Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem3 Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem3 39569
Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 39571. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
zlmodzxzldeplem.f  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem3  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( 0g
`  Z )

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
2 ovex 6330 . . . 4  |-  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2506 . . 3  |-  Z  e. 
_V
4 zlmodzxzldep.a . . . . 5  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
5 zlmodzxzldep.b . . . . 5  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
6 zlmodzxzldeplem.f . . . . 5  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
71, 4, 5, 6zlmodzxzldeplem1 39567 . . . 4  |-  F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)
81zlmodzxzlmod 39409 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
9 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->ring  =  (Scalar `  Z ) )
109eqcomd 2430 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  -> 
(Scalar `  Z )  =ring )
118, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  Z )  =ring
1211fveq2i 5881 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base ` ring )
13 zringbas 19032 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
1413eqcomi 2435 . . . . . 6  |-  ( Base ` ring )  =  ZZ
1512, 14eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ZZ
1615oveq1i 6312 . . . 4  |-  ( (
Base `  (Scalar `  Z
) )  ^m  { A ,  B }
)  =  ( ZZ 
^m  { A ,  B } )
177, 16eleqtrri 2509 . . 3  |-  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  Z ) )  ^m  { A ,  B }
)
18 3z 10971 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
19 6nn 10772 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
2019nnzi 10962 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
211zlmodzxzel 39410 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2218, 20, 21mp2an 676 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  Z )
23 2z 10970 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
24 4z 10972 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
251zlmodzxzel 39410 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2623, 24, 25mp2an 676 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  Z )
274eleq1i 2499 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( Base `  Z
)  <->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
285eleq1i 2499 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Base `  Z
)  <->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2927, 28anbi12i 701 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Base `  Z )  /\  B  e.  ( Base `  Z
) )  <->  ( { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  Z )  /\  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  Z ) ) )
3022, 26, 29mpbir2an 928 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Base `  Z
)  /\  B  e.  ( Base `  Z )
)
31 prelpwi 4665 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Base `  Z )  /\  B  e.  ( Base `  Z
) )  ->  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
)
3230, 31ax-mp 5 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
33 lincval 39476 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  Z
) )  ^m  { A ,  B }
)  /\  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) ) )
343, 17, 32, 33mp3an 1360 . 2  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) )
35 lmodcmn 18124 . . . . 5  |-  ( Z  e.  LMod  ->  Z  e. CMnd
)
3635adantr 466 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->  Z  e. CMnd )
378, 36ax-mp 5 . . 3  |-  Z  e. CMnd
38 prex 4660 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
394, 38eqeltri 2506 . . . 4  |-  A  e. 
_V
40 prex 4660 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
415, 40eqeltri 2506 . . . 4  |-  B  e. 
_V
421, 4, 5zlmodzxzldeplem 39565 . . . 4  |-  A  =/= 
B
4339, 41, 423pm3.2i 1183 . . 3  |-  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A  =/= 
B )
448simpli 459 . . . . 5  |-  Z  e. 
LMod
45 elmapi 7498 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)  ->  F : { A ,  B } --> ZZ )
4639prid1 4105 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
{ A ,  B }
47 ffvelrn 6032 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A ,  B } --> ZZ  /\  A  e.  { A ,  B } )  -> 
( F `  A
)  e.  ZZ )
4846, 47mpan2 675 . . . . . . 7  |-  ( F : { A ,  B } --> ZZ  ->  ( F `  A )  e.  ZZ )
497, 45, 48mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( F `
 A )  e.  ZZ
508, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-ring  =  (Scalar `  Z
)
5150eqcomi 2435 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  Z )  =ring
5251fveq2i 5881 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base ` ring )
5352, 14eqtri 2451 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ZZ
5449, 53eleqtrri 2509 . . . . 5  |-  ( F `
 A )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )
554, 22eqeltri 2506 . . . . 5  |-  A  e.  ( Base `  Z
)
56 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
57 eqid 2422 . . . . . 6  |-  (Scalar `  Z )  =  (Scalar `  Z )
58 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( .s
`  Z )  =  ( .s `  Z
)
59 eqid 2422 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Z )
)
6056, 57, 58, 59lmodvscl 18096 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  ( F `  A )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )  /\  A  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  e.  ( Base `  Z ) )
