Theorem zlmodzxzldeplem3 40399

Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 40401. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
zlmodzxzldeplem.f	|- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem3	|- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( 0g ` Z )

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
2		ovex 6323	. . . 4 |- (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2527	. . 3 |- Z e. _V
4		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
5		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
6		zlmodzxzldeplem.f	. . . . 5 |- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }
7	1, 4, 5, 6	zlmodzxzldeplem1 40397	. . . 4 |- F e. ( ZZ ^m { A , B } )
8	1	zlmodzxzlmod 40239	. . . . . . . 8 |- ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) )
9		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> ℤring = (Scalar ` Z ) )
10	9	eqcomd 2459	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> (Scalar ` Z ) = ℤring )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (Scalar ` Z ) = ℤring
12	11	fveq2i 5873	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` ℤring )
13		zringbas 19057	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
14	13	eqcomi 2462	. . . . . 6 |- ( Base ` ℤring ) = ZZ
15	12, 14	eqtri 2475	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ZZ
16	15	oveq1i 6305	. . . 4 |- ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } ) = ( ZZ ^m { A , B } )
17	7, 16	eleqtrri 2530	. . 3 |- F e. ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } )
18		3z 10977	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
19		6nn 10778	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
20	19	nnzi 10968	. . . . . 6 |- 6 e. ZZ
21	1	zlmodzxzel 40240	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
22	18, 20, 21	mp2an 679	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z )
23		2z 10976	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
24		4z 10978	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
25	1	zlmodzxzel 40240	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) )
26	23, 24, 25	mp2an 679	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z )
27	4	eleq1i 2522	. . . . . 6 |- ( A e. ( Base ` Z ) <-> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
28	5	eleq1i 2522	. . . . . 6 |- ( B e. ( Base ` Z ) <-> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) )
29	27, 28	anbi12i 704	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) <-> ( { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) /\ { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) ) )
30	22, 26, 29	mpbir2an 932	. . . 4 |- ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) )
31		prelpwi 4650	. . . 4 |- ( ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) -> { A , B } e. ~P ( Base ` Z ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 |- { A , B } e. ~P ( Base ` Z )
33		lincval 40306	. . 3 |- ( ( Z e. _V /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } ) /\ { A , B } e. ~P ( Base ` Z ) ) -> ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) )
34	3, 17, 32, 33	mp3an 1366	. 2 |- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) )
35		lmodcmn 18148	. . . . 5 |- ( Z e. LMod -> Z e. CMnd )
36	35	adantr 467	. . . 4 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> Z e. CMnd )
37	8, 36	ax-mp 5	. . 3 |- Z e. CMnd
38		prex 4645	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. _V
39	4, 38	eqeltri 2527	. . . 4 |- A e. _V
40		prex 4645	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. _V
41	5, 40	eqeltri 2527	. . . 4 |- B e. _V
42	1, 4, 5	zlmodzxzldeplem 40395	. . . 4 |- A =/= B
43	39, 41, 42	3pm3.2i 1187	. . 3 |- ( A e. _V /\ B e. _V /\ A =/= B )
44	8	simpli 460	. . . . 5 |- Z e. LMod
45		elmapi 7498	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ZZ ^m { A , B } ) -> F : { A , B } --> ZZ )
46	39	prid1 4083	. . . . . . . 8 |- A e. { A , B }
47		ffvelrn 6025	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A , B } --> ZZ /\ A e. { A , B } ) -> ( F ` A ) e. ZZ )
48	46, 47	mpan2 678	. . . . . . 7 |- ( F : { A , B } --> ZZ -> ( F ` A ) e. ZZ )
49	7, 45, 48	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( F ` A ) e. ZZ
50	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ℤring = (Scalar ` Z )
51	50	eqcomi 2462	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` Z ) = ℤring
52	51	fveq2i 5873	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` ℤring )
53	52, 14	eqtri 2475	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ZZ
54	49, 53	eleqtrri 2530	. . . . 5 |- ( F ` A ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) )
55	4, 22	eqeltri 2527	. . . . 5 |- A e. ( Base ` Z )
56		eqid 2453	. . . . . 6 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
57		eqid 2453	. . . . . 6 |- (Scalar ` Z ) = (Scalar ` Z )
58		eqid 2453	. . . . . 6 |- ( .s ` Z ) = ( .s ` Z )
59		eqid 2453	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` (Scalar ` Z ) )
60	56, 57, 58, 59	lmodvscl 18120	. . . . 5 |- ( ( Z e. LMod /\ ( F ` A ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) ) /\ A e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) )
61	44, 54, 55, 60	mp3an 1366	. . . 4 |- ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z )
62	41	prid2 4084	. . . . . . . 8 |- B e. { A , B }
63		ffvelrn 6025	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A , B } --> ZZ /\ B e. { A , B } ) -> ( F ` B ) e. ZZ )
64	62, 63	mpan2 678	. . . . . . 7 |- ( F : { A , B } --> ZZ -> ( F ` B ) e. ZZ )
65	7, 45, 64	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( F ` B ) e. ZZ
66	65, 53	eleqtrri 2530	. . . . 5 |- ( F ` B ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) )
67	5, 26	eqeltri 2527	. . . . 5 |- B e. ( Base ` Z )
68	56, 57, 58, 59	lmodvscl 18120	. . . . 5 |- ( ( Z e. LMod /\ ( F ` B ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) )
69	44, 66, 67, 68	mp3an 1366	. . . 4 |- ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z )
70	61, 69	pm3.2i 457	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) /\ ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) )
71		eqid 2453	. . . 4 |- ( +g ` Z ) = ( +g ` Z )
72		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
73		id 22	. . . . 5 |- ( x = A -> x = A )
74	72, 73	oveq12d 6313	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) = ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) )
75		fveq2 5870	. . . . 5 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
76		id 22	. . . . 5 |- ( x = B -> x = B )
77	75, 76	oveq12d 6313	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) = ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) )
78	56, 71, 74, 77	gsumpr 40246	. . 3 |- ( ( Z e. CMnd /\ ( A e. _V /\ B e. _V /\ A =/= B ) /\ ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) /\ ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) ) ) -> ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) = ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) )
79	37, 43, 70, 78	mp3an 1366	. 2 |- ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) = ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) )
80	6	fveq1i 5871	. . . . . 6 |- ( F ` A ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A )
81		2ex 10688	. . . . . . . 8 |- 2 e. _V
82	39, 81	fvpr1 6112	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2 )
83	42, 82	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2
84	80, 83	eqtri 2475	. . . . 5 |- ( F ` A ) = 2
85	84	oveq1i 6305	. . . 4 |- ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) = ( 2 ( .s ` Z ) A )
86	6	fveq1i 5871	. . . . . 6 |- ( F ` B ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B )
87		negex 9878	. . . . . . . 8 |- -u 3 e. _V
88	41, 87	fvpr2 6113	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B ) = -u 3 )
89	42, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B ) = -u 3
90	86, 89	eqtri 2475	. . . . 5 |- ( F ` B ) = -u 3
91	90	oveq1i 6305	. . . 4 |- ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) = ( -u 3 ( .s ` Z ) B )
92	85, 91	oveq12i 6307	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) = ( ( 2 ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( -u 3 ( .s ` Z ) B ) )
93		eqid 2453	. . . . . 6 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
94	1, 93	zlmodzxz0 40241	. . . . 5 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = ( 0g ` Z )
95	94	eqcomi 2462	. . . 4 |- ( 0g ` Z ) = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
96	1, 4, 5, 95, 71, 58	zlmodzxzequap 40396	. . 3 |- ( ( 2 ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( -u 3 ( .s ` Z ) B ) ) = ( 0g ` Z )
97	92, 96	eqtri 2475	. 2 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) = ( 0g ` Z )
98	34, 79, 97	3eqtri 2479	1 |- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( 0g ` Z )

