Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem 32055
Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem  |-  A  =/= 
B

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem
StepHypRef Expression
1 opex 4704 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  e.  _V
2 opex 4704 . . . . 5  |-  <. 1 ,  6 >.  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V )
4 opex 4704 . . . . 5  |-  <. 0 ,  2 >.  e.  _V
5 opex 4704 . . . . 5  |-  <. 1 ,  4 >.  e.  _V
64, 5pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V )
73, 6pm3.2i 455 . . 3  |-  ( (
<. 0 ,  3
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e. 
_V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )
8 2re 10594 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
9 2lt3 10692 . . . . . . . 8  |-  2  <  3
108, 9gtneii 9685 . . . . . . 7  |-  3  =/=  2
1110olci 391 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  0  \/  3  =/=  2 )
12 c0ex 9579 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
13 3ex 10600 . . . . . . 7  |-  3  e.  _V
1412, 13opthne 4720 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  3  =/=  2
) )
1511, 14mpbir 209 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2 >.
16 0ne1 10592 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
1716orci 390 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  1  \/  3  =/=  4 )
1812, 13opthne 4720 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  3  =/=  4
) )
1917, 18mpbir 209 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 1 ,  4 >.
2015, 19pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )
2120orci 390 . . 3  |-  ( (
<. 0 ,  3
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  6 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  6
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )
22 prneimg 4200 . . 3  |-  ( ( ( <. 0 ,  3
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e. 
_V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )  ->  (
( ( <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2 >.  /\ 
<. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  6 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  6
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )  ->  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } ) )
237, 21, 22mp2 9 . 2  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }
24 zlmodzxzldep.a . . 3  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
25 zlmodzxzldep.b . . 3  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
2624, 25neeq12i 2749 . 2  |-  ( A  =/=  B  <->  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )
2723, 26mpbir 209 1  |-  A  =/= 
B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762    =/= wne 2655   _Vcvv 3106   {cpr 4022   <.cop 4026  (class class class)co 6275   0cc0 9481   1c1 9482   2c2 10574   3c3 10575   4c4 10576   6c6 10578  ℤringzring 18249   freeLMod cfrlm 18537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-2 10583  df-3 10584
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  32057  zlmodzxzldeplem3  32059  zlmodzxzldeplem4  32060  ldepsnlinc  32065
  Copyright terms: Public domain W3C validator