Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzequa Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzequa 32579
 Description: Example of an equation within the -module (see example for a linearly dependent set in [Roman] p. 113). (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxzequa.z ring freeLMod
zlmodzxzequa.o
zlmodzxzequa.t
zlmodzxzequa.m
zlmodzxzequa.a
zlmodzxzequa.b
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzequa

Proof of Theorem zlmodzxzequa
StepHypRef Expression
1 3cn 10622 . . . . . . . 8
212timesi 10668 . . . . . . 7
3 3p3e6 10681 . . . . . . 7
42, 3eqtri 2496 . . . . . 6
5 3t2e6 10699 . . . . . 6
64, 5oveq12i 6307 . . . . 5
7 6cn 10629 . . . . . 6
87subidi 9902 . . . . 5
96, 8eqtri 2496 . . . 4
109opeq2i 4223 . . 3
11 2t6m3t4e0 32416 . . . 4
1211opeq2i 4223 . . 3
1310, 12preq12i 4117 . 2
14 zlmodzxzequa.a . . . . . 6
1514oveq2i 6306 . . . . 5
16 2z 10908 . . . . . 6
17 3z 10909 . . . . . 6
18 6nn 10709 . . . . . . 7
1918nnzi 10900 . . . . . 6
20 zlmodzxzequa.z . . . . . . 7 ring freeLMod
21 zlmodzxzequa.t . . . . . . 7
2220, 21zlmodzxzscm 32425 . . . . . 6
2316, 17, 19, 22mp3an 1324 . . . . 5
2415, 23eqtri 2496 . . . 4
25 zlmodzxzequa.b . . . . . 6
2625oveq2i 6306 . . . . 5
27 4nn 10707 . . . . . . 7
2827nnzi 10900 . . . . . 6
2920, 21zlmodzxzscm 32425 . . . . . 6
3017, 16, 28, 29mp3an 1324 . . . . 5
3126, 30eqtri 2496 . . . 4
3224, 31oveq12i 6307 . . 3
33 zmulcl 10923 . . . . 5
3416, 17, 33mp2an 672 . . . 4
35 zmulcl 10923 . . . . 5
3617, 16, 35mp2an 672 . . . 4
37 zmulcl 10923 . . . . 5
3816, 19, 37mp2an 672 . . . 4
39 zmulcl 10923 . . . . 5
4017, 28, 39mp2an 672 . . . 4
41 zlmodzxzequa.m . . . . 5
4220, 41zlmodzxzsub 32428 . . . 4
4334, 36, 38, 40, 42mp4an 673 . . 3
4432, 43eqtri 2496 . 2
45 zlmodzxzequa.o . 2
4613, 44, 453eqtr4i 2506 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wceq 1379   wcel 1767  cpr 4035  cop 4039  cfv 5594  (class class class)co 6295  cc0 9504  c1 9505   caddc 9507   cmul 9509   cmin 9817  c2 10597  c3 10598  c4 10599  c6 10601  cz 10876  cvsca 14576  csg 15927  ℤringzring 18358   freeLMod cfrlm 18646 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-of 6535  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-subrg 17298  df-lmod 17385  df-lss 17450  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-dsmm 18632  df-frlm 18647 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator