Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxznm Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxznm 31194
Description: Example of a linearly dependent set whose elements are not linear combinations of the others, see note in [Roman] p. 113). (Contributed by AV, 23-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzequa.o  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
zlmodzxzequa.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
zlmodzxzequa.m  |-  .-  =  ( -g `  Z )
zlmodzxzequa.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzequa.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxznm  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i 
.xb  A )  =/= 
B  /\  ( i  .xb  B )  =/=  A
)

Proof of Theorem zlmodzxznm
StepHypRef Expression
1 3prm 13902 . . . . . . . . . . . 12  |-  3  e.  Prime
2 2prm 13901 . . . . . . . . . . . 12  |-  2  e.  Prime
3 ztprmneprm 30910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  3  e.  Prime  /\  2  e.  Prime )  ->  (
( i  x.  3 )  =  2  -> 
3  =  2 ) )
41, 2, 3mp3an23 1307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  x.  3 )  =  2  -> 
3  =  2 ) )
5 2re 10506 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  RR
6 2lt3 10604 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  <  3
75, 6ltneii 9602 . . . . . . . . . . . . 13  |-  2  =/=  3
8 eqneqall 2661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2  =  3  ->  (
2  =/=  3  -> 
( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
97, 8mpi 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  =  3  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
109eqcoms 2466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 3  =  2  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
114, 10syl6com 35 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  3 )  =  2  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
12 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  3 )  =/=  2  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
1311, 12pm2.61ine 2765 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  x.  3 )  =/=  2 )
1413olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) )
15 c0ex 9495 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
16 ovex 6228 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  x.  3 )  e. 
_V
1715, 16pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  _V  /\  (
i  x.  3 )  e.  _V )
18 opthneg 4682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) ) )
1917, 18mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  3 )  =/=  2 ) ) )
2014, 19mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2 >. )
21 0ne1 10504 . . . . . . . . . 10  |-  0  =/=  1
2221a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  0  =/=  1 )
2322orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) )
24 opthneg 4682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) ) )
2517, 24mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  4 ) ) )
2623, 25mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  4 >. )
2720, 26jca 532 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )
2827orcd 392 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) )
29 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V
30 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V
3129, 30pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V ) )
33 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  2 >.  e.  _V
34 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  4 >.  e.  _V
3533, 34pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V )
3635a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )
3722orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) )
38 opthneg 4682 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  3 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) ) )
3917, 38mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  3 )  =/=  ( i  x.  6 ) ) ) )
4037, 39mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. )
41 prnebg 4165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  4
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. )  ->  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )  <->  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } ) )
4241bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  4
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>. )  ->  ( {
<. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) ) )
4332, 36, 40, 42syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( { <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  3 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  6 )
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) ) ) )
4428, 43mpbird 232 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
45 zlmodzxzequa.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
4645oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( i 
.xb  A )  =  ( i  .xb  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } )
47 3z 10794 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
48 6nn 10598 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
4948nnzi 10785 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
50 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
51 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
5250, 51zlmodzxzscm 30925 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
5347, 49, 52mp3an23 1307 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
5446, 53syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  A )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  6 ) >. } )
55 zlmodzxzequa.b . . . . 5  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )
5744, 54, 563netr4d 2757 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  A )  =/=  B )
58 ztprmneprm 30910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  2  e.  Prime  /\  3  e.  Prime )  ->  (
( i  x.  2 )  =  3  -> 
2  =  3 ) )
592, 1, 58mp3an23 1307 . . . . . . . . . . 11  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  x.  2 )  =  3  -> 
2  =  3 ) )
60 eqneqall 2661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2  =  3  ->  (
2  =/=  3  -> 
( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
617, 60mpi 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  =  3  ->  (
i  x.  2 )  =/=  3 )
6259, 61syl6com 35 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  2 )  =  3  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
63 ax-1 6 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( i  x.  2 )  =/=  3  ->  (
i  e.  ZZ  ->  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
6462, 63pm2.61ine 2765 . . . . . . . . 9  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  x.  2 )  =/=  3 )
6564olcd 393 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) )
66 ovex 6228 . . . . . . . . . 10  |-  ( i  x.  2 )  e. 
