Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem1 Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem1 33355
Description: Lemma 1 for zlmodzxzldep 33359. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
zlmodzxzldeplem.f  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem1  |-  F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem1
StepHypRef Expression
1 zex 10869 . 2  |-  ZZ  e.  _V
2 prex 4679 . 2  |-  { A ,  B }  e.  _V
3 zlmodzxzldep.a . . . . . . . 8  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
4 prex 4679 . . . . . . . 8  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  e.  _V
53, 4eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  A  e. 
_V
6 zlmodzxzldep.b . . . . . . . 8  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
7 prex 4679 . . . . . . . 8  |-  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }  e.  _V
86, 7eqeltri 2538 . . . . . . 7  |-  B  e. 
_V
95, 8pm3.2i 453 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )
109a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V ) )
11 2z 10892 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
12 3nn0 10809 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN0
1312nn0negzi 10899 . . . . . . 7  |-  -u 3  e.  ZZ
1411, 13pm3.2i 453 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  ZZ  /\  -u 3  e.  ZZ )
1514a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  (
2  e.  ZZ  /\  -u 3  e.  ZZ ) )
16 zlmodzxzldep.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
1716, 3, 6zlmodzxzldeplem 33353 . . . . . 6  |-  A  =/= 
B
1817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  A  =/=  B )
19 fprg 6056 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  -u 3  e.  ZZ )  /\  A  =/=  B
)  ->  { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } : { A ,  B } --> { 2 ,  -u
3 } )
20 zlmodzxzldeplem.f . . . . . . 7  |-  F  =  { <. A ,  2
>. ,  <. B ,  -u 3 >. }
2120feq1i 5705 . . . . . 6  |-  ( F : { A ,  B } --> { 2 , 
-u 3 }  <->  { <. A , 
2 >. ,  <. B ,  -u 3 >. } : { A ,  B } --> { 2 ,  -u
3 } )
2219, 21sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  _V  /\  B  e.  _V )  /\  ( 2  e.  ZZ  /\  -u 3  e.  ZZ )  /\  A  =/=  B
)  ->  F : { A ,  B } --> { 2 ,  -u
3 } )
2310, 15, 18, 22syl3anc 1226 . . . 4  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  F : { A ,  B }
--> { 2 ,  -u
3 } )
24 prssi 4172 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  -u 3  e.  ZZ )  ->  { 2 , 
-u 3 }  C_  ZZ )
2511, 13, 24mp2an 670 . . . 4  |-  { 2 ,  -u 3 }  C_  ZZ
26 fss 5721 . . . 4  |-  ( ( F : { A ,  B } --> { 2 ,  -u 3 }  /\  { 2 ,  -u 3 }  C_  ZZ )  ->  F : { A ,  B } --> ZZ )
2723, 25, 26sylancl 660 . . 3  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  F : { A ,  B }
--> ZZ )
28 elmapg 7425 . . 3  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  ( F  e.  ( ZZ  ^m 
{ A ,  B } )  <->  F : { A ,  B } --> ZZ ) )
2927, 28mpbird 232 . 2  |-  ( ( ZZ  e.  _V  /\  { A ,  B }  e.  _V )  ->  F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
) )
301, 2, 29mp2an 670 1  |-  F  e.  ( ZZ  ^m  { A ,  B }
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    =/= wne 2649   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   {cpr 4018   <.cop 4022   -->wf 5566  (class class class)co 6270    ^m cmap 7412   0cc0 9481   1c1 9482   -ucneg 9797   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   6c6 10585   ZZcz 10860  ℤringzring 18683   freeLMod cfrlm 18950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-n0 10792  df-z 10861
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem2  33356  zlmodzxzldeplem3  33357  zlmodzxzldep  33359
  Copyright terms: Public domain W3C validator