm 14653 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  Prime
2 2prm 14652 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  Prime
3 ztprmneprm 40232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  3  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )  ->  (
( i  x.  3 )  =  2  -> 
3  =  2 ) )
41, 2, 3mp3an23 1358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  x.  3 )  =  2  -> 
3  =  2 ) )
5 2re 10686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
6 2lt3 10784 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <  3
75, 6ltneii 9752 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  3
8 eqneqall 2636 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  =  3  ->  (
2  =/=  3  -> 
( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
97, 8mpi 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  =  3  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
109eqcoms 2461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  =  2  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
114, 10syl6com 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  3 )  =  2  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
12 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  3 )  =/=  2  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
1311, 12pm2.61ine 2709 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
1413olcd 395 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
15 c0ex 9642 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
16 ovex 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  x.  3 )  e. 
_V
1715, 16pm3.2i 457 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  _V  /\  (
i  x.  3 )  e.  _V )
18 opthneg 4684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) ) )
1917, 18mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) ) )
2014, 19mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2 >. )
21 0ne1 10684 . . . . . . . . . 10  |-  0  =/=  1
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  0  =/=  1 )
2322orcd 394 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) )
24 opthneg 4684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) ) )
2517, 24mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) ) )
2623, 25mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  4 >. )
2720, 26jca 535 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )
2827orcd 394 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) )
29 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V
30 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V
3129, 30pm3.2i 457 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V ) )
33 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  2 >.  e.  _V
34 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  4 >.  e.  _V
3533, 34pm3.2i 457 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )
3722orcd 394 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) )
38 opthneg 4684 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) ) )
3917, 38mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) ) )
4037, 39mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. )
41 prnebg 4160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  4
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. )  ->  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )  <->  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } ) )
4241bicomd 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  4
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. )  ->  ( {
<. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) ) )
4332, 36, 40, 42syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( { <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) ) )
4428, 43mpbird 236 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
45 zlmodzxzequa.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
4645oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( i 
.xb  A )  =  ( i  .xb  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } )
47 3z 10977 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
48 6nn 10778 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
4948nnzi 10968 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
50 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
51 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
5250, 51zlmodzxzscm 40242 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
5347, 49, 52mp3an23 1358 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
5446, 53syl5eq 2499 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  A )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
55 zlmodzxzequa.b . . . . 5  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
5744, 54, 563netr4d 2703 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  A )  =/=  B )
58 ztprmneprm 40232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  2  e.  Prime  /\  3  e.  Prime )  ->  (
( i  x.  2 )  =  3  -> 
2  =  3 ) )
592, 1, 58mp3an23 1358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  x.  2 )  =  3  -> 
2  =  3 ) )
60 eqneqall 2636 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  =  3  ->  (
2  =/=  3  -> 
( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
617, 60mpi 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  =  3  ->  (
i  x.  2 )  =/=  3 )
6259, 61syl6com 36 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  2 )  =  3  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
63 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  2 )  =/=  3  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
6462, 63pm2.61ine 2709 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  x.  2 )  =/=  3 )
6564olcd 395 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
66 ovex 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  x.  2 )  e. 
_V
6715, 66pm3.2i 457 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  _V  /\  (
i  x.  2 )  e.  _V )
68 opthneg 4684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) ) )
6967, 68mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) ) )
7065, 69mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3 >. )
7122orcd 394 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) )
72 opthneg 4684 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) ) )
7367, 72mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  6
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) ) )
7471, 73mpbird 236 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  6 >. )
7570, 74jca 535 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) )
7675orcd 394 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) )
77 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V
78 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V
7977, 78pm3.2i 457 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )
8079a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V ) )
81 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  3 >.  e.  _V
82 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  6 >.  e.  _V
8381, 82pm3.2i 457 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V )
8483a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V ) )
8522orcd 394 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) )
86 opthneg 4684 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) ) )
8767, 86mp1i 13 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) ) )
8885, 87mpbird 236 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. )
89 prnebg 4160 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  6
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. )  ->  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) )  <->  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ) )
9089bicomd 205 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  6
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. )  ->  ( {
<. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) ) )
9180, 84, 88, 90syl3anc 1269 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( { <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) ) )
9276, 91mpbird 236 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
9355oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( i 
.xb  B )  =  ( i  .xb  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } )
94 2z 10976 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
95 4z 10978 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
9650, 51zlmodzxzscm 40242 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
9794, 95, 96mp3an23 1358 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
9893, 97syl5eq 2499 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  B )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
9945a1i 11 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
10092, 98, 993netr4d 2703 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  B )  =/=  A )
10157, 100jca 535 . 2  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  .xb  A
)  =/=  B  /\  ( i  .xb  B
)  =/=  A ) )
102101rgen 2749 1  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i 
.xb  A )  =/= 
B  /\  ( i  .xb  B )  =/=  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    \/ wo 370    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   A.wral 2739   _Vcvv 3047   {cpr 3972   <.cop 3976   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   0cc0 9544   1c1 9545    x. cmul 9549   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   6c6 10670   ZZcz 10944   Primecprime 14634   .scvsca 15206   -gcsg 16683  ℤringzring 19051   freeLMod cfrlm 19321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-dvds 14318  df-prm 14635  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-prds 15358  df-pws 15360  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-subg 16826  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-subrg 18018  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-dsmm 19307  df-frlm 19322
This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  40402  ldepsnlinclem2  40403
  Copyright terms: Public domain W3C validator