Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequa Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzequa 33370
Description: Example of an equation within the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ (see example in [Roman] p. 112 for a linearly dependent set). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzequa.o  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
zlmodzxzequa.t  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
zlmodzxzequa.m  |-  .-  =  ( -g `  Z )
zlmodzxzequa.a  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
zlmodzxzequa.b  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequa  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  .0.

Proof of Theorem zlmodzxzequa
StepHypRef Expression
1 3cn 10606 . . . . . . . 8  |-  3  e.  CC
212timesi 10652 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  +  3 )
3 3p3e6 10665 . . . . . . 7  |-  ( 3  +  3 )  =  6
42, 3eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  3 )  =  6
5 3t2e6 10683 . . . . . 6  |-  ( 3  x.  2 )  =  6
64, 5oveq12i 6282 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  ( 6  -  6 )
7 6cn 10613 . . . . . 6  |-  6  e.  CC
87subidi 9881 . . . . 5  |-  ( 6  -  6 )  =  0
96, 8eqtri 2483 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) )  =  0
109opeq2i 4207 . . 3  |-  <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >.  =  <. 0 ,  0 >.
11 2t6m3t4e0 33210 . . . 4  |-  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )  =  0
1211opeq2i 4207 . . 3  |-  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) ) >.  =  <. 1 ,  0 >.
1310, 12preq12i 4100 . 2  |-  { <. 0 ,  ( (
2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. }  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
14 zlmodzxzequa.a . . . . . 6  |-  A  =  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. }
1514oveq2i 6281 . . . . 5  |-  ( 2 
.xb  A )  =  ( 2  .xb  { <. 0 ,  3 >. , 
<. 1 ,  6
>. } )
16 2z 10892 . . . . . 6  |-  2  e.  ZZ
17 3z 10893 . . . . . 6  |-  3  e.  ZZ
18 6nn 10693 . . . . . . 7  |-  6  e.  NN
1918nnzi 10884 . . . . . 6  |-  6  e.  ZZ
20 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
21 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  Z )
2220, 21zlmodzxzscm 33219 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  (
2  .xb  { <. 0 ,  3 >. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 )
>. } )
2316, 17, 19, 22mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( 2 
.xb  { <. 0 ,  3
>. ,  <. 1 ,  6 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }
2415, 23eqtri 2483 . . . 4  |-  ( 2 
.xb  A )  =  { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }
25 zlmodzxzequa.b . . . . . 6  |-  B  =  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. }
2625oveq2i 6281 . . . . 5  |-  ( 3 
.xb  B )  =  ( 3  .xb  { <. 0 ,  2 >. , 
<. 1 ,  4
>. } )
27 4z 10894 . . . . . 6  |-  4  e.  ZZ
2820, 21zlmodzxzscm 33219 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  (
3  .xb  { <. 0 ,  2 >. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 )
>. } )
2917, 16, 27, 28mp3an 1322 . . . . 5  |-  ( 3 
.xb  { <. 0 ,  2
>. ,  <. 1 ,  4 >. } )  =  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 ) >. }
3026, 29eqtri 2483 . . . 4  |-  ( 3 
.xb  B )  =  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 )
>. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 ) >. }
3124, 30oveq12i 6282 . . 3  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  ( { <. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .-  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 )
>. } )
32 zmulcl 10908 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  3 )  e.  ZZ )
3316, 17, 32mp2an 670 . . . 4  |-  ( 2  x.  3 )  e.  ZZ
34 zmulcl 10908 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 3  x.  2 )  e.  ZZ )
3517, 16, 34mp2an 670 . . . 4  |-  ( 3  x.  2 )  e.  ZZ
36 zmulcl 10908 . . . . 5  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  6  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  6 )  e.  ZZ )
3716, 19, 36mp2an 670 . . . 4  |-  ( 2  x.  6 )  e.  ZZ
38 zmulcl 10908 . . . . 5  |-  ( ( 3  e.  ZZ  /\  4  e.  ZZ )  ->  ( 3  x.  4 )  e.  ZZ )
3917, 27, 38mp2an 670 . . . 4  |-  ( 3  x.  4 )  e.  ZZ
40 zlmodzxzequa.m . . . . 5  |-  .-  =  ( -g `  Z )
4120, 40zlmodzxzsub 33222 . . . 4  |-  ( ( ( ( 2  x.  3 )  e.  ZZ  /\  ( 3  x.  2 )  e.  ZZ )  /\  ( ( 2  x.  6 )  e.  ZZ  /\  ( 3  x.  4 )  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  ( 2  x.  3 ) >. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .-  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 ) >. } )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. } )
4233, 35, 37, 39, 41mp4an 671 . . 3  |-  ( {
<. 0 ,  ( 2  x.  3 )
>. ,  <. 1 ,  ( 2  x.  6 ) >. }  .-  { <. 0 ,  ( 3  x.  2 ) >. ,  <. 1 ,  ( 3  x.  4 )
>. } )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. }
4331, 42eqtri 2483 . 2  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  { <. 0 ,  ( ( 2  x.  3 )  -  ( 3  x.  2 ) ) >. ,  <. 1 ,  ( ( 2  x.  6 )  -  ( 3  x.  4 ) )
>. }
44 zlmodzxzequa.o . 2  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
4513, 43, 443eqtr4i 2493 1  |-  ( ( 2  .xb  A )  .-  ( 3  .xb  B
) )  =  .0.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1398    e. wcel 1823   {cpr 4018   <.cop 4022   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   0cc0 9481   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486    - cmin 9796   2c2 10581   3c3 10582   4c4 10583   6c6 10585   ZZcz 10860   .scvsca 14791   -gcsg 16257  ℤringzring 18686   freeLMod cfrlm 18953
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14721  df-ndx 14722  df-slot 14723  df-base 14724  df-sets 14725  df-ress 14726  df-plusg 14800  df-mulr 14801  df-starv 14802  df-sca 14803  df-vsca 14804  df-ip 14805  df-tset 14806  df-ple 14807  df-ds 14809  df-unif 14810  df-hom 14811  df-cco 14812  df-0g 14934  df-prds 14940  df-pws 14942  df-mgm 16074  df-sgrp 16113  df-mnd 16123  df-grp 16259  df-minusg 16260  df-sbg 16261  df-subg 16400  df-cmn 17002  df-mgp 17340  df-ur 17352  df-ring 17398  df-cring 17399  df-subrg 17625  df-lmod 17712  df-lss 17777  df-sra 18016  df-rgmod 18017  df-cnfld 18619  df-zring 18687  df-dsmm 18939  df-frlm 18954
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator