Theorem zlmodzxznm 40394

Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 112). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzequa.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzequa.o	|- .0. = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
zlmodzxzequa.t	|- .xb = ( .s ` Z )
zlmodzxzequa.m	|- .- = ( -g ` Z )
zlmodzxzequa.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzequa.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxznm	|- A. i e. ZZ ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A )

Proof of Theorem zlmodzxznm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3prm 14653	. . . . . . . . . . . 12 |- 3 e. Prime
2		2prm 14652	. . . . . . . . . . . 12 |- 2 e. Prime
3		ztprmneprm 40232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ 3 e. Prime /\ 2 e. Prime ) -> ( ( i x. 3 ) = 2 -> 3 = 2 ) )
4	1, 2, 3	mp3an23 1358	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> ( ( i x. 3 ) = 2 -> 3 = 2 ) )
5		2re 10686	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 e. RR
6		2lt3 10784	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 2 < 3
7	5, 6	ltneii 9752	. . . . . . . . . . . . 13 |- 2 =/= 3
8		eqneqall 2636	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 2 = 3 -> ( 2 =/= 3 -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
9	7, 8	mpi 20	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 = 3 -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
10	9	eqcoms 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( 3 = 2 -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
11	4, 10	syl6com 36	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 3 ) = 2 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
12		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 3 ) =/= 2 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
13	11, 12	pm2.61ine 2709	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 3 ) =/= 2 )
14	13	olcd 395	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) )
15		c0ex 9642	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
16		ovex 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( i x. 3 ) e. _V
17	15, 16	pm3.2i 457	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V )
18		opthneg 4684	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) ) )
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 3 ) =/= 2 ) ) )
20	14, 19	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. )
21		0ne1 10684	. . . . . . . . . 10 |- 0 =/= 1
22	21	a1i 11	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> 0 =/= 1 )
23	22	orcd 394	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) )
24		opthneg 4684	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) ) )
25	17, 24	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= 4 ) ) )
26	23, 25	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. )
27	20, 26	jca 535	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) )
28	27	orcd 394	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) )
29		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V
30		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V
31	29, 30	pm3.2i 457	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V )
32	31	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) )
33		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 0 , 2 >. e. _V
34		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 1 , 4 >. e. _V
35	33, 34	pm3.2i 457	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V )
36	35	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) )
37	22	orcd 394	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) )
38		opthneg 4684	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 3 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) ) )
39	17, 38	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 3 ) =/= ( i x. 6 ) ) ) )
40	37, 39	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. )
41		prnebg 4160	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. ) -> ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) <-> { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
42	41	bicomd 205	. . . . . 6 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 6 ) >. ) -> ( { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) ) )
43	32, 36, 40, 42	syl3anc 1269	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , ( i x. 3 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , ( i x. 6 ) >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) ) )
44	28, 43	mpbird 236	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
45		zlmodzxzequa.a	. . . . . 6 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
46	45	oveq2i 6306	. . . . 5 |- ( i .xb A ) = ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
47		3z 10977	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
48		6nn 10778	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
49	48	nnzi 10968	. . . . . 6 |- 6 e. ZZ
50		zlmodzxzequa.z	. . . . . . 7 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
51		zlmodzxzequa.t	. . . . . . 7 |- .xb = ( .s ` Z )
52	50, 51	zlmodzxzscm 40242	. . . . . 6 |- ( ( i e. ZZ /\ 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
53	47, 49, 52	mp3an23 1358	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
54	46, 53	syl5eq 2499	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb A ) = { <. 0 , ( i x. 3 ) >. , <. 1 , ( i x. 6 ) >. } )
55		zlmodzxzequa.b	. . . . 5 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
56	55	a1i 11	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
57	44, 54, 56	3netr4d 2703	. . 3 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb A ) =/= B )
