Theorem zlmodzxzldeplem3 31196

Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 31198. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
zlmodzxzldeplem.f	|- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem3	|- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( 0g ` Z )

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
2		ovex 6228	. . . 4 |- (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2538	. . 3 |- Z e. _V
4		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
5		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
6		zlmodzxzldeplem.f	. . . . 5 |- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }
7	1, 4, 5, 6	zlmodzxzldeplem1 31194	. . . 4 |- F e. ( ZZ ^m { A , B } )
8	1	zlmodzxzlmod 30919	. . . . . . . 8 |- ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) )
9		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> ℤring = (Scalar ` Z ) )
10	9	eqcomd 2462	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> (Scalar ` Z ) = ℤring )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (Scalar ` Z ) = ℤring
12	11	fveq2i 5805	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` ℤring )
13		zringbas 18017	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
14	13	eqcomi 2467	. . . . . 6 |- ( Base ` ℤring ) = ZZ
15	12, 14	eqtri 2483	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ZZ
16	15	oveq1i 6213	. . . 4 |- ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } ) = ( ZZ ^m { A , B } )
17	7, 16	eleqtrri 2541	. . 3 |- F e. ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } )
18		3z 10793	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
19		6nn 10597	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
20	19	nnzi 10784	. . . . . 6 |- 6 e. ZZ
21	1	zlmodzxzel 30920	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
22	18, 20, 21	mp2an 672	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z )
23		2z 10792	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
24		4nn 10595	. . . . . . 7 |- 4 e. NN
25	24	nnzi 10784	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
26	1	zlmodzxzel 30920	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) )
27	23, 25, 26	mp2an 672	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z )
28	4	eleq1i 2531	. . . . . 6 |- ( A e. ( Base ` Z ) <-> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
29	5	eleq1i 2531	. . . . . 6 |- ( B e. ( Base ` Z ) <-> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) )
30	28, 29	anbi12i 697	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) <-> ( { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) /\ { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) ) )
31	22, 27, 30	mpbir2an 911	. . . 4 |- ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) )
32		prelpwi 4650	. . . 4 |- ( ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) -> { A , B } e. ~P ( Base ` Z ) )
33	31, 32	ax-mp 5	. . 3 |- { A , B } e. ~P ( Base ` Z )
34		lincval 31095	. . 3 |- ( ( Z e. _V /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } ) /\ { A , B } e. ~P ( Base ` Z ) ) -> ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) )
35	3, 17, 33, 34	mp3an 1315	. 2 |- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) )
36		lmodcmn 17119	. . . . 5 |- ( Z e. LMod -> Z e. CMnd )
37	36	adantr 465	. . . 4 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> Z e. CMnd )
38	8, 37	ax-mp 5	. . 3 |- Z e. CMnd
39		prex 4645	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. _V
40	4, 39	eqeltri 2538	. . . 4 |- A e. _V
41		prex 4645	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. _V
42	5, 41	eqeltri 2538	. . . 4 |- B e. _V
43	1, 4, 5	zlmodzxzldeplem 31192	. . . 4 |- A =/= B
44	40, 42, 43	3pm3.2i 1166	. . 3 |- ( A e. _V /\ B e. _V /\ A =/= B )
45	8	simpli 458	. . . . 5 |- Z e. LMod
46		elmapi 7347	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ZZ ^m { A , B } ) -> F : { A , B } --> ZZ )
47	40	prid1 4094	. . . . . . . 8 |- A e. { A , B }
48		ffvelrn 5953	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A , B } --> ZZ /\ A e. { A , B } ) -> ( F ` A ) e. ZZ )
49	47, 48	mpan2 671	. . . . . . 7 |- ( F : { A , B } --> ZZ -> ( F ` A ) e. ZZ )
50	7, 46, 49	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( F ` A ) e. ZZ
51	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ℤring = (Scalar ` Z )
52	51	eqcomi 2467	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` Z ) = ℤring
53	52	fveq2i 5805	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` ℤring )
54	53, 14	eqtri 2483	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ZZ
55	50, 54	eleqtrri 2541	. . . . 5 |- ( F ` A ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) )
56	4, 22	eqeltri 2538	. . . . 5 |- A e. ( Base ` Z )
57		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
58		eqid 2454	. . . . . 6 |- (Scalar ` Z ) = (Scalar ` Z )
59		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( .s ` Z ) = ( .s ` Z )
60		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` (Scalar ` Z ) )
61	57, 58, 59, 60	lmodvscl 17091	. . . . 5 |- ( ( Z e. LMod /\ ( F ` A ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) ) /\ A e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) )
62	45, 55, 56, 61	mp3an 1315	. . . 4 |- ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z )
63	42	prid2 4095	. . . . . . . 8 |- B e. { A , B }
64		ffvelrn 5953	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A , B } --> ZZ /\ B e. { A , B } ) -> ( F ` B ) e. ZZ )
65	63, 64	mpan2 671	. . . . . . 7 |- ( F : { A , B } --> ZZ -> ( F ` B ) e. ZZ )
66	7, 46, 65	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( F ` B ) e. ZZ
67	66, 54	eleqtrri 2541	. . . . 5 |- ( F ` B ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) )
68	5, 27	eqeltri 2538	. . . . 5 |- B e. ( Base ` Z )
69	57, 58, 59, 60	lmodvscl 17091	. . . . 5 |- ( ( Z e. LMod /\ ( F ` B ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) )
70	45, 67, 68, 69	mp3an 1315	. . . 4 |- ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z )
71	62, 70	pm3.2i 455	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) /\ ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) )
72		eqid 2454	. . . 4 |- ( +g ` Z ) = ( +g ` Z )
73		fveq2 5802	. . . . 5 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
74		id 22	. . . . 5 |- ( x = A -> x = A )
75	73, 74	oveq12d 6221	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) = ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) )
76		fveq2 5802	. . . . 5 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
77		id 22	. . . . 5 |- ( x = B -> x = B )
78	76, 77	oveq12d 6221	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) = ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) )
79	57, 72, 75, 78	gsumpr 30926	. . 3 |- ( ( Z e. CMnd /\ ( A e. _V /\ B e. _V /\ A =/= B ) /\ ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) /\ ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) ) ) -> ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) = ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) )
80	38, 44, 71, 79	mp3an 1315	. 2 |- ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) = ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) )
81	6	fveq1i 5803	. . . . . 6 |- ( F ` A ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A )
82		2ex 10507	. . . . . . . 8 |- 2 e. _V
83	40, 82	fvpr1 6033	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2 )
84	43, 83	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2
85	81, 84	eqtri 2483	. . . . 5 |- ( F ` A ) = 2
86	85	oveq1i 6213	. . . 4 |- ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) = ( 2 ( .s ` Z ) A )
87	6	fveq1i 5803	. . . . . 6 |- ( F ` B ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B )
88		negex 9722	. . . . . . . 8 |- -u 3 e. _V
89	42, 88	fvpr2 6034	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B ) = -u 3 )
90	43, 89	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B ) = -u 3
91	87, 90	eqtri 2483	. . . . 5 |- ( F ` B ) = -u 3
92	91	oveq1i 6213	. . . 4 |- ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) = ( -u 3 ( .s ` Z ) B )
93	86, 92	oveq12i 6215	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) = ( ( 2 ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( -u 3 ( .s ` Z ) B ) )
94		eqid 2454	. . . . . 6 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
95	1, 94	zlmodzxz0 30921	. . . . 5 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = ( 0g ` Z )
96	95	eqcomi 2467	. . . 4 |- ( 0g ` Z ) = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
97	1, 4, 5, 96, 72, 59	zlmodzxzequap 31193	. . 3 |- ( ( 2 ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( -u 3 ( .s ` Z ) B ) ) = ( 0g ` Z )
98	93, 97	eqtri 2483	. 2 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) = ( 0g ` Z )
99	35, 80, 98	3eqtri 2487	1 |- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( 0g ` Z )

