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Mathbox for Alexander van der Vekens |
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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > zlmodzxznm | Structured version Visualization version Unicode version |
Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.) |
Ref | Expression |
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zlmodzxzequa.z |
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zlmodzxzequa.o |
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zlmodzxzequa.t |
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zlmodzxzequa.m |
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zlmodzxzequa.a |
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zlmodzxzequa.b |
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Ref | Expression |
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zlmodzxznm |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | 3prm 14653 |
. . . . . . . . . . . 12
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2 | 2prm 14652 |
. . . . . . . . . . . 12
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3 | ztprmneprm 40232 |
. . . . . . . . . . . 12
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4 | 1, 2, 3 | mp3an23 1358 |
. . . . . . . . . . 11
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5 | 2re 10686 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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6 | 2lt3 10784 |
. . . . . . . . . . . . . 14
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7 | 5, 6 | ltneii 9752 |
. . . . . . . . . . . . 13
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8 | eqneqall 2636 |
. . . . . . . . . . . . 13
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9 | 7, 8 | mpi 20 |
. . . . . . . . . . . 12
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10 | 9 | eqcoms 2461 |
. . . . . . . . . . 11
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11 | 4, 10 | syl6com 36 |
. . . . . . . . . 10
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12 | ax-1 6 |
. . . . . . . . . 10
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13 | 11, 12 | pm2.61ine 2709 |
. . . . . . . . 9
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14 | 13 | olcd 395 |
. . . . . . . 8
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15 | c0ex 9642 |
. . . . . . . . . 10
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16 | ovex 6323 |
. . . . . . . . . 10
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17 | 15, 16 | pm3.2i 457 |
. . . . . . . . 9
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18 | opthneg 4684 |
. . . . . . . . 9
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19 | 17, 18 | mp1i 13 |
. . . . . . . 8
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20 | 14, 19 | mpbird 236 |
. . . . . . 7
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21 | 0ne1 10684 |
. . . . . . . . . 10
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22 | 21 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
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23 | 22 | orcd 394 |
. . . . . . . 8
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24 | opthneg 4684 |
. . . . . . . . 9
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25 | 17, 24 | mp1i 13 |
. . . . . . . 8
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26 | 23, 25 | mpbird 236 |
. . . . . . 7
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27 | 20, 26 | jca 535 |
. . . . . 6
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28 | 27 | orcd 394 |
. . . . 5
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29 | opex 4667 |
. . . . . . . 8
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30 | opex 4667 |
. . . . . . . 8
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31 | 29, 30 | pm3.2i 457 |
. . . . . . 7
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32 | 31 | a1i 11 |
. . . . . 6
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33 | opex 4667 |
. . . . . . . 8
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34 | opex 4667 |
. . . . . . . 8
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35 | 33, 34 | pm3.2i 457 |
. . . . . . 7
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36 | 35 | a1i 11 |
. . . . . 6
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37 | 22 | orcd 394 |
. . . . . . 7
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38 | opthneg 4684 |
. . . . . . . 8
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39 | 17, 38 | mp1i 13 |
. . . . . . 7
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40 | 37, 39 | mpbird 236 |
. . . . . 6
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41 | prnebg 4160 |
. . . . . . 7
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42 | 41 | bicomd 205 |
. . . . . 6
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43 | 32, 36, 40, 42 | syl3anc 1269 |
. . . . 5
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44 | 28, 43 | mpbird 236 |
. . . 4
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45 | zlmodzxzequa.a |
. . . . . 6
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46 | 45 | oveq2i 6306 |
. . . . 5
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47 | 3z 10977 |
. . . . . 6