6144, 54, 55, 60mp3an 1360 . . . 4  |-  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A )  e.  ( Base `  Z
)
6241prid2 4106 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
{ A ,  B }
63 ffvelrn 6032 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A ,  B } --> ZZ  /\  B  e.  { A ,  B } )  -> 
( F `  B
)  e.  ZZ )
6462, 63mpan2 675 . . . . . . 7  |-  ( F : { A ,  B } --> ZZ  ->  ( F `  B )  e.  ZZ )
657, 45, 64mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( F `
 B )  e.  ZZ
6665, 53eleqtrri 2509 . . . . 5  |-  ( F `
 B )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )
675, 26eqeltri 2506 . . . . 5  |-  B  e.  ( Base `  Z
)
6856, 57, 58, 59lmodvscl 18096 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  ( F `  B )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )  /\  B  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( F `  B ) ( .s
`  Z ) B )  e.  ( Base `  Z ) )
6944, 66, 67, 68mp3an 1360 . . . 4  |-  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B )  e.  ( Base `  Z
)
7061, 69pm3.2i 456 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  e.  ( Base `  Z
)  /\  ( ( F `  B )
( .s `  Z
) B )  e.  ( Base `  Z
) )
71 eqid 2422 . . . 4  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
72 fveq2 5878 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
73 id 23 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
7472, 73oveq12d 6320 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
) ( .s `  Z ) x )  =  ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) )
75 fveq2 5878 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
76 id 23 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
7775, 76oveq12d 6320 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
) ( .s `  Z ) x )  =  ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
7856, 71, 74, 77gsumpr 39416 . . 3  |-  ( ( Z  e. CMnd  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A  =/= 
B )  /\  (
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  e.  ( Base `  Z )  /\  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  e.  ( Base `  Z
) ) )  -> 
( Z  gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  Z ) x ) ) )  =  ( ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z ) ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B ) ) )
7937, 43, 70, 78mp3an 1360 . 2  |-  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) )  =  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
806fveq1i 5879 . . . . . 6  |-  ( F `
 A )  =  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)
81 2ex 10682 . . . . . . . 8  |-  2  e.  _V
8239, 81fvpr1 6119 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)  =  2 )
8342, 82ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  2 >. ,  <. B ,  -u
3 >. } `  A
)  =  2
8480, 83eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( F `
 A )  =  2
8584oveq1i 6312 . . . 4  |-  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A )  =  ( 2 ( .s
`  Z ) A )
866fveq1i 5879 . . . . . 6  |-  ( F `
 B )  =  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  B
)
87 negex 9874 . . . . . . . 8  |-  -u 3  e.  _V
8841, 87fvpr2 6120 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  B
)  =  -u 3
)
8942, 88ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  2 >. ,  <. B ,  -u
3 >. } `  B
)  =  -u 3
9086, 89eqtri 2451 . . . . 5  |-  ( F `
 B )  = 
-u 3
9190oveq1i 6312 . . . 4  |-  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B )  =  ( -u 3 ( .s `  Z ) B )
9285, 91oveq12i 6314 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )  =  ( ( 2 ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z ) ( -u
3 ( .s `  Z ) B ) )
93 eqid 2422 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
941, 93zlmodzxz0 39411 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  ( 0g
`  Z )
9594eqcomi 2435 . . . 4  |-  ( 0g
`  Z )  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
961, 4, 5, 95, 71, 58zlmodzxzequap 39566 . . 3  |-  ( ( 2 ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( -u 3
( .s `  Z
) B ) )  =  ( 0g `  Z )
9792, 96eqtri 2451 . 2  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )  =  ( 0g `  Z
)
9834, 79, 973eqtri 2455 1  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( 0g
`  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1868    =/= wne 2618   _Vcvv 3081   ~Pcpw 3979   {cpr 3998   <.cop 4002    |-> cmpt 4479   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302    ^m cmap 7477   0cc0 9540   1c1 9541   -ucneg 9862   2c2 10660   3c3 10661   4c4 10662   6c6 10664   ZZcz 10938   Basecbs 15109   +g cplusg 15178  Scalarcsca 15181   .scvsca 15182   0gc0g 15326    gsumg cgsu 15327  CMndccmn 17418   LModclmod 18079  ℤringzring 19026   freeLMod cfrlm 19296   linC clinc 39471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-addf 9619  ax-mulf 9620
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-sup 7959  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-prds 15334  df-pws 15336  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-mulg 16664  df-subg 16802  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-cring 17771  df-subrg 17994  df-lmod 18081  df-lss 18144  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-cnfld 18959  df-zring 19027  df-dsmm 19282  df-frlm 19297  df-linc 39473
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  39571
  Copyright terms: Public domain W3C validator