Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxznm Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxznm 33242
Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzequa.o  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
zlmodzxzequa.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
zlmodzxzequa.m  |-  .-  =  ( -g `  Z )
zlmodzxzequa.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzequa.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxznm  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i 
.xb  A )  =/= 
B  /\  ( i  .xb  B )  =/=  A
)

Proof of Theorem zlmodzxznm
StepHypRef Expression
1 3prm 14246 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  Prime
2 2prm 14245 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  Prime
3 ztprmneprm 33080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  3  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )  ->  (
( i  x.  3 )  =  2  -> 
3  =  2 ) )
41, 2, 3mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  x.  3 )  =  2  -> 
3  =  2 ) )
5 2re 10626 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
6 2lt3 10724 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <  3
75, 6ltneii 9714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  3
8 eqneqall 2664 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  =  3  ->  (
2  =/=  3  -> 
( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
97, 8mpi 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  =  3  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
109eqcoms 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  =  2  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
114, 10syl6com 35 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  3 )  =  2  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
12 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  3 )  =/=  2  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
1311, 12pm2.61ine 2770 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
1413olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
15 c0ex 9607 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
16 ovex 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  x.  3 )  e. 
_V
1715, 16pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  _V  /\  (
i  x.  3 )  e.  _V )
18 opthneg 4735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) ) )
1917, 18mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) ) )
2014, 19mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2 >. )
21 0ne1 10624 . . . . . . . . . 10  |-  0  =/=  1
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  0  =/=  1 )
2322orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) )
24 opthneg 4735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) ) )
2517, 24mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) ) )
2623, 25mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  4 >. )
2720, 26jca 532 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )
2827orcd 392 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) )
29 opex 4720 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V
30 opex 4720 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V
3129, 30pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V ) )
33 opex 4720 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  2 >.  e.  _V
34 opex 4720 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  4 >.  e.  _V
3533, 34pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )
3722orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) )
38 opthneg 4735 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) ) )
3917, 38mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) ) )
4037, 39mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. )
41 prnebg 4214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  4
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. )  ->  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )  <->  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } ) )
4241bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  4
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. )  ->  ( {
<. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) ) )
4332, 36, 40, 42syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( { <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) ) )
4428, 43mpbird 232 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
45 zlmodzxzequa.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
4645oveq2i 6307 . . . . 5  |-  ( i 
.xb  A )  =  ( i  .xb  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } )
47 3z 10918 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
48 6nn 10718 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
4948nnzi 10909 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
50 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
51 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
5250, 51zlmodzxzscm 33090 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
5347, 49, 52mp3an23 1316 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
5446, 53syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  A )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
55 zlmodzxzequa.b . . . . 5  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
5744, 54, 563netr4d 2762 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  A )  =/=  B )
58 ztprmneprm 33080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  2  e.  Prime  /\  3  e.  Prime )  ->  (
( i  x.  2 )  =  3  -> 
2  =  3 ) )
592, 1, 58mp3an23 1316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  x.  2 )  =  3  -> 
2  =  3 ) )
60 eqneqall 2664 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  =  3  ->  (
2  =/=  3  -> 
( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
617, 60mpi 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  =  3  ->  (
i  x.  2 )  =/=  3 )
6259, 61syl6com 35 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  2 )  =  3  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
63 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  2 )  =/=  3  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
6462, 63pm2.61ine 2770 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  x.  2 )  =/=  3 )
6564olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
66 ovex 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  x.  2 )  e. 
_V
6715, 66pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  _V  /\  (
i  x.  2 )  e.  _V )
68 opthneg 4735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) ) )
6967, 68mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) ) )
7065, 69mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3 >. )
7122orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) )
72 opthneg 4735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) ) )
7367, 72mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  6
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) ) )
7471, 73mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  6 >. )
7570, 74jca 532 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) )
7675orcd 392 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) )
77 opex 4720 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V
78 opex 4720 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V
7977, 78pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )
8079a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V ) )
81 opex 4720 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  3 >.  e.  _V
82 opex 4720 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  6 >.  e.  _V
8381, 82pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V )
8483a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V ) )
8522orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) )
86 opthneg 4735 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) ) )
8767, 86mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) ) )
8885, 87mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. )
89 prnebg 4214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  6
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. )  ->  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) )  <->  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ) )
9089bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  6
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. )  ->  ( {
<. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) ) )
9180, 84, 88, 90syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( { <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) ) )
9276, 91mpbird 232 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
9355oveq2i 6307 . . . . 5  |-  ( i 
.xb  B )  =  ( i  .xb  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } )
94 2z 10917 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
95 4z 10919 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
9650, 51zlmodzxzscm 33090 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
9794, 95, 96mp3an23 1316 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
9893, 97syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  B )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
9945a1i 11 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
10092, 98, 993netr4d 2762 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  B )  =/=  A )
10157, 100jca 532 . 2  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  .xb  A
)  =/=  B  /\  ( i  .xb  B
)  =/=  A ) )
102101rgen 2817 1  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i 
.xb  A )  =/= 
B  /\  ( i  .xb  B )  =/=  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   _Vcvv 3109   {cpr 4034   <.cop 4038   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514   2c2 10606   3c3 10607   4c4 10608   6c6 10610   ZZcz 10885   Primecprime 14229   .scvsca 14716   -gcsg 16182  ℤringzring 18615   freeLMod cfrlm 18904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-seq 12111  df-exp 12170  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-dvds 13999  df-prm 14230  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-dsmm 18890  df-frlm 18905
This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  33250  ldepsnlinclem2  33251
  Copyright terms: Public domain W3C validator