Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzel Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzel 32423
Description: An element of the (base set of the)  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 21-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzel  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  ( Base `  Z ) )

Proof of Theorem zlmodzxzel
StepHypRef Expression
1 c0ex 9602 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
2 1ex 9603 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
4 0ne1 10615 . . . . 5  |-  0  =/=  1
5 fprg 6081 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : {
0 ,  1 } --> { A ,  B } )
63, 4, 5mp3an13 1315 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
7 prssi 4189 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { A ,  B }  C_  ZZ )
8 zringbas 18364 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
97, 8syl6sseq 3555 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { A ,  B }  C_  ( Base ` ring ) )
10 fss 5745 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  ( Base ` ring ) )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> ( Base ` ring ) )
116, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> ( Base ` ring ) )
12 fvex 5882 . . . . 5  |-  ( Base ` ring )  e.  _V
13 prex 4695 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
1412, 13pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( (
Base ` ring )  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  1 }  e.  _V )
15 elmapg 7445 . . . 4  |-  ( ( ( Base ` ring )  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  1 }  e.  _V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { 0 ,  1 } )  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> ( Base ` ring ) ) )
1614, 15mp1i 12 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { 0 ,  1 } )  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> ( Base ` ring ) ) )
1711, 16mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  ( (
Base ` ring )  ^m  { 0 ,  1 } ) )
18 zringring 18361 . . . 4  |-ring  e.  Ring
19 prfi 7807 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
2018, 19pm3.2i 455 . . 3  |-  (ring  e.  Ring  /\ 
{ 0 ,  1 }  e.  Fin )
21 zlmodzxz.z . . . 4  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
22 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base ` ring )  =  ( Base ` ring )
2321, 22frlmfibas 18664 . . 3  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  { 0 ,  1 }  e.  Fin )  ->  ( ( Base ` ring )  ^m  { 0 ,  1 } )  =  ( Base `  Z
) )
2420, 23mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( Base ` ring )  ^m  { 0 ,  1 } )  =  ( Base `  Z
) )
2517, 24eleqtrd 2557 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  ( Base `  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   _Vcvv 3118    C_ wss 3481   {cpr 4035   <.cop 4039   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   Fincfn 7528   0cc0 9504   1c1 9505   ZZcz 10876   Basecbs 14507   Ringcrg 17070  ℤringzring 18358   freeLMod cfrlm 18646
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-addf 9583  ax-mulf 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-supp 6914  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-ixp 7482  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-fsupp 7842  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-starv 14587  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-unif 14595  df-hom 14596  df-cco 14597  df-0g 14714  df-prds 14720  df-pws 14722  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-cmn 16673  df-mgp 17014  df-ur 17026  df-ring 17072  df-cring 17073  df-subrg 17298  df-sra 17689  df-rgmod 17690  df-cnfld 18291  df-zring 18359  df-dsmm 18632  df-frlm 18647
This theorem is referenced by:  zlmodzxzscm  32425  zlmodzxzadd  32426  zlmodzxzsubm  32427  zlmodzxzsub  32428  zlmodzxzldeplem3  32585  zlmodzxzldep  32587  ldepsnlinclem1  32588  ldepsnlinclem2  32589  ldepsnlinc  32591
  Copyright terms: Public domain W3C validator