Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem3 Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem3 31196
Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 31198. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
zlmodzxzldeplem.f  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem3  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( 0g
`  Z )

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
2 ovex 6228 . . . 4  |-  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2538 . . 3  |-  Z  e. 
_V
4 zlmodzxzldep.a . . . . 5  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
5 zlmodzxzldep.b . . . . 5  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
6 zlmodzxzldeplem.f . . . . 5  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
71, 4, 5, 6zlmodzxzldeplem1 31194 . . . 4  |-  F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)
81zlmodzxzlmod 30919 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
9 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->ring  =  (Scalar `  Z ) )
109eqcomd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  -> 
(Scalar `  Z )  =ring )
118, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  Z )  =ring
1211fveq2i 5805 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base ` ring )
13 zringbas 18017 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
1413eqcomi 2467 . . . . . 6  |-  ( Base ` ring )  =  ZZ
1512, 14eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ZZ
1615oveq1i 6213 . . . 4  |-  ( (
Base `  (Scalar `  Z
) )  ^m  { A ,  B }
)  =  ( ZZ 
^m  { A ,  B } )
177, 16eleqtrri 2541 . . 3  |-  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  Z ) )  ^m  { A ,  B }
)
18 3z 10793 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
19 6nn 10597 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
2019nnzi 10784 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
211zlmodzxzel 30920 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2218, 20, 21mp2an 672 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  Z )
23 2z 10792 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
24 4nn 10595 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
2524nnzi 10784 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
261zlmodzxzel 30920 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2723, 25, 26mp2an 672 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  Z )
284eleq1i 2531 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( Base `  Z
)  <->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
295eleq1i 2531 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Base `  Z
)  <->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
3028, 29anbi12i 697 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Base `  Z )  /\  B  e.  ( Base `  Z
) )  <->  ( { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  Z )  /\  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  Z ) ) )
3122, 27, 30mpbir2an 911 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Base `  Z
)  /\  B  e.  ( Base `  Z )
)
32 prelpwi 4650 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Base `  Z )  /\  B  e.  ( Base `  Z
) )  ->  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
)
3331, 32ax-mp 5 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
34 lincval 31095 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  Z
) )  ^m  { A ,  B }
)  /\  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) ) )
353, 17, 33, 34mp3an 1315 . 2  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) )
36 lmodcmn 17119 . . . . 5  |-  ( Z  e.  LMod  ->  Z  e. CMnd
)
3736adantr 465 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->  Z  e. CMnd )
388, 37ax-mp 5 . . 3  |-  Z  e. CMnd
39 prex 4645 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
404, 39eqeltri 2538 . . . 4  |-  A  e. 
_V
41 prex 4645 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
425, 41eqeltri 2538 . . . 4  |-  B  e. 
_V
431, 4, 5zlmodzxzldeplem 31192 . . . 4  |-  A  =/= 
B
4440, 42, 433pm3.2i 1166 . . 3  |-  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A  =/= 
B )
458simpli 458 . . . . 5  |-  Z  e. 
LMod
46 elmapi 7347 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)  ->  F : { A ,  B } --> ZZ )
4740prid1 4094 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
{ A ,  B }
48 ffvelrn 5953 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A ,  B } --> ZZ  /\  A  e.  { A ,  B } )  -> 
( F `  A
)  e.  ZZ )
4947, 48mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( F : { A ,  B } --> ZZ  ->  ( F `  A )  e.  ZZ )
507, 46, 49mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( F `
 A )  e.  ZZ
518, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-ring  =  (Scalar `  Z
)
5251eqcomi 2467 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  Z )  =ring
5352fveq2i 5805 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base ` ring )
5453, 14eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ZZ
5550, 54eleqtrri 2541 . . . . 5  |-  ( F `
 A )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )
564, 22eqeltri 2538 . . . . 5  |-  A  e.  ( Base `  Z
)
57 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
58 eqid 2454 . . . . . 6  |-  (Scalar `  Z )  =  (Scalar `  Z )
59 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( .s
`  Z )  =  ( .s `  Z
)
60 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Z )
)
