Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem3 40399
Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 40401. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
zlmodzxzldeplem.f  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem3  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( 0g
`  Z )

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
2 ovex 6323 . . . 4  |-  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2527 . . 3  |-  Z  e. 
_V
4 zlmodzxzldep.a . . . . 5  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
5 zlmodzxzldep.b . . . . 5  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
6 zlmodzxzldeplem.f . . . . 5  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
71, 4, 5, 6zlmodzxzldeplem1 40397 . . . 4  |-  F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)
81zlmodzxzlmod 40239 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
9 simpr 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->ring  =  (Scalar `  Z ) )
109eqcomd 2459 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  -> 
(Scalar `  Z )  =ring )
118, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  Z )  =ring
1211fveq2i 5873 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base ` ring )
13 zringbas 19057 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
1413eqcomi 2462 . . . . . 6  |-  ( Base ` ring )  =  ZZ
1512, 14eqtri 2475 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ZZ
1615oveq1i 6305 . . . 4  |-  ( (
Base `  (Scalar `  Z
) )  ^m  { A ,  B }
)  =  ( ZZ 
^m  { A ,  B } )
177, 16eleqtrri 2530 . . 3  |-  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  Z ) )  ^m  { A ,  B }
)
18 3z 10977 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
19 6nn 10778 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
2019nnzi 10968 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
211zlmodzxzel 40240 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2218, 20, 21mp2an 679 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  Z )
23 2z 10976 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
24 4z 10978 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
251zlmodzxzel 40240 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2623, 24, 25mp2an 679 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  Z )
274eleq1i 2522 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( Base `  Z
)  <->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
285eleq1i 2522 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Base `  Z
)  <->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2927, 28anbi12i 704 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Base `  Z )  /\  B  e.  ( Base `  Z
) )  <->  ( { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  Z )  /\  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  Z ) ) )
3022, 26, 29mpbir2an 932 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Base `  Z
)  /\  B  e.  ( Base `  Z )
)
31 prelpwi 4650 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Base `  Z )  /\  B  e.  ( Base `  Z
) )  ->  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
)
3230, 31ax-mp 5 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
33 lincval 40306 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  Z
) )  ^m  { A ,  B }
)  /\  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) ) )
343, 17, 32, 33mp3an 1366 . 2  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) )
35 lmodcmn 18148 . . . . 5  |-  ( Z  e.  LMod  ->  Z  e. CMnd
)
3635adantr 467 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->  Z  e. CMnd )
378, 36ax-mp 5 . . 3  |-  Z  e. CMnd
38 prex 4645 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
394, 38eqeltri 2527 . . . 4  |-  A  e. 
_V
40 prex 4645 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
415, 40eqeltri 2527 . . . 4  |-  B  e. 
_V
421, 4, 5zlmodzxzldeplem 40395 . . . 4  |-  A  =/= 
B
4339, 41, 423pm3.2i 1187 . . 3  |-  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A  =/= 
B )
448simpli 460 . . . . 5  |-  Z  e. 
LMod
45 elmapi 7498 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)  ->  F : { A ,  B } --> ZZ )
4639prid1 4083 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
{ A ,  B }
47 ffvelrn 6025 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A ,  B } --> ZZ  /\  A  e.  { A ,  B } )  -> 
( F `  A
)  e.  ZZ )
4846, 47mpan2 678 . . . . . . 7  |-  ( F : { A ,  B } --> ZZ  ->  ( F `  A )  e.  ZZ )
497, 45, 48mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( F `
 A )  e.  ZZ
508, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-ring  =  (Scalar `  Z
)
5150eqcomi 2462 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  Z )  =ring
5251fveq2i 5873 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base ` ring )
5352, 14eqtri 2475 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ZZ
5449, 53eleqtrri 2530 . . . . 5  |-  ( F `
 A )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )
554, 22eqeltri 2527 . . . . 5  |-  A  e.  ( Base `  Z
)
56 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
57 eqid 2453 . . . . . 6  |-  (Scalar `  Z )  =  (Scalar `  Z )
58 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( .s
`  Z )  =  ( .s `  Z
)
59 eqid 2453 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Z )
)
6056, 57, 58, 59lmodvscl 18120 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  ( F `  A )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )  /\  A  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  e.  ( Base `  Z ) )
6144, 54, 55, 60mp3an 1366 . . . 4  |-  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A )  e.  ( Base `  Z
)
6241prid2 4084 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
{ A ,  B }
63 ffvelrn 6025 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A ,  B } --> ZZ  /\  B  e.  { A ,  B } )  -> 
( F `  B
)  e.  ZZ )
6462, 63mpan2 678 . . . . . . 7  |-  ( F : { A ,  B } --> ZZ  ->  ( F `  B )  e.  ZZ )
657, 45, 64mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( F `
 B )  e.  ZZ
6665, 53eleqtrri 2530 . . . . 5  |-  ( F `
 B )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )
675, 26eqeltri 2527 . . . . 5  |-  B  e.  ( Base `  Z
)
6856, 57, 58, 59lmodvscl 18120 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  ( F `  B )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )  /\  B  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( F `  B ) ( .s
`  Z ) B )  e.  ( Base `  Z ) )
6944, 66, 67, 68mp3an 1366 . . . 4  |-  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B )  e.  ( Base `  Z
)
7061, 69pm3.2i 457 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  e.  ( Base `  Z
)  /\  ( ( F `  B )
( .s `  Z
) B )  e.  ( Base `  Z
) )
71 eqid 2453 . . . 4  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
72 fveq2 5870 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
73 id 22 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
7472, 73oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
) ( .s `  Z ) x )  =  ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) )
75 fveq2 5870 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
76 id 22 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
7775, 76oveq12d 6313 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
) ( .s `  Z ) x )  =  ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
7856, 71, 74, 77gsumpr 40246 . . 3  |-  ( ( Z  e. CMnd  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A  =/= 
B )  /\  (
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  e.  ( Base `  Z )  /\  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  e.  ( Base `  Z
) ) )  -> 
( Z  gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  Z ) x ) ) )  =  ( ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z ) ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B ) ) )
7937, 43, 70, 78mp3an 1366 . 2  |-  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) )  =  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
806fveq1i 5871 . . . . . 6  |-  ( F `
 A )  =  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)
81 2ex 10688 . . . . . . . 8  |-  2  e.  _V
8239, 81fvpr1 6112 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)  =  2 )
8342, 82ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  2 >. ,  <. B ,  -u
3 >. } `  A
)  =  2
8480, 83eqtri 2475 . . . . 5  |-  ( F `
 A )  =  2
8584oveq1i 6305 . . . 4  |-  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A )  =  ( 2 ( .s
`  Z ) A )
866fveq1i 5871 . . . . . 6  |-  ( F `
 B )  =  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  B
)
87 negex 9878 . . . . . . . 8  |-  -u 3  e.  _V
8841, 87fvpr2 6113 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  B
)  =  -u 3
)
8942, 88ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  2 >. ,  <. B ,  -u
3 >. } `  B
)  =  -u 3
9086, 89eqtri 2475 . . . . 5  |-  ( F `
 B )  = 
-u 3
9190oveq1i 6305 . . . 4  |-  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B )  =  ( -u 3 ( .s `  Z ) B )
9285, 91oveq12i 6307 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )  =  ( ( 2 ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z ) ( -u
3 ( .s `  Z ) B ) )
93 eqid 2453 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
941, 93zlmodzxz0 40241 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  ( 0g
`  Z )
9594eqcomi 2462 . . . 4  |-  ( 0g
`  Z )  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
961, 4, 5, 95, 71, 58zlmodzxzequap 40396 . . 3  |-  ( ( 2 ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( -u 3
( .s `  Z
) B ) )  =  ( 0g `  Z )
9792, 96eqtri 2475 . 2  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )  =  ( 0g `  Z
)
9834, 79, 973eqtri 2479 1  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( 0g
`  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446    e. wcel 1889    =/= wne 2624   _Vcvv 3047   ~Pcpw 3953   {cpr 3972   <.cop 3976    |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295    ^m cmap 7477   0cc0 9544   1c1 9545   -ucneg 9866   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   6c6 10670   ZZcz 10944   Basecbs 15133   +g cplusg 15202  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   0gc0g 15350    gsumg cgsu 15351  CMndccmn 17442   LModclmod 18103  ℤringzring 19051   freeLMod cfrlm 19321   linC clinc 40301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-addf 9623  ax-mulf 9624
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-prds 15358  df-pws 15360  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-subrg 18018  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-dsmm 19307  df-frlm 19322  df-linc 40303
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  40401
  Copyright terms: Public domain W3C validator