_V
6715, 66pm3.2i 455 . . . . . . . . 9  |-  ( 0  e.  _V  /\  (
i  x.  2 )  e.  _V )
68 opthneg 4682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) ) )
6967, 68mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  ( i  x.  2 )  =/=  3 ) ) )
7065, 69mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3 >. )
7122orcd 392 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) )
72 opthneg 4682 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) ) )
7367, 72mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  6
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  6 ) ) )
7471, 73mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  6 >. )
7570, 74jca 532 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) )
7675orcd 392 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) )
77 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V
78 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V
7977, 78pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )
8079a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V ) )
81 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 0 ,  3 >.  e.  _V
82 opex 4667 . . . . . . . 8  |-  <. 1 ,  6 >.  e.  _V
8381, 82pm3.2i 455 . . . . . . 7  |-  ( <.
0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V )
8483a1i 11 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V ) )
8522orcd 392 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) )
86 opthneg 4682 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  ( i  x.  2 )  e.  _V )  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) ) )
8767, 86mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  ( i  x.  2 )  =/=  ( i  x.  4 ) ) ) )
8885, 87mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( i  e.  ZZ  ->  <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. )
89 prnebg 4165 . . . . . . 7  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  6
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. )  ->  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) )  <->  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } ) )
9089bicomd 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  e.  _V )  /\  ( <. 0 ,  3 >.  e.  _V  /\ 
<. 1 ,  6
>.  e.  _V )  /\  <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>. )  ->  ( {
<. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) ) )
9180, 84, 88, 90syl3anc 1219 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  ( { <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  <->  ( ( <.
0 ,  ( i  x.  2 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. )  \/  ( <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >.  =/=  <. 0 ,  3
>.  /\  <. 1 ,  ( i  x.  4 )
>.  =/=  <. 1 ,  6
>. ) ) ) )
9276, 91mpbird 232 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. }  =/=  {
<. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
9355oveq2i 6214 . . . . 5  |-  ( i 
.xb  B )  =  ( i  .xb  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } )
94 2z 10793 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
95 4nn 10596 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
9695nnzi 10785 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
9750, 51zlmodzxzscm 30925 . . . . . 6  |-  ( ( i  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
9894, 96, 97mp3an23 1307 . . . . 5  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
9993, 98syl5eq 2507 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  B )  =  { <. 0 ,  ( i  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( i  x.  4 ) >. } )
10045a1i 11 . . . 4  |-  ( i  e.  ZZ  ->  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )
10192, 99, 1003netr4d 2757 . . 3  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
i  .xb  B )  =/=  A )
10257, 101jca 532 . 2  |-  ( i  e.  ZZ  ->  (
( i  .xb  A
)  =/=  B  /\  ( i  .xb  B
)  =/=  A ) )
103102rgen 2899 1  |-  A. i  e.  ZZ  ( ( i 
.xb  A )  =/= 
B  /\  ( i  .xb  B )  =/=  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   A.wral 2799   _Vcvv 3078   {cpr 3990   <.cop 3994   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   0cc0 9397   1c1 9398    x. cmul 9402   2c2 10486   3c3 10487   4c4 10488   6c6 10490   ZZcz 10761   Primecprime 13885   .scvsca 14365   -gcsg 15536  ℤringzring 18018   freeLMod cfrlm 18306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-pre-sup 9475  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-2o 7034  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-div 10109  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-rp 11107  df-fz 11559  df-seq 11928  df-exp 11987  df-cj 12710  df-re 12711  df-im 12712  df-sqr 12846  df-abs 12847  df-dvds 13658  df-prm 13886  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-prds 14509  df-pws 14511  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-subg 15801  df-cmn 16404  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-subrg 16996  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-cnfld 17954  df-zring 18019  df-dsmm 18292  df-frlm 18307
This theorem is referenced by:  ldepsnlinclem1  31202  ldepsnlinclem2  31203
  Copyright terms: Public domain W3C validator