Syntax hints:   /\ wa 371   /\ w3a 986   = wceq 1446   e. wcel 1889   =/= wne 2624   _Vcvv 3047   ~Pcpw 3953   {cpr 3972   <.cop 3976   |-> cmpt 4464   -->wf 5581   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   ^m cmap 7477   0cc0 9544   1c1 9545   -ucneg 9866   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   6c6 10670   ZZcz 10944   Basecbs 15133   +g cplusg 15202  Scalarcsca 15205   .scvsca 15206   0gc0g 15350   gsum_g cgsu 15351  CMndccmn 17442   LModclmod 18103  ℤ_ringzring 19051   freeLMod cfrlm 19321   linC clinc 40301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-inf2 8151  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621  ax-addf 9623  ax-mulf 9624

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-iin 4284  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-se 4797  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-isom 5594  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6536  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-supp 6920  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7889  df-sup 7961  df-oi 8030  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-fzo 11923  df-seq 12221  df-hash 12523  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-sets 15139  df-ress 15140  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-starv 15217  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-unif 15225  df-hom 15226  df-cco 15227  df-0g 15352  df-gsum 15353  df-prds 15358  df-pws 15360  df-mre 15504  df-mrc 15505  df-acs 15507  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-submnd 16595  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-sbg 16687  df-mulg 16688  df-subg 16826  df-cntz 16983  df-cmn 17444  df-abl 17445  df-mgp 17736  df-ur 17748  df-ring 17794  df-cring 17795  df-subrg 18018  df-lmod 18105  df-lss 18168  df-sra 18407  df-rgmod 18408  df-cnfld 18983  df-zring 19052  df-dsmm 19307  df-frlm 19322  df-linc 40303

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  40401