Theorem zlmodzxzldeplem 40660

Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem	|- A =/= B

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4681	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. e. _V
2		opex 4681	. . . . 5 |- <. 1 , 6 >. e. _V
3	1, 2	pm3.2i 461	. . . 4 |- ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V )
4		opex 4681	. . . . 5 |- <. 0 , 2 >. e. _V
5		opex 4681	. . . . 5 |- <. 1 , 4 >. e. _V
6	4, 5	pm3.2i 461	. . . 4 |- ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V )
7	3, 6	pm3.2i 461	. . 3 |- ( ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) )
8		2re 10712	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
9		2lt3 10811	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
10	8, 9	gtneii 9777	. . . . . . 7 |- 3 =/= 2
11	10	olci 397	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 0 \/ 3 =/= 2 )
12		c0ex 9668	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
13		3ex 10718	. . . . . . 7 |- 3 e. _V
14	12, 13	opthne 4699	. . . . . 6 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ 3 =/= 2 ) )
15	11, 14	mpbir 214	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >.
16		0ne1 10710	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
17	16	orci 396	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 1 \/ 3 =/= 4 )
18	12, 13	opthne 4699	. . . . . 6 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ 3 =/= 4 ) )
19	17, 18	mpbir 214	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >.
20	15, 19	pm3.2i 461	. . . 4 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. )
21	20	orci 396	. . 3 |- ( ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , 6 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , 6 >. =/= <. 1 , 4 >. ) )
22		prneimg 4170	. . 3 |- ( ( ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) ) -> ( ( ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , 6 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , 6 >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
23	7, 21, 22	mp2 9	. 2 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
24		zlmodzxzldep.a	. . 3 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
25		zlmodzxzldep.b	. . 3 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
26	24, 25	neeq12i 2702	. 2 |- ( A =/= B <-> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
27	23, 26	mpbir 214	1 |- A =/= B

Syntax hints:   \/ wo 374   /\ wa 375   = wceq 1455   e. wcel 1898   =/= wne 2633   _Vcvv 3057   {cpr 3982   <.cop 3986  (class class class)co 6320   0cc0 9570   1c1 9571   2c2 10692   3c3 10693   4c4 10694   6c6 10696  ℤ_ringzring 19094   freeLMod cfrlm 19364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-2 10701  df-3 10702

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  40662  zlmodzxzldeplem3  40664  zlmodzxzldeplem4  40665  ldepsnlinc  40670