Syntax hints:   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   _Vcvv 3078   ~Pcpw 3971   {cpr 3990   <.cop 3994   |-> cmpt 4461   -->wf 5525   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   ^m cmap 7327   0cc0 9396   1c1 9397   -ucneg 9710   2c2 10485   3c3 10486   4c4 10487   6c6 10489   ZZcz 10760   Basecbs 14295   +g cplusg 14360  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   0gc0g 14500   gsum_g cgsu 14501  CMndccmn 16401   LModclmod 17074  ℤ_ringzring 18011   freeLMod cfrlm 18299   linC clinc 31090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7961  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473  ax-addf 9475  ax-mulf 9476

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-iin 4285  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-se 4791  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-isom 5538  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7805  df-oi 7838  df-card 8223  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-fzo 11669  df-seq 11927  df-hash 12224  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-sets 14301  df-ress 14302  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-starv 14375  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-unif 14383  df-hom 14384  df-cco 14385  df-0g 14502  df-gsum 14503  df-prds 14508  df-pws 14510  df-mre 14646  df-mrc 14647  df-acs 14649  df-mnd 15537  df-submnd 15587  df-grp 15667  df-minusg 15668  df-sbg 15669  df-mulg 15670  df-subg 15800  df-cntz 15957  df-cmn 16403  df-abl 16404  df-mgp 16717  df-ur 16729  df-rng 16773  df-cring 16774  df-subrg 16989  df-lmod 17076  df-lss 17140  df-sra 17379  df-rgmod 17380  df-cnfld 17947  df-zring 18012  df-dsmm 18285  df-frlm 18300  df-linc 31092

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  31198