Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem 39912
Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem  |-  A  =/= 
B

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem
StepHypRef Expression
1 opex 4685 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  e.  _V
2 opex 4685 . . . . 5  |-  <. 1 ,  6 >.  e.  _V
31, 2pm3.2i 456 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V )
4 opex 4685 . . . . 5  |-  <. 0 ,  2 >.  e.  _V
5 opex 4685 . . . . 5  |-  <. 1 ,  4 >.  e.  _V
64, 5pm3.2i 456 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V )
73, 6pm3.2i 456 . . 3  |-  ( (
<. 0 ,  3
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e. 
_V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )
8 2re 10686 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
9 2lt3 10784 . . . . . . . 8  |-  2  <  3
108, 9gtneii 9753 . . . . . . 7  |-  3  =/=  2
1110olci 392 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  0  \/  3  =/=  2 )
12 c0ex 9644 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
13 3ex 10692 . . . . . . 7  |-  3  e.  _V
1412, 13opthne 4701 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  3  =/=  2
) )
1511, 14mpbir 212 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2 >.
16 0ne1 10684 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
1716orci 391 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  1  \/  3  =/=  4 )
1812, 13opthne 4701 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  3  =/=  4
) )
1917, 18mpbir 212 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 1 ,  4 >.
2015, 19pm3.2i 456 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )
2120orci 391 . . 3  |-  ( (
<. 0 ,  3
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  6 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  6
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )
22 prneimg 4181 . . 3  |-  ( ( ( <. 0 ,  3
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e. 
_V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )  ->  (
( ( <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2 >.  /\ 
<. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  6 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  6
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )  ->  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } ) )
237, 21, 22mp2 9 . 2  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }
24 zlmodzxzldep.a . . 3  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
25 zlmodzxzldep.b . . 3  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
2624, 25neeq12i 2709 . 2  |-  ( A  =/=  B  <->  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )
2723, 26mpbir 212 1  |-  A  =/= 
B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 369    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   _Vcvv 3080   {cpr 4000   <.cop 4004  (class class class)co 6305   0cc0 9546   1c1 9547   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   6c6 10670  ℤringzring 19037   freeLMod cfrlm 19307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-2 10675  df-3 10676
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  39914  zlmodzxzldeplem3  39916  zlmodzxzldeplem4  39917  ldepsnlinc  39922
  Copyright terms: Public domain W3C validator