6157, 58, 59, 60lmodvscl 17091 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  ( F `  A )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )  /\  A  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  e.  ( Base `  Z ) )
6245, 55, 56, 61mp3an 1315 . . . 4  |-  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A )  e.  ( Base `  Z
)
6342prid2 4095 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
{ A ,  B }
64 ffvelrn 5953 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A ,  B } --> ZZ  /\  B  e.  { A ,  B } )  -> 
( F `  B
)  e.  ZZ )
6563, 64mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( F : { A ,  B } --> ZZ  ->  ( F `  B )  e.  ZZ )
667, 46, 65mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( F `
 B )  e.  ZZ
6766, 54eleqtrri 2541 . . . . 5  |-  ( F `
 B )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )
685, 27eqeltri 2538 . . . . 5  |-  B  e.  ( Base `  Z
)
6957, 58, 59, 60lmodvscl 17091 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  ( F `  B )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )  /\  B  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( F `  B ) ( .s
`  Z ) B )  e.  ( Base `  Z ) )
7045, 67, 68, 69mp3an 1315 . . . 4  |-  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B )  e.  ( Base `  Z
)
7162, 70pm3.2i 455 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  e.  ( Base `  Z
)  /\  ( ( F `  B )
( .s `  Z
) B )  e.  ( Base `  Z
) )
72 eqid 2454 . . . 4  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
73 fveq2 5802 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
74 id 22 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
7573, 74oveq12d 6221 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
) ( .s `  Z ) x )  =  ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) )
76 fveq2 5802 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
77 id 22 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
7876, 77oveq12d 6221 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
) ( .s `  Z ) x )  =  ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
7957, 72, 75, 78gsumpr 30926 . . 3  |-  ( ( Z  e. CMnd  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A  =/= 
B )  /\  (
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  e.  ( Base `  Z )  /\  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  e.  ( Base `  Z
) ) )  -> 
( Z  gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  Z ) x ) ) )  =  ( ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z ) ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B ) ) )
8038, 44, 71, 79mp3an 1315 . 2  |-  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) )  =  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
816fveq1i 5803 . . . . . 6  |-  ( F `
 A )  =  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)
82 2ex 10507 . . . . . . . 8  |-  2  e.  _V
8340, 82fvpr1 6033 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)  =  2 )
8443, 83ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  2 >. ,  <. B ,  -u
3 >. } `  A
)  =  2
8581, 84eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( F `
 A )  =  2
8685oveq1i 6213 . . . 4  |-  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A )  =  ( 2 ( .s
`  Z ) A )
876fveq1i 5803 . . . . . 6  |-  ( F `
 B )  =  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  B
)
88 negex 9722 . . . . . . . 8  |-  -u 3  e.  _V
8942, 88fvpr2 6034 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  B
)  =  -u 3
)
9043, 89ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  2 >. ,  <. B ,  -u
3 >. } `  B
)  =  -u 3
9187, 90eqtri 2483 . . . . 5  |-  ( F `
 B )  = 
-u 3
9291oveq1i 6213 . . . 4  |-  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B )  =  ( -u 3 ( .s `  Z ) B )
9386, 92oveq12i 6215 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )  =  ( ( 2 ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z ) ( -u
3 ( .s `  Z ) B ) )
94 eqid 2454 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
951, 94zlmodzxz0 30921 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  ( 0g
`  Z )
9695eqcomi 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  Z )  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
971, 4, 5, 96, 72, 59zlmodzxzequap 31193 . . 3  |-  ( ( 2 ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( -u 3
( .s `  Z
) B ) )  =  ( 0g `  Z )
9893, 97eqtri 2483 . 2  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )  =  ( 0g `  Z
)
9935, 80, 983eqtri 2487 1  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( 0g
`  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078   ~Pcpw 3971   {cpr 3990   <.cop 3994    |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    ^m cmap 7327   0cc0 9396   1c1 9397   -ucneg 9710   2c2 10485   3c3 10486   4c4 10487   6c6 10489   ZZcz 10760   Basecbs 14295   +g cplusg 14360  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   0gc0g 14500    gsumg cgsu 14501  CMndccmn 16401   LModclmod 17074  ℤringzring 18011   freeLMod cfrlm 18299   linC clinc 31090
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-addf 9475  ax-mulf 9476
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-prds 14508  df-pws 14510  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mulg 15670  df-subg 15800  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-cring 16774  df-subrg 16989  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-cnfld 17947  df-zring 18012  df-dsmm 18285  df-frlm 18300  df-linc 31092
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  31198
  Copyright terms: Public domain W3C validator