Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequa Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzequa 32579
Description: Example of an equation within the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ (see example for a linearly dependent set in [Roman] p. 113). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzequa.o  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
zlmodzxzequa.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
zlmodzxzequa.m  |-  .-  =  ( -g `  Z )
zlmodzxzequa.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzequa.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequa  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  .0.

Proof of Theorem zlmodzxzequa
StepHypRef Expression
1 3cn 10622 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
212timesi 10668 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  +  3 )
3 3p3e6 10681 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  3 )  =  6
42, 3eqtri 2496 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
5 3t2e6 10699 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
64, 5oveq12i 6307 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 6  -  6 )
7 6cn 10629 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
87subidi 9902 . . . . 5  |-  ( 6  -  6 )  =  0
96, 8eqtri 2496 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  0
109opeq2i 4223 . . 3  |-  <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >.  =  <. 0 ,  0 >.
11 2t6m3t4e0 32416 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )  =  0
1211opeq2i 4223 . . 3  |-  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) ) >.  =  <. 1 ,  0 >.
1310, 12preq12i 4117 . 2  |-  { <. 0 ,  ( (
2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
14 zlmodzxzequa.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
1514oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( 2 
.xb  A )  =  ( 2  .xb  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } )
16 2z 10908 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
17 3z 10909 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
18 6nn 10709 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
1918nnzi 10900 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
20 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
21 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
2220, 21zlmodzxzscm 32425 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  (
2  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 )
>. } )
2316, 17, 19, 22mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( 2 
.xb  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }
2415, 23eqtri 2496 . . . 4  |-  ( 2 
.xb  A )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }
25 zlmodzxzequa.b . . . . . 6  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
2625oveq2i 6306 . . . . 5  |-  ( 3 
.xb  B )  =  ( 3  .xb  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } )
27 4nn 10707 . . . . . . 7  |-  4  e.  NN
2827nnzi 10900 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
2920, 21zlmodzxzscm 32425 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
3  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 )
>. } )
3017, 16, 28, 29mp3an 1324 . . . . 5  |-  ( 3 
.xb  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 ) >. }
3126, 30eqtri 2496 . . . 4  |-  ( 3 
.xb  B )  =  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 ) >. }
3224, 31oveq12i 6307 . . 3  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  ( { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .-  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 )
>. } )
33 zmulcl 10923 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  3 )  e.  ZZ )
3416, 17, 33mp2an 672 . . . 4  |-  ( 2  x.  3 )  e.  ZZ
35 zmulcl 10923 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 3  x.  2 )  e.  ZZ )
3617, 16, 35mp2an 672 . . . 4  |-  ( 3  x.  2 )  e.  ZZ
37 zmulcl 10923 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  6 )  e.  ZZ )
3816, 19, 37mp2an 672 . . . 4  |-  ( 2  x.  6 )  e.  ZZ
39 zmulcl 10923 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 3  x.  4 )  e.  ZZ )
4017, 28, 39mp2an 672 . . . 4  |-  ( 3  x.  4 )  e.  ZZ
41 zlmodzxzequa.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  Z )
4220, 41zlmodzxzsub 32428 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3  x.  2 )  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  6 )  e.  ZZ  /\  ( 3  x.  4 )  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .-  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 ) >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. } )
4334, 36, 38, 40, 42mp4an 673 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .-  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 )
>. } )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. }
4432, 43eqtri 2496 . 2  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. }
45 zlmodzxzequa.o . 2  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
4613, 44, 453eqtr4i 2506 1  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  .0.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cpr 4035   <.cop 4039   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   0cc0 9504   1c1 9505    + caddc 9507    x. cmul 9509    - cmin 9817   2c2 10597   3c3 10598   4c4 10599   6c6 10601   ZZcz 10876   .scvsca 14576   -gcsg 15927  ℤringzring 18358   freeLMod cfrlm 18646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-dsmm 18632  df-frlm 18647
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator