Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzel Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzel 30775
Description: An element of the (base set of the)  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 21-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzel  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  ( Base `  Z ) )

Proof of Theorem zlmodzxzel
StepHypRef Expression
1 c0ex 9399 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
2 1ex 9400 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
31, 2pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
4 0ne1 10408 . . . . 5  |-  0  =/=  1
5 fprg 5910 . . . . 5  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : {
0 ,  1 } --> { A ,  B } )
63, 4, 5mp3an13 1305 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B } )
7 prssi 4048 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { A ,  B }  C_  ZZ )
8 zringbas 17908 . . . . 5  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
97, 8syl6sseq 3421 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { A ,  B }  C_  ( Base ` ring ) )
10 fss 5586 . . . 4  |-  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> { A ,  B }  /\  { A ,  B }  C_  ( Base ` ring ) )  ->  { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> ( Base ` ring ) )
116, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> ( Base ` ring ) )
12 fvex 5720 . . . . 5  |-  ( Base ` ring )  e.  _V
13 prex 4553 . . . . 5  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
1412, 13pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( (
Base ` ring )  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  1 }  e.  _V )
15 elmapg 7246 . . . 4  |-  ( ( ( Base ` ring )  e.  _V  /\ 
{ 0 ,  1 }  e.  _V )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { 0 ,  1 } )  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> ( Base ` ring ) ) )
1614, 15mp1i 12 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  ( ( Base ` ring )  ^m  { 0 ,  1 } )  <->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. } : { 0 ,  1 } --> ( Base ` ring ) ) )
1711, 16mpbird 232 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  ( (
Base ` ring )  ^m  { 0 ,  1 } ) )
18 zringrng 17905 . . . 4  |-ring  e.  Ring
19 prfi 7605 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  e.  Fin
2018, 19pm3.2i 455 . . 3  |-  (ring  e.  Ring  /\ 
{ 0 ,  1 }  e.  Fin )
21 zlmodzxz.z . . . 4  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
22 eqid 2443 . . . 4  |-  ( Base ` ring )  =  ( Base ` ring )
2321, 22frlmfibas 18208 . . 3  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  { 0 ,  1 }  e.  Fin )  ->  ( ( Base ` ring )  ^m  { 0 ,  1 } )  =  ( Base `  Z
) )
2420, 23mp1i 12 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( Base ` ring )  ^m  { 0 ,  1 } )  =  ( Base `  Z
) )
2517, 24eleqtrd 2519 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  B >. }  e.  ( Base `  Z ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   _Vcvv 2991    C_ wss 3347   {cpr 3898   <.cop 3902   -->wf 5433   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    ^m cmap 7233   Fincfn 7329   0cc0 9301   1c1 9302   ZZcz 10665   Basecbs 14193   Ringcrg 16664  ℤringzring 17902   freeLMod cfrlm 18190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378  ax-addf 9380  ax-mulf 9381
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rmo 2742  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-supp 6710  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-map 7235  df-ixp 7283  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-fsupp 7640  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-fz 11457  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-sets 14199  df-ress 14200  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-starv 14272  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-unif 14280  df-hom 14281  df-cco 14282  df-0g 14399  df-prds 14405  df-pws 14407  df-mnd 15434  df-grp 15564  df-minusg 15565  df-subg 15697  df-cmn 16298  df-mgp 16611  df-ur 16623  df-rng 16666  df-cring 16667  df-subrg 16882  df-sra 17272  df-rgmod 17273  df-cnfld 17838  df-zring 17903  df-dsmm 18176  df-frlm 18191
This theorem is referenced by:  zlmodzxzscm  30777  zlmodzxzadd  30778  zlmodzxzsubm  30779  zlmodzxzsub  30780  zlmodzxzldeplem3  31067  zlmodzxzldep  31069  ldepsnlinclem1  31070  ldepsnlinclem2  31071  ldepsnlinc  31073
  Copyright terms: Public domain W3C validator