Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequa Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzequa 32967
Description: Example of an equation within the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ (see example for a linearly dependent set in [Roman] p. 113). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzequa.o  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
zlmodzxzequa.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
zlmodzxzequa.m  |-  .-  =  ( -g `  Z )
zlmodzxzequa.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzequa.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequa  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  .0.

Proof of Theorem zlmodzxzequa
StepHypRef Expression
1 3cn 10617 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
212timesi 10663 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  +  3 )
3 3p3e6 10676 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  3 )  =  6
42, 3eqtri 2472 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
5 3t2e6 10694 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
64, 5oveq12i 6293 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 6  -  6 )
7 6cn 10624 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
87subidi 9895 . . . . 5  |-  ( 6  -  6 )  =  0
96, 8eqtri 2472 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  0
109opeq2i 4206 . . 3  |-  <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >.  =  <. 0 ,  0 >.
11 2t6m3t4e0 32805 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )  =  0
1211opeq2i 4206 . . 3  |-  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) ) >.  =  <. 1 ,  0 >.
1310, 12preq12i 4099 . 2  |-  { <. 0 ,  ( (
2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
14 zlmodzxzequa.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
1514oveq2i 6292 . . . . 5  |-  ( 2 
.xb  A )  =  ( 2  .xb  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } )
16 2z 10903 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
17 3z 10904 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
18 6nn 10704 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
1918nnzi 10895 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
20 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
21 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
2220, 21zlmodzxzscm 32814 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  (
2  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 )
>. } )
2316, 17, 19, 22mp3an 1325 . . . . 5  |-  ( 2 
.xb  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }
2415, 23eqtri 2472 . . . 4  |-  ( 2 
.xb  A )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }
25 zlmodzxzequa.b . . . . . 6  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
2625oveq2i 6292 . . . . 5  |-  ( 3 
.xb  B )  =  ( 3  .xb  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } )
27 4z 10905 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
2820, 21zlmodzxzscm 32814 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
3  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 )
>. } )
2917, 16, 27, 28mp3an 1325 . . . . 5  |-  ( 3 
.xb  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 ) >. }
3026, 29eqtri 2472 . . . 4  |-  ( 3 
.xb  B )  =  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 ) >. }
3124, 30oveq12i 6293 . . 3  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  ( { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .-  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 )
>. } )
32 zmulcl 10919 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  3 )  e.  ZZ )
3316, 17, 32mp2an 672 . . . 4  |-  ( 2  x.  3 )  e.  ZZ
34 zmulcl 10919 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 3  x.  2 )  e.  ZZ )
3517, 16, 34mp2an 672 . . . 4  |-  ( 3  x.  2 )  e.  ZZ
36 zmulcl 10919 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  6 )  e.  ZZ )
3716, 19, 36mp2an 672 . . . 4  |-  ( 2  x.  6 )  e.  ZZ
38 zmulcl 10919 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 3  x.  4 )  e.  ZZ )
3917, 27, 38mp2an 672 . . . 4  |-  ( 3  x.  4 )  e.  ZZ
40 zlmodzxzequa.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  Z )
4120, 40zlmodzxzsub 32817 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3  x.  2 )  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  6 )  e.  ZZ  /\  ( 3  x.  4 )  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .-  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 ) >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. } )
4233, 35, 37, 39, 41mp4an 673 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .-  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 )
>. } )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. }
4331, 42eqtri 2472 . 2  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. }
44 zlmodzxzequa.o . 2  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
4513, 43, 443eqtr4i 2482 1  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  .0.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1383    e. wcel 1804   {cpr 4016   <.cop 4020   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    x. cmul 9500    - cmin 9810   2c2 10592   3c3 10593   4c4 10594   6c6 10596   ZZcz 10871   .scvsca 14683   -gcsg 16034  ℤringzring 18467   freeLMod cfrlm 18755
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-addf 9574  ax-mulf 9575
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-of 6525  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-supp 6904  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-1o 7132  df-oadd 7136  df-er 7313  df-map 7424  df-ixp 7472  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-fin 7522  df-fsupp 7832  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-4 10603  df-5 10604  df-6 10605  df-7 10606  df-8 10607  df-9 10608  df-10 10609  df-n0 10803  df-z 10872  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11684  df-struct 14616  df-ndx 14617  df-slot 14618  df-base 14619  df-sets 14620  df-ress 14621  df-plusg 14692  df-mulr 14693  df-starv 14694  df-sca 14695  df-vsca 14696  df-ip 14697  df-tset 14698  df-ple 14699  df-ds 14701  df-unif 14702  df-hom 14703  df-cco 14704  df-0g 14821  df-prds 14827  df-pws 14829  df-mgm 15851  df-sgrp 15890  df-mnd 15900  df-grp 16036  df-minusg 16037  df-sbg 16038  df-subg 16177  df-cmn 16779  df-mgp 17121  df-ur 17133  df-ring 17179  df-cring 17180  df-subrg 17406  df-lmod 17493  df-lss 17558  df-sra 17797  df-rgmod 17798  df-cnfld 18400  df-zring 18468  df-dsmm 18741  df-frlm 18756
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator