Theorem zlmodzxzldeplem3 39569

Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 39571. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
zlmodzxzldeplem.f	|- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem3	|- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( 0g ` Z )

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlmodzxzldep.z	. . . 4 |- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
2		ovex 6330	. . . 4 |- (ℤring freeLMod { 0 , 1 } ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2506	. . 3 |- Z e. _V
4		zlmodzxzldep.a	. . . . 5 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
5		zlmodzxzldep.b	. . . . 5 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
6		zlmodzxzldeplem.f	. . . . 5 |- F = { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. }
7	1, 4, 5, 6	zlmodzxzldeplem1 39567	. . . 4 |- F e. ( ZZ ^m { A , B } )
8	1	zlmodzxzlmod 39409	. . . . . . . 8 |- ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) )
9		simpr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> ℤring = (Scalar ` Z ) )
10	9	eqcomd 2430	. . . . . . . 8 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> (Scalar ` Z ) = ℤring )
11	8, 10	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (Scalar ` Z ) = ℤring
12	11	fveq2i 5881	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` ℤring )
13		zringbas 19032	. . . . . . 7 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
14	13	eqcomi 2435	. . . . . 6 |- ( Base ` ℤring ) = ZZ
15	12, 14	eqtri 2451	. . . . 5 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ZZ
16	15	oveq1i 6312	. . . 4 |- ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } ) = ( ZZ ^m { A , B } )
17	7, 16	eleqtrri 2509	. . 3 |- F e. ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } )
18		3z 10971	. . . . . 6 |- 3 e. ZZ
19		6nn 10772	. . . . . . 7 |- 6 e. NN
20	19	nnzi 10962	. . . . . 6 |- 6 e. ZZ
21	1	zlmodzxzel 39410	. . . . . 6 |- ( ( 3 e. ZZ /\ 6 e. ZZ ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
22	18, 20, 21	mp2an 676	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z )
23		2z 10970	. . . . . 6 |- 2 e. ZZ
24		4z 10972	. . . . . 6 |- 4 e. ZZ
25	1	zlmodzxzel 39410	. . . . . 6 |- ( ( 2 e. ZZ /\ 4 e. ZZ ) -> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) )
26	23, 24, 25	mp2an 676	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z )
27	4	eleq1i 2499	. . . . . 6 |- ( A e. ( Base ` Z ) <-> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) )
28	5	eleq1i 2499	. . . . . 6 |- ( B e. ( Base ` Z ) <-> { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) )
29	27, 28	anbi12i 701	. . . . 5 |- ( ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) <-> ( { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. ( Base ` Z ) /\ { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. ( Base ` Z ) ) )
30	22, 26, 29	mpbir2an 928	. . . 4 |- ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) )
31		prelpwi 4665	. . . 4 |- ( ( A e. ( Base ` Z ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) -> { A , B } e. ~P ( Base ` Z ) )
32	30, 31	ax-mp 5	. . 3 |- { A , B } e. ~P ( Base ` Z )
33		lincval 39476	. . 3 |- ( ( Z e. _V /\ F e. ( ( Base ` (Scalar ` Z ) ) ^m { A , B } ) /\ { A , B } e. ~P ( Base ` Z ) ) -> ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) )
34	3, 17, 32, 33	mp3an 1360	. 2 |- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) )
35		lmodcmn 18124	. . . . 5 |- ( Z e. LMod -> Z e. CMnd )
36	35	adantr 466	. . . 4 |- ( ( Z e. LMod /\ ℤring = (Scalar ` Z ) ) -> Z e. CMnd )
37	8, 36	ax-mp 5	. . 3 |- Z e. CMnd
38		prex 4660	. . . . 5 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } e. _V
39	4, 38	eqeltri 2506	. . . 4 |- A e. _V
40		prex 4660	. . . . 5 |- { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } e. _V
41	5, 40	eqeltri 2506	. . . 4 |- B e. _V
42	1, 4, 5	zlmodzxzldeplem 39565	. . . 4 |- A =/= B
43	39, 41, 42	3pm3.2i 1183	. . 3 |- ( A e. _V /\ B e. _V /\ A =/= B )
44	8	simpli 459	. . . . 5 |- Z e. LMod
