Theorem zlmodzxzldeplem3 38614

Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 38616. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
zlmodzxzldeplem.f	|- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem3	|- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( 0g ` Z )

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
2		ovex 6306	. . . 4 |- (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2486	. . 3 |- Z e. _V
4		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
5		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
6		zlmodzxzldeplem.f	. . . . 5 |- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }
7	1, 4, 5, 6	zlmodzxzldeplem1 38612	. . . 4 |- F e. ( ZZ ^m { A , B } )
8	1	zlmodzxzlmod 38454	. . . . . . . 8 |- ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) )
9		simpr 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> ℤring = (Scalar ` Z ) )
10	9	eqcomd 2410	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> (Scalar ` Z ) = ℤring )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (Scalar ` Z ) = ℤring
12	11	fveq2i 5852	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` ℤring )
13		zringbas 18814	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
14	13	eqcomi 2415	. . . . . 6 |- ( Base ` ℤring ) = ZZ
15	12, 14	eqtri 2431	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ZZ
16	15	oveq1i 6288	. . . 4 |- ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } ) = ( ZZ ^m { A , B } )
17	7, 16	eleqtrri 2489	. . 3 |- F e. ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } )
18		3z 10938	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
19		6nn 10738	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
20	19	nnzi 10929	. . . . . 6 |- 6 e. ZZ
21	1	zlmodzxzel 38455	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
22	18, 20, 21	mp2an 670	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z )
23		2z 10937	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
24		4z 10939	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
25	1	zlmodzxzel 38455	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) )
26	23, 24, 25	mp2an 670	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z )
27	4	eleq1i 2479	. . . . . 6 |- ( A e. ( Base ` Z ) <-> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
28	5	eleq1i 2479	. . . . . 6 |- ( B e. ( Base ` Z ) <-> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) )
29	27, 28	anbi12i 695	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) <-> ( { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) /\ { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) ) )
30	22, 26, 29	mpbir2an 921	. . . 4 |- ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) )
31		prelpwi 4638	. . . 4 |- ( ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) -> { A , B } e. ~P ( Base ` Z ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 |- { A , B } e. ~P ( Base ` Z )
33		lincval 38521	. . 3 |- ( ( Z e. _V /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } ) /\ { A , B } e. ~P ( Base ` Z ) ) -> ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) )
34	3, 17, 32, 33	mp3an 1326	. 2 |- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) )
35		lmodcmn 17878	. . . . 5 |- ( Z e. LMod -> Z e. CMnd )
36	35	adantr 463	. . . 4 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> Z e. CMnd )
37	8, 36	ax-mp 5	. . 3 |- Z e. CMnd
38		prex 4633	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. _V
39	4, 38	eqeltri 2486	. . . 4 |- A e. _V
40		prex 4633	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. _V
41	5, 40	eqeltri 2486	. . . 4 |- B e. _V
42	1, 4, 5	zlmodzxzldeplem 38610	. . . 4 |- A =/= B
43	39, 41, 42	3pm3.2i 1175	. . 3 |- ( A e. _V /\ B e. _V /\ A =/= B )
44	8	simpli 456	. . . . 5 |- Z e. LMod
45		elmapi 7478	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ZZ ^m { A , B } ) -> F : { A , B } --> ZZ )
46	39	prid1 4080	. . . . . . . 8 |- A e. { A , B }
47		ffvelrn 6007	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A , B } --> ZZ /\ A e. { A , B } ) -> ( F ` A ) e. ZZ )
48	46, 47	mpan2 669	. . . . . . 7 |- ( F : { A , B } --> ZZ -> ( F ` A ) e. ZZ )
49	7, 45, 48	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( F ` A ) e. ZZ
50	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ℤring = (Scalar ` Z )
51	50	eqcomi 2415	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` Z ) = ℤring
52	51	fveq2i 5852	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` ℤring )
53	52, 14	eqtri 2431	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ZZ
54	49, 53	eleqtrri 2489	. . . . 5 |- ( F ` A ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) )
55	4, 22	eqeltri 2486	. . . . 5 |- A e. ( Base ` Z )
56		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
57		eqid 2402	. . . . . 6 |- (Scalar ` Z ) = (Scalar ` Z )
58		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( .s ` Z ) = ( .s ` Z )
59		eqid 2402	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` (Scalar ` Z ) )
60	56, 57, 58, 59	lmodvscl 17849	. . . . 5 |- ( ( Z e. LMod /\ ( F ` A ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) ) /\ A e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) )
61	44, 54, 55, 60	mp3an 1326	. . . 4 |- ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z )
62	41	prid2 4081	. . . . . . . 8 |- B e. { A , B }
63		ffvelrn 6007	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A , B } --> ZZ /\ B e. { A , B } ) -> ( F ` B ) e. ZZ )
64	62, 63	mpan2 669	. . . . . . 7 |- ( F : { A , B } --> ZZ -> ( F ` B ) e. ZZ )
65	7, 45, 64	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( F ` B ) e. ZZ
66	65, 53	eleqtrri 2489	. . . . 5 |- ( F ` B ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) )
67	5, 26	eqeltri 2486	. . . . 5 |- B e. ( Base ` Z )
68	56, 57, 58, 59	lmodvscl 17849	. . . . 5 |- ( ( Z e. LMod /\ ( F ` B ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) )
69	44, 66, 67, 68	mp3an 1326	. . . 4 |- ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z )
70	61, 69	pm3.2i 453	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) /\ ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) )
71		eqid 2402	. . . 4 |- ( +g ` Z ) = ( +g ` Z )
72		fveq2 5849	. . . . 5 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
73		id 22	. . . . 5 |- ( x = A -> x = A )
74	72, 73	oveq12d 6296	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) = ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) )
75		fveq2 5849	. . . . 5 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
76		id 22	. . . . 5 |- ( x = B -> x = B )
77	75, 76	oveq12d 6296	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) = ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) )
78	56, 71, 74, 77	gsumpr 38461	. . 3 |- ( ( Z e. CMnd /\ ( A e. _V /\ B e. _V /\ A =/= B ) /\ ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) /\ ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) ) ) -> ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) = ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) )
79	37, 43, 70, 78	mp3an 1326	. 2 |- ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) = ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) )
80	6	fveq1i 5850	. . . . . 6 |- ( F ` A ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A )
81		2ex 10648	. . . . . . . 8 |- 2 e. _V
82	39, 81	fvpr1 6094	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2 )
83	42, 82	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2
84	80, 83	eqtri 2431	. . . . 5 |- ( F ` A ) = 2
85	84	oveq1i 6288	. . . 4 |- ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) = ( 2 ( .s ` Z ) A )
86	6	fveq1i 5850	. . . . . 6 |- ( F ` B ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B )
87		negex 9854	. . . . . . . 8 |- -u 3 e. _V
88	41, 87	fvpr2 6095	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B ) = -u 3 )
89	42, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B ) = -u 3
90	86, 89	eqtri 2431	. . . . 5 |- ( F ` B ) = -u 3
91	90	oveq1i 6288	. . . 4 |- ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) = ( -u 3 ( .s ` Z ) B )
92	85, 91	oveq12i 6290	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) = ( ( 2 ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( -u 3 ( .s ` Z ) B ) )
93		eqid 2402	. . . . . 6 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
94	1, 93	zlmodzxz0 38456	. . . . 5 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = ( 0g ` Z )
95	94	eqcomi 2415	. . . 4 |- ( 0g ` Z ) = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
96	1, 4, 5, 95, 71, 58	zlmodzxzequap 38611	. . 3 |- ( ( 2 ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( -u 3 ( .s ` Z ) B ) ) = ( 0g ` Z )
97	92, 96	eqtri 2431	. 2 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) = ( 0g ` Z )
98	34, 79, 97	3eqtri 2435	1 |- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( 0g ` Z )

Syntax hints:   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   _Vcvv 3059   ~Pcpw 3955   {cpr 3974   <.cop 3978   |-> cmpt 4453   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   ^m cmap 7457   0cc0 9522   1c1 9523   -ucneg 9842   2c2 10626   3c3 10627   4c4 10628   6c6 10630   ZZcz 10905   Basecbs 14841   +g cplusg 14909  Scalarcsca 14912   .scvsca 14913   0gc0g 15054   gsum_g cgsu 15055  CMndccmn 17122   LModclmod 17832  ℤ_ringzring 18808   freeLMod cfrlm 19075   linC clinc 38516

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-addf 9601  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-prds 15062  df-pws 15064  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-cnfld 18741  df-zring 18809  df-dsmm 19061  df-frlm 19076  df-linc 38518

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  38616