Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzldeplem Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zlmodzxzldeplem 40660
Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzldep.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzldep.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzldep.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzldeplem  |-  A  =/= 
B

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem
StepHypRef Expression
1 opex 4681 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  e.  _V
2 opex 4681 . . . . 5  |-  <. 1 ,  6 >.  e.  _V
31, 2pm3.2i 461 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  3 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e.  _V )
4 opex 4681 . . . . 5  |-  <. 0 ,  2 >.  e.  _V
5 opex 4681 . . . . 5  |-  <. 1 ,  4 >.  e.  _V
64, 5pm3.2i 461 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V )
73, 6pm3.2i 461 . . 3  |-  ( (
<. 0 ,  3
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e. 
_V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )
8 2re 10712 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
9 2lt3 10811 . . . . . . . 8  |-  2  <  3
108, 9gtneii 9777 . . . . . . 7  |-  3  =/=  2
1110olci 397 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  0  \/  3  =/=  2 )
12 c0ex 9668 . . . . . . 7  |-  0  e.  _V
13 3ex 10718 . . . . . . 7  |-  3  e.  _V
1412, 13opthne 4699 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2
>. 
<->  ( 0  =/=  0  \/  3  =/=  2
) )
1511, 14mpbir 214 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2 >.
16 0ne1 10710 . . . . . . 7  |-  0  =/=  1
1716orci 396 . . . . . 6  |-  ( 0  =/=  1  \/  3  =/=  4 )
1812, 13opthne 4699 . . . . . 6  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 1 ,  4
>. 
<->  ( 0  =/=  1  \/  3  =/=  4
) )
1917, 18mpbir 214 . . . . 5  |-  <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 1 ,  4 >.
2015, 19pm3.2i 461 . . . 4  |-  ( <.
0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )
2120orci 396 . . 3  |-  ( (
<. 0 ,  3
>.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  6 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  6
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )
22 prneimg 4170 . . 3  |-  ( ( ( <. 0 ,  3
>.  e.  _V  /\  <. 1 ,  6 >.  e. 
_V )  /\  ( <. 0 ,  2 >.  e.  _V  /\  <. 1 ,  4 >.  e.  _V ) )  ->  (
( ( <. 0 ,  3 >.  =/=  <. 0 ,  2 >.  /\ 
<. 0 ,  3
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. )  \/  ( <. 1 ,  6 >.  =/=  <. 0 ,  2
>.  /\  <. 1 ,  6
>.  =/=  <. 1 ,  4
>. ) )  ->  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } ) )
237, 21, 22mp2 9 . 2  |-  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. }
24 zlmodzxzldep.a . . 3  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
25 zlmodzxzldep.b . . 3  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
2624, 25neeq12i 2702 . 2  |-  ( A  =/=  B  <->  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. }  =/=  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )
2723, 26mpbir 214 1  |-  A  =/= 
B
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    \/ wo 374    /\ wa 375    = wceq 1455    e. wcel 1898    =/= wne 2633   _Vcvv 3057   {cpr 3982   <.cop 3986  (class class class)co 6320   0cc0 9570   1c1 9571   2c2 10692   3c3 10693   4c4 10694   6c6 10696  ℤringzring 19094   freeLMod cfrlm 19364
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-sep 4541  ax-nul 4550  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6615  ax-resscn 9627  ax-1cn 9628  ax-icn 9629  ax-addcl 9630  ax-addrcl 9631  ax-mulcl 9632  ax-mulrcl 9633  ax-mulcom 9634  ax-addass 9635  ax-mulass 9636  ax-distr 9637  ax-i2m1 9638  ax-1ne0 9639  ax-1rid 9640  ax-rnegex 9641  ax-rrecex 9642  ax-cnre 9643  ax-pre-lttri 9644  ax-pre-lttrn 9645  ax-pre-ltadd 9646  ax-pre-mulgt0 9647
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-op 3987  df-uni 4213  df-br 4419  df-opab 4478  df-mpt 4479  df-id 4771  df-po 4777  df-so 4778  df-xp 4862  df-rel 4863  df-cnv 4864  df-co 4865  df-dm 4866  df-rn 4867  df-res 4868  df-ima 4869  df-iota 5569  df-fun 5607  df-fn 5608  df-f 5609  df-f1 5610  df-fo 5611  df-f1o 5612  df-fv 5613  df-riota 6282  df-ov 6323  df-oprab 6324  df-mpt2 6325  df-er 7394  df-en 7601  df-dom 7602  df-sdom 7603  df-pnf 9708  df-mnf 9709  df-xr 9710  df-ltxr 9711  df-le 9712  df-sub 9893  df-neg 9894  df-2 10701  df-3 10702
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  40662  zlmodzxzldeplem3  40664  zlmodzxzldeplem4  40665  ldepsnlinc  40670
  Copyright terms: Public domain W3C validator