45		elmapi 7498	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ZZ ^m { A , B } ) -> F : { A , B } --> ZZ )
46	39	prid1 4105	. . . . . . . 8 |- A e. { A , B }
47		ffvelrn 6032	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A , B } --> ZZ /\ A e. { A , B } ) -> ( F ` A ) e. ZZ )
48	46, 47	mpan2 675	. . . . . . 7 |- ( F : { A , B } --> ZZ -> ( F ` A ) e. ZZ )
49	7, 45, 48	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( F ` A ) e. ZZ
50	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ℤring = (Scalar ` Z )
51	50	eqcomi 2435	. . . . . . . 8 |- (Scalar ` Z ) = ℤring
52	51	fveq2i 5881	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` ℤring )
53	52, 14	eqtri 2451	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ZZ
54	49, 53	eleqtrri 2509	. . . . 5 |- ( F ` A ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) )
55	4, 22	eqeltri 2506	. . . . 5 |- A e. ( Base ` Z )
56		eqid 2422	. . . . . 6 |- ( Base ` Z ) = ( Base ` Z )
57		eqid 2422	. . . . . 6 |- (Scalar ` Z ) = (Scalar ` Z )
58		eqid 2422	. . . . . 6 |- ( .s ` Z ) = ( .s ` Z )
59		eqid 2422	. . . . . 6 |- ( Base ` (Scalar ` Z ) ) = ( Base ` (Scalar ` Z ) )
60	56, 57, 58, 59	lmodvscl 18096	. . . . 5 |- ( ( Z e. LMod /\ ( F ` A ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) ) /\ A e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) )
61	44, 54, 55, 60	mp3an 1360	. . . 4 |- ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z )
62	41	prid2 4106	. . . . . . . 8 |- B e. { A , B }
63		ffvelrn 6032	. . . . . . . 8 |- ( ( F : { A , B } --> ZZ /\ B e. { A , B } ) -> ( F ` B ) e. ZZ )
64	62, 63	mpan2 675	. . . . . . 7 |- ( F : { A , B } --> ZZ -> ( F ` B ) e. ZZ )
65	7, 45, 64	mp2b 10	. . . . . 6 |- ( F ` B ) e. ZZ
66	65, 53	eleqtrri 2509	. . . . 5 |- ( F ` B ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) )
67	5, 26	eqeltri 2506	. . . . 5 |- B e. ( Base ` Z )
68	56, 57, 58, 59	lmodvscl 18096	. . . . 5 |- ( ( Z e. LMod /\ ( F ` B ) e. ( Base ` (Scalar ` Z ) ) /\ B e. ( Base ` Z ) ) -> ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) )
69	44, 66, 67, 68	mp3an 1360	. . . 4 |- ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z )
70	61, 69	pm3.2i 456	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) /\ ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) )
71		eqid 2422	. . . 4 |- ( +g ` Z ) = ( +g ` Z )
72		fveq2 5878	. . . . 5 |- ( x = A -> ( F ` x ) = ( F ` A ) )
73		id 23	. . . . 5 |- ( x = A -> x = A )
74	72, 73	oveq12d 6320	. . . 4 |- ( x = A -> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) = ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) )
75		fveq2 5878	. . . . 5 |- ( x = B -> ( F ` x ) = ( F ` B ) )
76		id 23	. . . . 5 |- ( x = B -> x = B )
77	75, 76	oveq12d 6320	. . . 4 |- ( x = B -> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) = ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) )
78	56, 71, 74, 77	gsumpr 39416	. . 3 |- ( ( Z e. CMnd /\ ( A e. _V /\ B e. _V /\ A =/= B ) /\ ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) e. ( Base ` Z ) /\ ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) e. ( Base ` Z ) ) ) -> ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) = ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) )
79	37, 43, 70, 78	mp3an 1360	. 2 |- ( Z gsumg ( x e. { A , B } |-> ( ( F ` x ) ( .s ` Z ) x ) ) ) = ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) )
80	6	fveq1i 5879	. . . . . 6 |- ( F ` A ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A )
81		2ex 10682	. . . . . . . 8 |- 2 e. _V
82	39, 81	fvpr1 6119	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2 )
83	42, 82	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` A ) = 2
84	80, 83	eqtri 2451	. . . . 5 |- ( F ` A ) = 2
85	84	oveq1i 6312	. . . 4 |- ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) = ( 2 ( .s ` Z ) A )
86	6	fveq1i 5879	. . . . . 6 |- ( F ` B ) = ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B )
87		negex 9874	. . . . . . . 8 |- -u 3 e. _V
88	41, 87	fvpr2 6120	. . . . . . 7 |- ( A =/= B -> ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B ) = -u 3 )
89	42, 88	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. A , 2 >. , <. B , -u 3 >. } ` B ) = -u 3
90	86, 89	eqtri 2451	. . . . 5 |- ( F ` B ) = -u 3
91	90	oveq1i 6312	. . . 4 |- ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) = ( -u 3 ( .s ` Z ) B )
92	85, 91	oveq12i 6314	. . 3 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) = ( ( 2 ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( -u 3 ( .s ` Z ) B ) )
93		eqid 2422	. . . . . 6 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
94	1, 93	zlmodzxz0 39411	. . . . 5 |- { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. } = ( 0g ` Z )
95	94	eqcomi 2435	. . . 4 |- ( 0g ` Z ) = { <. 0 , 0 >. , <. 1 , 0 >. }
96	1, 4, 5, 95, 71, 58	zlmodzxzequap 39566	. . 3 |- ( ( 2 ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( -u 3 ( .s ` Z ) B ) ) = ( 0g ` Z )
97	92, 96	eqtri 2451	. 2 |- ( ( ( F ` A ) ( .s ` Z ) A ) ( +g ` Z ) ( ( F ` B ) ( .s ` Z ) B ) ) = ( 0g ` Z )
98	34, 79, 97	3eqtri 2455	1 |- ( F ( linC ` Z ) { A , B } ) = ( 0g ` Z )

Syntax hints:   /\ wa 370   /\ w3a 982   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   _Vcvv 3081   ~Pcpw 3979   {cpr 3998   <.cop 4002   |-> cmpt 4479   -->wf 5594   ` cfv 5598  (class class class)co 6302   ^m cmap 7477   0cc0 9540   1c1 9541   -ucneg 9862   2c2 10660   3c3 10661   4c4 10662   6c6 10664   ZZcz 10938   Basecbs 15109   +g cplusg 15178  Scalarcsca 15181   .scvsca 15182   0gc0g 15326   gsum_g cgsu 15327  CMndccmn 17418   LModclmod 18079  ℤ_ringzring 19026   freeLMod cfrlm 19296   linC clinc 39471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4552  ax-pow 4599  ax-pr 4657  ax-un 6594  ax-inf2 8149  ax-cnex 9596  ax-resscn 9597  ax-1cn 9598  ax-icn 9599  ax-addcl 9600  ax-addrcl 9601  ax-mulcl 9602  ax-mulrcl 9603  ax-mulcom 9604  ax-addass 9605  ax-mulass 9606  ax-distr 9607  ax-i2m1 9608  ax-1ne0 9609  ax-1rid 9610  ax-rnegex 9611  ax-rrecex 9612  ax-cnre 9613  ax-pre-lttri 9614  ax-pre-lttrn 9615  ax-pre-ltadd 9616  ax-pre-mulgt0 9617  ax-addf 9619  ax-mulf 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-iin 4299  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4761  df-id 4765  df-po 4771  df-so 4772  df-fr 4809  df-se 4810  df-we 4811  df-xp 4856  df-rel 4857  df-cnv 4858  df-co 4859  df-dm 4860  df-rn 4861  df-res 4862  df-ima 4863  df-pred 5396  df-ord 5442  df-on 5443  df-lim 5444  df-suc 5445  df-iota 5562  df-fun 5600  df-fn 5601  df-f 5602  df-f1 5603  df-fo 5604  df-f1o 5605  df-fv 5606  df-isom 5607  df-riota 6264  df-ov 6305  df-oprab 6306  df-mpt2 6307  df-of 6542  df-om 6704  df-1st 6804  df-2nd 6805  df-supp 6923  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-ixp 7528  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-fsupp 7887  df-sup 7959  df-oi 8028  df-card 8375  df-pnf 9678  df-mnf 9679  df-xr 9680  df-ltxr 9681  df-le 9682  df-sub 9863  df-neg 9864  df-nn 10611  df-2 10669  df-3 10670  df-4 10671  df-5 10672  df-6 10673  df-7 10674  df-8 10675  df-9 10676  df-10 10677  df-n0 10871  df-z 10939  df-dec 11053  df-uz 11161  df-fz 11786  df-fzo 11917  df-seq 12214  df-hash 12516  df-struct 15111  df-ndx 15112  df-slot 15113  df-base 15114  df-sets 15115  df-ress 15116  df-plusg 15191  df-mulr 15192  df-starv 15193  df-sca 15194  df-vsca 15195  df-ip 15196  df-tset 15197  df-ple 15198  df-ds 15200  df-unif 15201  df-hom 15202  df-cco 15203  df-0g 15328  df-gsum 15329  df-prds 15334  df-pws 15336  df-mre 15480  df-mrc 15481  df-acs 15483  df-mgm 16476  df-sgrp 16515  df-mnd 16525  df-submnd 16571  df-grp 16661  df-minusg 16662  df-sbg 16663  df-mulg 16664  df-subg 16802  df-cntz 16959  df-cmn 17420  df-abl 17421  df-mgp 17712  df-ur 17724  df-ring 17770  df-cring 17771  df-subrg 17994  df-lmod 18081  df-lss 18144  df-sra 18383  df-rgmod 18384  df-cnfld 18959  df-zring 19027  df-dsmm 19282  df-frlm 19297  df-linc 39473

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  39571