Theorem zlmodzxznm 31194

Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 113). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzequa.o	|- .0. = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
zlmodzxzequa.t	|- .xb = ( .s ` Z )
zlmodzxzequa.m	|- .- = ( -g ` Z )
zlmodzxzequa.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzequa.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxznm	|- A. i e. ZZ ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A )

Proof of Theorem zlmodzxznm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3prm 13902	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. Prime
2		2prm 13901	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
3		ztprmneprm 30910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( i x. 3 ) = 2 -> 3 = 2 ) )
4	1, 2, 3	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> ( ( i x. 3 ) = 2 -> 3 = 2 ) )
5		2re 10506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
6		2lt3 10604	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 < 3
7	5, 6	ltneii 9602	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 3
8		eqneqall 2661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 = 3 -> ( 2 =/= 3 -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
9	7, 8	mpi 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 = 3 -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
10	9	eqcoms 2466	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 = 2 -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
11	4, 10	syl6com 35	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 3 ) = 2 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
12		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 3 ) =/= 2 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
13	11, 12	pm2.61ine 2765	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
14	13	olcd 393	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
15		c0ex 9495	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
16		ovex 6228	. . . . . . . . . 10 |- ( i x. 3 ) e. _V
17	15, 16	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V )
18		opthneg 4682	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) ) )
19	17, 18	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) ) )
20	14, 19	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. )
21		0ne1 10504	. . . . . . . . . 10 |- 0 =/= 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> 0 =/= 1 )
23	22	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) )
24		opthneg 4682	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) ) )
25	17, 24	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) ) )
26	23, 25	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. )
27	20, 26	jca 532	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) )
28	27	orcd 392	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) )
29		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V
30		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V
31	29, 30	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V )
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) )
33		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 0 , 2 >. e. _V
34		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 1 , 4 >. e. _V
35	33, 34	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V )
36	35	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) )
37	22	orcd 392	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) )
38		opthneg 4682	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) ) )
39	17, 38	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) ) )
40	37, 39	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. )
41		prnebg 4165	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. ) -> ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) <-> { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
42	41	bicomd 201	. . . . . 6 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. ) -> ( { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) ) )
43	32, 36, 40, 42	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) ) )
44	28, 43	mpbird 232	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
45		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
46	45	oveq2i 6214	. . . . 5 |- ( i .xb A ) = ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
47		3z 10794	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
48		6nn 10598	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
49	48	nnzi 10785	. . . . . 6 |- 6 e. ZZ
50		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
51		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 |- .xb = ( .s ` Z )
52	50, 51	zlmodzxzscm 30925	. . . . . 6 |- ( ( i e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
53	47, 49, 52	mp3an23 1307	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
54	46, 53	syl5eq 2507	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb A ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
55		zlmodzxzequa.b	. . . . 5 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
57	44, 54, 56	3netr4d 2757	. . 3 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb A ) =/= B )
58		ztprmneprm 30910	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ 2 e. Prime /\ 3 e. Prime ) -> ( ( i x. 2 ) = 3 -> 2 = 3 ) )
59	2, 1, 58	mp3an23 1307	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> ( ( i x. 2 ) = 3 -> 2 = 3 ) )
60		eqneqall 2661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 = 3 -> ( 2 =/= 3 -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
61	7, 60	mpi 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 = 3 -> ( i x. 2 ) =/= 3 )
62	59, 61	syl6com 35	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 2 ) = 3 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
63		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 2 ) =/= 3 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
64	62, 63	pm2.61ine 2765	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 )
65	64	olcd 393	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
66		ovex 6228	. . . . . . . . . 10 |- ( i x. 2 ) e. _V
67	15, 66	pm3.2i 455	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V )
68		opthneg 4682	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) ) )
69	67, 68	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) ) )
70	65, 69	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. )
71	22	orcd 392	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) )
72		opthneg 4682	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) ) )
73	67, 72	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) ) )
74	71, 73	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. )
75	70, 74	jca 532	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) )
76	75	orcd 392	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) )
77		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V
78		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V
79	77, 78	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V )
80	79	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) )
81		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 0 , 3 >. e. _V
82		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 1 , 6 >. e. _V
83	81, 82	pm3.2i 455	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V )
84	83	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) )
85	22	orcd 392	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) )
86		opthneg 4682	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) ) )
87	67, 86	mp1i 12	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) ) )
88	85, 87	mpbird 232	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. )
89		prnebg 4165	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. ) -> ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) <-> { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) )
90	89	bicomd 201	. . . . . 6 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. ) -> ( { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) ) )
91	80, 84, 88, 90	syl3anc 1219	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) ) )
92	76, 91	mpbird 232	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
93	55	oveq2i 6214	. . . . 5 |- ( i .xb B ) = ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
94		2z 10793	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
95		4nn 10596	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
96	95	nnzi 10785	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
97	50, 51	zlmodzxzscm 30925	. . . . . 6 |- ( ( i e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
98	94, 96, 97	mp3an23 1307	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
99	93, 98	syl5eq 2507	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb B ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
100	45	a1i 11	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
101	92, 99, 100	3netr4d 2757	. . 3 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb B ) =/= A )
102	57, 101	jca 532	. 2 |- ( i e. ZZ -> ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A ) )
103	102	rgen 2899	1 |- A. i e. ZZ ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   A.wral 2799   _Vcvv 3078   {cpr 3990   <.cop 3994   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9397   1c1 9398   x. cmul 9402   2c2 10486   3c3 10487   4c4 10488   6c6 10490   ZZcz 10761   Primecprime 13885   .scvsca 14365   -gcsg 15536  ℤ_ringzring 18018   freeLMod cfrlm 18306

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-seq 11928  df-exp 11987  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-dvds 13658  df-prm 13886  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-prds 14509  df-pws 14511  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-subg 15801  df-cmn 16404  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-subrg 16996  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-cnfld 17954  df-zring 18019  df-dsmm 18292  df-frlm 18307

This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  31202  ldepsnlinclem2  31203