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48 | 6nn 10778 |
. . . . . . 7
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49 | 48 | nnzi 10968 |
. . . . . 6
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50 | zlmodzxzequa.z |
. . . . . . 7
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51 | zlmodzxzequa.t |
. . . . . . 7
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52 | 50, 51 | zlmodzxzscm 40242 |
. . . . . 6
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53 | 47, 49, 52 | mp3an23 1358 |
. . . . 5
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54 | 46, 53 | syl5eq 2499 |
. . . 4
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55 | zlmodzxzequa.b |
. . . . 5
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56 | 55 | a1i 11 |
. . . 4
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57 | 44, 54, 56 | 3netr4d 2703 |
. . 3
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58 | ztprmneprm 40232 |
. . . . . . . . . . . 12
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59 | 2, 1, 58 | mp3an23 1358 |
. . . . . . . . . . 11
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60 | eqneqall 2636 |
. . . . . . . . . . . 12
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61 | 7, 60 | mpi 20 |
. . . . . . . . . . 11
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62 | 59, 61 | syl6com 36 |
. . . . . . . . . 10
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63 | ax-1 6 |
. . . . . . . . . 10
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64 | 62, 63 | pm2.61ine 2709 |
. . . . . . . . 9
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65 | 64 | olcd 395 |
. . . . . . . 8
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66 | ovex 6323 |
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90 | 89 | bicomd 205 |
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91 | 80, 84, 88, 90 | syl3anc 1269 |
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92 | 76, 91 | mpbird 236 |
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95 | 4z 10978 |
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96 | 50, 51 | zlmodzxzscm 40242 |
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97 | 94, 95, 96 | mp3an23 1358 |
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98 | 93, 97 | syl5eq 2499 |
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100 | 92, 98, 99 | 3netr4d 2703 |
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1
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1671 ax-4 1684 ax-5 1760 ax-6 1807 ax-7 1853 ax-8 1891 ax-9 1898 ax-10 1917 ax-11 1922 ax-12 1935 ax-13 2093 ax-ext 2433 ax-rep 4518 ax-sep 4528 ax-nul 4537 ax-pow 4584 ax-pr 4642 ax-un 6588 ax-cnex 9600 ax-resscn 9601 ax-1cn 9602 ax-icn 9603 ax-addcl 9604 ax-addrcl 9605 ax-mulcl 9606 ax-mulrcl 9607 ax-mulcom 9608 ax-addass 9609 ax-mulass 9610 ax-distr 9611 ax-i2m1 9612 ax-1ne0 9613 ax-1rid 9614 ax-rnegex 9615 ax-rrecex 9616 ax-cnre 9617 ax-pre-lttri 9618 ax-pre-lttrn 9619 ax-pre-ltadd 9620 ax-pre-mulgt0 9621 ax-pre-sup 9622 ax-addf 9623 ax-mulf 9624 |
This theorem depends on definitions: df-bi 189 df-or 372 df-an 373 df-3or 987 df-3an 988 df-tru 1449 df-ex 1666 df-nf 1670 df-sb 1800 df-eu 2305 df-mo 2306 df-clab 2440 df-cleq 2446 df-clel 2449 df-nfc 2583 df-ne 2626 df-nel 2627 df-ral 2744 df-rex 2745 df-reu 2746 df-rmo 2747 df-rab 2748 df-v 3049 df-sbc 3270 df-csb 3366 df-dif 3409 df-un 3411 df-in 3413 df-ss 3420 df-pss 3422 df-nul 3734 df-if 3884 df-pw 3955 df-sn 3971 df-pr 3973 df-tp 3975 df-op 3977 df-uni 4202 df-int 4238 df-iun 4283 df-br 4406 df-opab 4465 df-mpt 4466 df-tr 4501 df-eprel 4748 df-id 4752 df-po 4758 df-so 4759 df-fr 4796 df-we 4798 df-xp 4843 df-rel 4844 df-cnv 4845 df-co 4846 df-dm 4847 df-rn 4848 df-res 4849 df-ima 4850 df-pred 5383 df-ord 5429 df-on 5430 df-lim 5431 df-suc 5432 df-iota 5549 df-fun 5587 df-fn 5588 df-f 5589 df-f1 5590 df-fo 5591 df-f1o 5592 df-fv 5593 df-riota 6257 df-ov 6298 df-oprab 6299 df-mpt2 6300 df-of 6536 df-om 6698 df-1st 6798 df-2nd 6799 df-supp 6920 df-wrecs 7033 df-recs 7095 df-rdg 7133 df-1o 7187 df-2o 7188 df-oadd 7191 df-er 7368 df-map 7479 df-ixp 7528 df-en 7575 df-dom 7576 df-sdom 7577 df-fin 7578 df-fsupp 7889 df-sup 7961 df-inf 7962 df-pnf 9682 df-mnf 9683 df-xr 9684 df-ltxr 9685 df-le 9686 df-sub 9867 df-neg 9868 df-div 10277 df-nn 10617 df-2 10675 df-3 10676 df-4 10677 df-5 10678 df-6 10679 df-7 10680 df-8 10681 df-9 10682 df-10 10683 df-n0 10877 df-z 10945 df-dec 11059 df-uz 11167 df-rp 11310 df-fz 11792 df-seq 12221 df-exp 12280 df-cj 13174 df-re 13175 df-im 13176 df-sqrt 13310 df-abs 13311 df-dvds 14318 df-prm 14635 df-struct 15135 df-ndx 15136 df-slot 15137 df-base 15138 df-sets 15139 df-ress 15140 df-plusg 15215 df-mulr 15216 df-starv 15217 df-sca 15218 df-vsca 15219 df-ip 15220 df-tset 15221 df-ple 15222 df-ds 15224 df-unif 15225 df-hom 15226 df-cco 15227 df-0g 15352 df-prds 15358 df-pws 15360 df-mgm 16500 df-sgrp 16539 df-mnd 16549 df-grp 16685 df-minusg 16686 df-subg 16826 df-cmn 17444 df-mgp 17736 df-ur 17748 df-ring 17794 df-cring 17795 df-subrg 18018 df-sra 18407 df-rgmod 18408 df-cnfld 18983 df-zring 19052 df-dsmm 19307 df-frlm 19322 |
This theorem is referenced by: ldepsnlinclem1 40402 ldepsnlinclem2 40403 |
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