Theorem zlmodzxzldeplem 38590

Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem	|- A =/= B

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4654	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. e. _V
2		opex 4654	. . . . 5 |- <. 1 , 6 >. e. _V
3	1, 2	pm3.2i 453	. . . 4 |- ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V )
4		opex 4654	. . . . 5 |- <. 0 , 2 >. e. _V
5		opex 4654	. . . . 5 |- <. 1 , 4 >. e. _V
6	4, 5	pm3.2i 453	. . . 4 |- ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V )
7	3, 6	pm3.2i 453	. . 3 |- ( ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) )
8		2re 10566	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
9		2lt3 10664	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
10	8, 9	gtneii 9648	. . . . . . 7 |- 3 =/= 2
11	10	olci 389	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 0 \/ 3 =/= 2 )
12		c0ex 9540	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
13		3ex 10572	. . . . . . 7 |- 3 e. _V
14	12, 13	opthne 4670	. . . . . 6 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ 3 =/= 2 ) )
15	11, 14	mpbir 209	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >.
16		0ne1 10564	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
17	16	orci 388	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 1 \/ 3 =/= 4 )
18	12, 13	opthne 4670	. . . . . 6 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ 3 =/= 4 ) )
19	17, 18	mpbir 209	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >.
20	15, 19	pm3.2i 453	. . . 4 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. )
21	20	orci 388	. . 3 |- ( ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , 6 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , 6 >. =/= <. 1 , 4 >. ) )
22		prneimg 4152	. . 3 |- ( ( ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) ) -> ( ( ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , 6 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , 6 >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
23	7, 21, 22	mp2 9	. 2 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
24		zlmodzxzldep.a	. . 3 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
25		zlmodzxzldep.b	. . 3 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
26	24, 25	neeq12i 2692	. 2 |- ( A =/= B <-> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
27	23, 26	mpbir 209	1 |- A =/= B

Syntax hints:   \/ wo 366   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   _Vcvv 3058   {cpr 3973   <.cop 3977  (class class class)co 6234   0cc0 9442   1c1 9443   2c2 10546   3c3 10547   4c4 10548   6c6 10550  ℤ_ringzring 18700   freeLMod cfrlm 18967

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-2 10555  df-3 10556

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  38592  zlmodzxzldeplem3  38594  zlmodzxzldeplem4  38595  ldepsnlinc  38600