Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem4 Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem4 31152
Description: Lemma 4 for zlmodzxzldep 31153. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
zlmodzxzldeplem.f  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem4  |-  E. y  e.  { A ,  B }  ( F `  y )  =/=  0
Distinct variable groups:    y, A    y, B    y, F
Allowed substitution hint:    Z( y)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem4
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.a . . 3  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
2 prex 4632 . . 3  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
31, 2eqeltri 2535 . 2  |-  A  e. 
_V
4 zlmodzxzldep.b . . 3  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
5 prex 4632 . . 3  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
64, 5eqeltri 2535 . 2  |-  B  e. 
_V
7 2ne0 10515 . . . . 5  |-  2  =/=  0
8 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . . 8  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
98fveq1i 5790 . . . . . . 7  |-  ( F `
 A )  =  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)
10 zlmodzxzldep.z . . . . . . . . 9  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
1110, 1, 4zlmodzxzldeplem 31147 . . . . . . . 8  |-  A  =/= 
B
12 2ex 10494 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  _V
133, 12fvpr1 6020 . . . . . . . 8  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)  =  2 )
1411, 13mp1i 12 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)  =  2 )
159, 14syl5eq 2504 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F `  A
)  =  2 )
1615neeq1d 2725 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( F `  A )  =/=  0  <->  2  =/=  0 ) )
177, 16mpbiri 233 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( F `  A
)  =/=  0 )
1817orcd 392 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( ( F `  A )  =/=  0  \/  ( F `  B
)  =/=  0 ) )
19 fveq2 5789 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( F `  y )  =  ( F `  A ) )
2019neeq1d 2725 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( F `  y
)  =/=  0  <->  ( F `  A )  =/=  0 ) )
21 fveq2 5789 . . . . 5  |-  ( y  =  B  ->  ( F `  y )  =  ( F `  B ) )
2221neeq1d 2725 . . . 4  |-  ( y  =  B  ->  (
( F `  y
)  =/=  0  <->  ( F `  B )  =/=  0 ) )
2320, 22rexprg 4024 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  ( E. y  e. 
{ A ,  B }  ( F `  y )  =/=  0  <->  ( ( F `  A
)  =/=  0  \/  ( F `  B
)  =/=  0 ) ) )
2418, 23mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  ->  E. y  e.  { A ,  B } 
( F `  y
)  =/=  0 )
253, 6, 24mp2an 672 1  |-  E. y  e.  { A ,  B }  ( F `  y )  =/=  0
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   E.wrex 2796   _Vcvv 3068   {cpr 3977   <.cop 3981   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   0cc0 9383   1c1 9384   -ucneg 9697   2c2 10472   3c3 10473   4c4 10474   6c6 10476  ℤringzring 17992   freeLMod cfrlm 18280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-2 10481  df-3 10482
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  31153
  Copyright terms: Public domain W3C validator