58		ztprmneprm 40232	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( i e. ZZ /\ 2 e. Prime /\ 3 e. Prime ) -> ( ( i x. 2 ) = 3 -> 2 = 3 ) )
59	2, 1, 58	mp3an23 1358	. . . . . . . . . . 11 |- ( i e. ZZ -> ( ( i x. 2 ) = 3 -> 2 = 3 ) )
60		eqneqall 2636	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 2 = 3 -> ( 2 =/= 3 -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
61	7, 60	mpi 20	. . . . . . . . . . 11 |- ( 2 = 3 -> ( i x. 2 ) =/= 3 )
62	59, 61	syl6com 36	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 2 ) = 3 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
63		ax-1 6	. . . . . . . . . 10 |- ( ( i x. 2 ) =/= 3 -> ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
64	62, 63	pm2.61ine 2709	. . . . . . . . 9 |- ( i e. ZZ -> ( i x. 2 ) =/= 3 )
65	64	olcd 395	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) )
66		ovex 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( i x. 2 ) e. _V
67	15, 66	pm3.2i 457	. . . . . . . . 9 |- ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V )
68		opthneg 4684	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) ) )
69	67, 68	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ ( i x. 2 ) =/= 3 ) ) )
70	65, 69	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. )
71	22	orcd 394	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) )
72		opthneg 4684	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) ) )
73	67, 72	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= 6 ) ) )
74	71, 73	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. )
75	70, 74	jca 535	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) )
76	75	orcd 394	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) )
77		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V
78		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V
79	77, 78	pm3.2i 457	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V )
80	79	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) )
81		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 0 , 3 >. e. _V
82		opex 4667	. . . . . . . 8 |- <. 1 , 6 >. e. _V
83	81, 82	pm3.2i 457	. . . . . . 7 |- ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V )
84	83	a1i 11	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) )
85	22	orcd 394	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) )
86		opthneg 4684	. . . . . . . 8 |- ( ( 0 e. _V /\ ( i x. 2 ) e. _V ) -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) ) )
87	67, 86	mp1i 13	. . . . . . 7 |- ( i e. ZZ -> ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. <-> ( 0 =/= 1 \/ ( i x. 2 ) =/= ( i x. 4 ) ) ) )
88	85, 87	mpbird 236	. . . . . 6 |- ( i e. ZZ -> <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. )
89		prnebg 4160	. . . . . . 7 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. ) -> ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) <-> { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } ) )
90	89	bicomd 205	. . . . . 6 |- ( ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. e. _V /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , ( i x. 4 ) >. ) -> ( { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) ) )
91	80, 84, 88, 90	syl3anc 1269	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } <-> ( ( <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 0 , ( i x. 2 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) \/ ( <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 0 , 3 >. /\ <. 1 , ( i x. 4 ) >. =/= <. 1 , 6 >. ) ) ) )
92	76, 91	mpbird 236	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } =/= { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
93	55	oveq2i 6306	. . . . 5 |- ( i .xb B ) = ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
94		2z 10976	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
95		4z 10978	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
96	50, 51	zlmodzxzscm 40242	. . . . . 6 |- ( ( i e. ZZ /\ 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
97	94, 95, 96	mp3an23 1358	. . . . 5 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
98	93, 97	syl5eq 2499	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb B ) = { <. 0 , ( i x. 2 ) >. , <. 1 , ( i x. 4 ) >. } )
99	45	a1i 11	. . . 4 |- ( i e. ZZ -> A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } )
100	92, 98, 99	3netr4d 2703	. . 3 |- ( i e. ZZ -> ( i .xb B ) =/= A )
101	57, 100	jca 535	. 2 |- ( i e. ZZ -> ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A ) )
102	101	rgen 2749	1 |- A. i e. ZZ ( ( i .xb A ) =/= B /\ ( i .xb B ) =/= A )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   A.wral 2739   _Vcvv 3047   {cpr 3972   <.cop 3976   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   0cc0 9544   1c1 9545   x. cmul 9549   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   6c6 10670   ZZcz 10944   Primecprime 14634   .scvsca 15206   -gcsg 16683  ℤ_ringzring 19051   freeLMod cfrlm 19321

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-pre-sup 9622  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-2o 7188  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-div 10277  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-rp 11310  df-fz 11792  df-seq 12221  df-exp 12280  df-cj 13174  df-re 13175  df-im 13176  df-sqrt 13310  df-abs 13311  df-dvds 14318  df-prm 14635  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-prds 15358  df-pws 15360  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-subg 16826  df-cmn 17444  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-subrg 18018  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-dsmm 19307  df-frlm 19322

This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  40402  ldepsnlinclem2  40403