Theorem zlmodzxzldeplem 39912

Description: A and B are not equal. (Contributed by AV, 24-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
zlmodzxzldep.z	|- Z = (ℤring freeLMod { 0 , 1 } )
zlmodzxzldep.a	|- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
zlmodzxzldep.b	|- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }

Assertion

Ref	Expression
zlmodzxzldeplem	|- A =/= B

Proof of Theorem zlmodzxzldeplem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opex 4685	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. e. _V
2		opex 4685	. . . . 5 |- <. 1 , 6 >. e. _V
3	1, 2	pm3.2i 456	. . . 4 |- ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V )
4		opex 4685	. . . . 5 |- <. 0 , 2 >. e. _V
5		opex 4685	. . . . 5 |- <. 1 , 4 >. e. _V
6	4, 5	pm3.2i 456	. . . 4 |- ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V )
7	3, 6	pm3.2i 456	. . 3 |- ( ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) )
8		2re 10686	. . . . . . . 8 |- 2 e. RR
9		2lt3 10784	. . . . . . . 8 |- 2 < 3
10	8, 9	gtneii 9753	. . . . . . 7 |- 3 =/= 2
11	10	olci 392	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 0 \/ 3 =/= 2 )
12		c0ex 9644	. . . . . . 7 |- 0 e. _V
13		3ex 10692	. . . . . . 7 |- 3 e. _V
14	12, 13	opthne 4701	. . . . . 6 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. <-> ( 0 =/= 0 \/ 3 =/= 2 ) )
15	11, 14	mpbir 212	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >.
16		0ne1 10684	. . . . . . 7 |- 0 =/= 1
17	16	orci 391	. . . . . 6 |- ( 0 =/= 1 \/ 3 =/= 4 )
18	12, 13	opthne 4701	. . . . . 6 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. <-> ( 0 =/= 1 \/ 3 =/= 4 ) )
19	17, 18	mpbir 212	. . . . 5 |- <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >.
20	15, 19	pm3.2i 456	. . . 4 |- ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. )
21	20	orci 391	. . 3 |- ( ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , 6 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , 6 >. =/= <. 1 , 4 >. ) )
22		prneimg 4181	. . 3 |- ( ( ( <. 0 , 3 >. e. _V /\ <. 1 , 6 >. e. _V ) /\ ( <. 0 , 2 >. e. _V /\ <. 1 , 4 >. e. _V ) ) -> ( ( ( <. 0 , 3 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 0 , 3 >. =/= <. 1 , 4 >. ) \/ ( <. 1 , 6 >. =/= <. 0 , 2 >. /\ <. 1 , 6 >. =/= <. 1 , 4 >. ) ) -> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } ) )
23	7, 21, 22	mp2 9	. 2 |- { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
24		zlmodzxzldep.a	. . 3 |- A = { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. }
25		zlmodzxzldep.b	. . 3 |- B = { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. }
26	24, 25	neeq12i 2709	. 2 |- ( A =/= B <-> { <. 0 , 3 >. , <. 1 , 6 >. } =/= { <. 0 , 2 >. , <. 1 , 4 >. } )
27	23, 26	mpbir 212	1 |- A =/= B

Syntax hints:   \/ wo 369   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1872   =/= wne 2614   _Vcvv 3080   {cpr 4000   <.cop 4004  (class class class)co 6305   0cc0 9546   1c1 9547   2c2 10666   3c3 10667   4c4 10668   6c6 10670  ℤ_ringzring 19037   freeLMod cfrlm 19307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-2 10675  df-3 10676

This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem1  39914  zlmodzxzldeplem3  39916  zlmodzxzldeplem4  39917  ldepsnlinc  39922