Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem3 Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem3 38614
Description: Lemma 3 for zlmodzxzldep 38616. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
zlmodzxzldeplem.f  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem3  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( 0g
`  Z )

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem3
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxzldep.z . . . 4  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
2 ovex 6306 . . . 4  |-  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )  e. 
_V
31, 2eqeltri 2486 . . 3  |-  Z  e. 
_V
4 zlmodzxzldep.a . . . . 5  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
5 zlmodzxzldep.b . . . . 5  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
6 zlmodzxzldeplem.f . . . . 5  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
71, 4, 5, 6zlmodzxzldeplem1 38612 . . . 4  |-  F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)
81zlmodzxzlmod 38454 . . . . . . . 8  |-  ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z
) )
9 simpr 459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->ring  =  (Scalar `  Z ) )
109eqcomd 2410 . . . . . . . 8  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  -> 
(Scalar `  Z )  =ring )
118, 10ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  Z )  =ring
1211fveq2i 5852 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base ` ring )
13 zringbas 18814 . . . . . . 7  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
1413eqcomi 2415 . . . . . 6  |-  ( Base ` ring )  =  ZZ
1512, 14eqtri 2431 . . . . 5  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ZZ
1615oveq1i 6288 . . . 4  |-  ( (
Base `  (Scalar `  Z
) )  ^m  { A ,  B }
)  =  ( ZZ 
^m  { A ,  B } )
177, 16eleqtrri 2489 . . 3  |-  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  Z ) )  ^m  { A ,  B }
)
18 3z 10938 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
19 6nn 10738 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
2019nnzi 10929 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
211zlmodzxzel 38455 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2218, 20, 21mp2an 670 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  Z )
23 2z 10937 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
24 4z 10939 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
251zlmodzxzel 38455 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2623, 24, 25mp2an 670 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  Z )
274eleq1i 2479 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( Base `  Z
)  <->  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
285eleq1i 2479 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ( Base `  Z
)  <->  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }  e.  (
Base `  Z )
)
2927, 28anbi12i 695 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( Base `  Z )  /\  B  e.  ( Base `  Z
) )  <->  ( { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6
>. }  e.  ( Base `  Z )  /\  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4
>. }  e.  ( Base `  Z ) ) )
3022, 26, 29mpbir2an 921 . . . 4  |-  ( A  e.  ( Base `  Z
)  /\  B  e.  ( Base `  Z )
)
31 prelpwi 4638 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( Base `  Z )  /\  B  e.  ( Base `  Z
) )  ->  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
)
3230, 31ax-mp 5 . . 3  |-  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
33 lincval 38521 . . 3  |-  ( ( Z  e.  _V  /\  F  e.  ( ( Base `  (Scalar `  Z
) )  ^m  { A ,  B }
)  /\  { A ,  B }  e.  ~P ( Base `  Z )
)  ->  ( F
( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) ) )
343, 17, 32, 33mp3an 1326 . 2  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) )
35 lmodcmn 17878 . . . . 5  |-  ( Z  e.  LMod  ->  Z  e. CMnd
)
3635adantr 463 . . . 4  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\ring  =  (Scalar `  Z ) )  ->  Z  e. CMnd )
378, 36ax-mp 5 . . 3  |-  Z  e. CMnd
38 prex 4633 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
394, 38eqeltri 2486 . . . 4  |-  A  e. 
_V
40 prex 4633 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
415, 40eqeltri 2486 . . . 4  |-  B  e. 
_V
421, 4, 5zlmodzxzldeplem 38610 . . . 4  |-  A  =/= 
B
4339, 41, 423pm3.2i 1175 . . 3  |-  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A  =/= 
B )
448simpli 456 . . . . 5  |-  Z  e. 
LMod
45 elmapi 7478 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)  ->  F : { A ,  B } --> ZZ )
4639prid1 4080 . . . . . . . 8  |-  A  e. 
{ A ,  B }
47 ffvelrn 6007 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A ,  B } --> ZZ  /\  A  e.  { A ,  B } )  -> 
( F `  A
)  e.  ZZ )
4846, 47mpan2 669 . . . . . . 7  |-  ( F : { A ,  B } --> ZZ  ->  ( F `  A )  e.  ZZ )
497, 45, 48mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( F `
 A )  e.  ZZ
508, 9ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-ring  =  (Scalar `  Z
)
5150eqcomi 2415 . . . . . . . 8  |-  (Scalar `  Z )  =ring
5251fveq2i 5852 . . . . . . 7  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base ` ring )
5352, 14eqtri 2431 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ZZ
5449, 53eleqtrri 2489 . . . . 5  |-  ( F `
 A )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )
554, 22eqeltri 2486 . . . . 5  |-  A  e.  ( Base `  Z
)
56 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
57 eqid 2402 . . . . . 6  |-  (Scalar `  Z )  =  (Scalar `  Z )
58 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( .s
`  Z )  =  ( .s `  Z
)
59 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( Base `  (Scalar `  Z )
