Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem1 Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem1 31156
Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 31160. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
zlmodzxzldeplem.f  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem1  |-  F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1
StepHypRef Expression
1 zex 10761 . 2  |-  ZZ  e.  _V
2 prex 4637 . 2  |-  { A ,  B }  e.  _V
3 zlmodzxzldep.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
4 prex 4637 . . . . . . . 8  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
53, 4eqeltri 2536 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
6 zlmodzxzldep.b . . . . . . . 8  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
7 prex 4637 . . . . . . . 8  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
86, 7eqeltri 2536 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
95, 8pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
11 2z 10784 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
12 3nn0 10703 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
1312nn0negzi 10790 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  ZZ
1411, 13pm3.2i 455 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  /\  -u 3  e.  ZZ )
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  (
2  e.  ZZ  /\  -u 3  e.  ZZ ) )
16 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
1716, 3, 6zlmodzxzldeplem 31154 . . . . . 6  |-  A  =/= 
B
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  A  =/=  B )
19 fprg 5995 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  -u 3  e.  ZZ )  /\  A  =/=  B
)  ->  { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } : { A ,  B } --> { 2 ,  -u
3 } )
20 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . 7  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
2120feq1i 5654 . . . . . 6  |-  ( F : { A ,  B } --> { 2 , 
-u 3 }  <->  { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } : { A ,  B } --> { 2 ,  -u
3 } )
2219, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  -u 3  e.  ZZ )  /\  A  =/=  B
)  ->  F : { A ,  B } --> { 2 ,  -u
3 } )
2310, 15, 18, 22syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  F : { A ,  B }
--> { 2 ,  -u
3 } )
24 prssi 4132 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  -u 3  e.  ZZ )  ->  { 2 , 
-u 3 }  C_  ZZ )
2511, 13, 24mp2an 672 . . . 4  |-  { 2 ,  -u 3 }  C_  ZZ
26 fss 5670 . . . 4  |-  ( ( F : { A ,  B } --> { 2 ,  -u 3 }  /\  { 2 ,  -u 3 }  C_  ZZ )  ->  F : { A ,  B } --> ZZ )
2723, 25, 26sylancl 662 . . 3  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  F : { A ,  B }
--> ZZ )
28 elmapg 7332 . . 3  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( ZZ  ^m 
{ A ,  B } )  <->  F : { A ,  B } --> ZZ ) )
2927, 28mpbird 232 . 2  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
) )
301, 2, 29mp2an 672 1  |-  F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2645   _Vcvv 3072    C_ wss 3431   {cpr 3982   <.cop 3986   -->wf 5517  (class class class)co 6195    ^m cmap 7319   0cc0 9388   1c1 9389   -ucneg 9702   2c2 10477   3c3 10478   4c4 10479   6c6 10481   ZZcz 10752  ℤringzring 18003   freeLMod cfrlm 18291
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-iun 4276  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-om 6582  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-er 7206  df-map 7321  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-n0 10686  df-z 10753
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  31157  zlmodzxzldeplem3  31158  zlmodzxzldep  31160
  Copyright terms: Public domain W3C validator