Theorem zlmodzxzldeplem 31173

Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem	|- A =/= B

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4665	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. e. _V
2		opex 4665	. . . . 5 |- <. 1 , 6 >. e. _V
3	1, 2	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V )
4		opex 4665	. . . . 5 |- <. 0 , 2 >. e. _V
5		opex 4665	. . . . 5 |- <. 1 , 4 >. e. _V
6	4, 5	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V )
7	3, 6	pm3.2i 455	. . 3 |- ( ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) )
8		2re 10503	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
9		2lt3 10601	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
10	8, 9	gtneii 9598	. . . . . . 7 |- 3 =/= 2
11	10	olci 391	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 0 \/ 3 =/= 2 )
12		c0ex 9492	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
13		3ex 10509	. . . . . . 7 |- 3 e. _V
14	12, 13	opthne 4681	. . . . . 6 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ 3 =/= 2 ) )
15	11, 14	mpbir 209	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >.
16		0ne1 10501	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
17	16	orci 390	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 1 \/ 3 =/= 4 )
18	12, 13	opthne 4681	. . . . . 6 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ 3 =/= 4 ) )
19	17, 18	mpbir 209	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >.
20	15, 19	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. )
21	20	orci 390	. . 3 |- ( ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , 6 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , 6 >. =/= <. 1 , 4 >. ) )
22		prneimg 4162	. . 3 |- ( ( ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) ) -> ( ( ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , 6 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , 6 >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
23	7, 21, 22	mp2 9	. 2 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
24		zlmodzxzldep.a	. . 3 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
25		zlmodzxzldep.b	. . 3 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
26	24, 25	neeq12i 2741	. 2 |- ( A =/= B <-> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
27	23, 26	mpbir 209	1 |- A =/= B

Syntax hints:   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2648   _Vcvv 3078   {cpr 3988   <.cop 3992  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395   2c2 10483   3c3 10484   4c4 10485   6c6 10487  ℤ_ringzring 18009   freeLMod cfrlm 18297

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-2 10492  df-3 10493

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  31175  zlmodzxzldeplem3  31177  zlmodzxzldeplem4  31178  ldepsnlinc  31183