Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem4 Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem4 33377
Description: Lemma 4 for zlmodzxzldep 33378. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
zlmodzxzldeplem.f  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem4  |-  E. y  e.  { A ,  B }  ( F `  y )  =/=  0
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, F
Allowed substitution hint:    Z( y)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem4
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.a . . 3  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
2 prex 4679 . . 3  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
31, 2eqeltri 2538 . 2  |-  A  e. 
_V
4 zlmodzxzldep.b . . 3  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
5 prex 4679 . . 3  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
64, 5eqeltri 2538 . 2  |-  B  e. 
_V
7 2ne0 10624 . . . . 5  |-  2  =/=  0
8 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
98fveq1i 5849 . . . . . . 7  |-  ( F `
 A )  =  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)
10 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
1110, 1, 4zlmodzxzldeplem 33372 . . . . . . . 8  |-  A  =/= 
B
12 2ex 10603 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  _V
133, 12fvpr1 6090 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)  =  2 )
1411, 13mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)  =  2 )
159, 14syl5eq 2507 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F `  A
)  =  2 )
1615neeq1d 2731 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( F `  A )  =/=  0  <->  2  =/=  0 ) )
177, 16mpbiri 233 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F `  A
)  =/=  0 )
1817orcd 390 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( F `  A )  =/=  0  \/  ( F `  B
)  =/=  0 ) )
19 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
2019neeq1d 2731 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( F `  y
)  =/=  0  <->  ( F `  A )  =/=  0 ) )
21 fveq2 5848 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  B ) )
2221neeq1d 2731 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
( F `  y
)  =/=  0  <->  ( F `  B )  =/=  0 ) )
2320, 22rexprg 4066 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( E. y  e. 
{ A ,  B }  ( F `  y )  =/=  0  <->  ( ( F `  A
)  =/=  0  \/  ( F `  B
)  =/=  0 ) ) )
2418, 23mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  E. y  e.  { A ,  B } 
( F `  y
)  =/=  0 )
253, 6, 24mp2an 670 1  |-  E. y  e.  { A ,  B }  ( F `  y )  =/=  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 366    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   E.wrex 2805   _Vcvv 3106   {cpr 4018   <.cop 4022   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482   -ucneg 9797   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   6c6 10585  ℤringzring 18686   freeLMod cfrlm 18953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-2 10590  df-3 10591
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  33378
  Copyright terms: Public domain W3C validator