Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem 31173
Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem  |-  A  =/= 
B

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem
StepHypRef Expression
1 opex 4665 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  e.  _V
2 opex 4665 . . . . 5  |-  <. 1 ,  6 >.  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V )
4 opex 4665 . . . . 5  |-  <. 0 ,  2 >.  e.  _V
5 opex 4665 . . . . 5  |-  <. 1 ,  4 >.  e.  _V
64, 5pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V )
73, 6pm3.2i 455 . . 3  |-  ( (
<. 0 ,  3
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e. 
_V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )
8 2re 10503 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
9 2lt3 10601 . . . . . . . 8  |-  2  <  3
108, 9gtneii 9598 . . . . . . 7  |-  3  =/=  2
1110olci 391 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  0  \/  3  =/=  2 )
12 c0ex 9492 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
13 3ex 10509 . . . . . . 7  |-  3  e.  _V
1412, 13opthne 4681 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  3  =/=  2
) )
1511, 14mpbir 209 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2 >.
16 0ne1 10501 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
1716orci 390 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  1  \/  3  =/=  4 )
1812, 13opthne 4681 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  3  =/=  4
) )
1917, 18mpbir 209 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 1 ,  4 >.
2015, 19pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )
2120orci 390 . . 3  |-  ( (
<. 0 ,  3
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  6 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  6
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )
22 prneimg 4162 . . 3  |-  ( ( ( <. 0 ,  3
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e. 
_V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )  ->  (
( ( <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2 >.  /\ 
<. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  6 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  6
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )  ->  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } ) )
237, 21, 22mp2 9 . 2  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }
24 zlmodzxzldep.a . . 3  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
25 zlmodzxzldep.b . . 3  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
2624, 25neeq12i 2741 . 2  |-  ( A  =/=  B  <->  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )
2723, 26mpbir 209 1  |-  A  =/= 
B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078   {cpr 3988   <.cop 3992  (class class class)co 6201   0cc0 9394   1c1 9395   2c2 10483   3c3 10484   4c4 10485   6c6 10487  ℤringzring 18009   freeLMod cfrlm 18297
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-2 10492  df-3 10493
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  31175  zlmodzxzldeplem3  31177  zlmodzxzldeplem4  31178  ldepsnlinc  31183
  Copyright terms: Public domain W3C validator