)  =  ( Base `  (Scalar `  Z )
)
6056, 57, 58, 59lmodvscl 17849 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  ( F `  A )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )  /\  A  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  e.  ( Base `  Z ) )
6144, 54, 55, 60mp3an 1326 . . . 4  |-  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A )  e.  ( Base `  Z
)
6241prid2 4081 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
{ A ,  B }
63 ffvelrn 6007 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : { A ,  B } --> ZZ  /\  B  e.  { A ,  B } )  -> 
( F `  B
)  e.  ZZ )
6462, 63mpan2 669 . . . . . . 7  |-  ( F : { A ,  B } --> ZZ  ->  ( F `  B )  e.  ZZ )
657, 45, 64mp2b 10 . . . . . 6  |-  ( F `
 B )  e.  ZZ
6665, 53eleqtrri 2489 . . . . 5  |-  ( F `
 B )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )
675, 26eqeltri 2486 . . . . 5  |-  B  e.  ( Base `  Z
)
6856, 57, 58, 59lmodvscl 17849 . . . . 5  |-  ( ( Z  e.  LMod  /\  ( F `  B )  e.  ( Base `  (Scalar `  Z ) )  /\  B  e.  ( Base `  Z ) )  -> 
( ( F `  B ) ( .s
`  Z ) B )  e.  ( Base `  Z ) )
6944, 66, 67, 68mp3an 1326 . . . 4  |-  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B )  e.  ( Base `  Z
)
7061, 69pm3.2i 453 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A )  e.  ( Base `  Z
)  /\  ( ( F `  B )
( .s `  Z
) B )  e.  ( Base `  Z
) )
71 eqid 2402 . . . 4  |-  ( +g  `  Z )  =  ( +g  `  Z )
72 fveq2 5849 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( F `  x )  =  ( F `  A ) )
73 id 22 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  x  =  A )
7472, 73oveq12d 6296 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( F `  x
) ( .s `  Z ) x )  =  ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) )
75 fveq2 5849 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  ( F `  x )  =  ( F `  B ) )
76 id 22 . . . . 5  |-  ( x  =  B  ->  x  =  B )
7775, 76oveq12d 6296 . . . 4  |-  ( x  =  B  ->  (
( F `  x
) ( .s `  Z ) x )  =  ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
7856, 71, 74, 77gsumpr 38461 . . 3  |-  ( ( Z  e. CMnd  /\  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V  /\  A  =/= 
B )  /\  (
( ( F `  A ) ( .s
`  Z ) A )  e.  ( Base `  Z )  /\  (
( F `  B
) ( .s `  Z ) B )  e.  ( Base `  Z
) ) )  -> 
( Z  gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s
`  Z ) x ) ) )  =  ( ( ( F `
 A ) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z ) ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B ) ) )
7937, 43, 70, 78mp3an 1326 . 2  |-  ( Z 
gsumg  ( x  e.  { A ,  B }  |->  ( ( F `  x ) ( .s `  Z
) x ) ) )  =  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )
806fveq1i 5850 . . . . . 6  |-  ( F `
 A )  =  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)
81 2ex 10648 . . . . . . . 8  |-  2  e.  _V
8239, 81fvpr1 6094 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  A
)  =  2 )
8342, 82ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  2 >. ,  <. B ,  -u
3 >. } `  A
)  =  2
8480, 83eqtri 2431 . . . . 5  |-  ( F `
 A )  =  2
8584oveq1i 6288 . . . 4  |-  ( ( F `  A ) ( .s `  Z
) A )  =  ( 2 ( .s
`  Z ) A )
866fveq1i 5850 . . . . . 6  |-  ( F `
 B )  =  ( { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  B
)
87 negex 9854 . . . . . . . 8  |-  -u 3  e.  _V
8841, 87fvpr2 6095 . . . . . . 7  |-  ( A  =/=  B  ->  ( { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. } `  B
)  =  -u 3
)
8942, 88ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. A ,  2 >. ,  <. B ,  -u
3 >. } `  B
)  =  -u 3
9086, 89eqtri 2431 . . . . 5  |-  ( F `
 B )  = 
-u 3
9190oveq1i 6288 . . . 4  |-  ( ( F `  B ) ( .s `  Z
) B )  =  ( -u 3 ( .s `  Z ) B )
9285, 91oveq12i 6290 . . 3  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )  =  ( ( 2 ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z ) ( -u
3 ( .s `  Z ) B ) )
93 eqid 2402 . . . . . 6  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
941, 93zlmodzxz0 38456 . . . . 5  |-  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }  =  ( 0g
`  Z )
9594eqcomi 2415 . . . 4  |-  ( 0g
`  Z )  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
961, 4, 5, 95, 71, 58zlmodzxzequap 38611 . . 3  |-  ( ( 2 ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( -u 3
( .s `  Z
) B ) )  =  ( 0g `  Z )
9792, 96eqtri 2431 . 2  |-  ( ( ( F `  A
) ( .s `  Z ) A ) ( +g  `  Z
) ( ( F `
 B ) ( .s `  Z ) B ) )  =  ( 0g `  Z
)
9834, 79, 973eqtri 2435 1  |-  ( F ( linC  `  Z ) { A ,  B }
)  =  ( 0g
`  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3059   ~Pcpw 3955   {cpr 3974   <.cop 3978    |-> cmpt 4453   -->wf 5565   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    ^m cmap 7457   0cc0 9522   1c1 9523   -ucneg 9842   2c2 10626   3c3 10627   4c4 10628   6c6 10630   ZZcz 10905   Basecbs 14841   +g cplusg 14909  Scalarcsca 14912   .scvsca 14913   0gc0g 15054    gsumg cgsu 15055  CMndccmn 17122   LModclmod 17832  ℤringzring 18808   freeLMod cfrlm 19075   linC clinc 38516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-seq 12152  df-hash 12453  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-prds 15062  df-pws 15064  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-grp 16381  df-minusg 16382  df-sbg 16383  df-mulg 16384  df-subg 16522  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-abl 17125  df-mgp 17462  df-ur 17474  df-ring 17520  df-cring 17521  df-subrg 17747  df-lmod 17834  df-lss 17899  df-sra 18138  df-rgmod 18139  df-cnfld 18741  df-zring 18809  df-dsmm 19061  df-frlm 19076  df-linc 38518
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldep  38616
  Copyright terms: Public domain W3C validator