Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzadd Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzadd 30926
Description: The addition of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzadd  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .+  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D )
>. } )

Proof of Theorem zlmodzxzadd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxz.z . . 3  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
2 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
3 zringrng 18021 . . . 4  |-ring  e.  Ring
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->ring  e.  Ring )
5 prex 4645 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
8 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
91zlmodzxzel 30923 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
107, 8, 9syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
12 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
131zlmodzxzel 30923 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
1411, 12, 13syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
15 eqid 2454 . . 3  |-  ( +g  ` ring )  =  ( +g  ` ring )
16 zlmodzxzadd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Z )
171, 2, 4, 6, 10, 14, 15, 16frlmplusgval 18326 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .+  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  oF ( +g  ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } ) )
18 c0ex 9495 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
19 1ex 9496 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
2018, 19pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
)
227, 8anim12i 566 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
23 0ne1 10504 . . . . 5  |-  0  =/=  1
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
0  =/=  1 )
25 fnprg 5583 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  Fn  {
0 ,  1 } )
2621, 22, 24, 25syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
2711, 12anim12i 566 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
28 fnprg 5583 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  Fn  {
0 ,  1 } )
2921, 27, 24, 28syl3anc 1219 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
306, 26, 29offvalfv 30904 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  oF ( +g  ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  ( x  e.  {
0 ,  1 } 
|->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) ) ) )
31 zringplusg 18025 . . . . . . 7  |-  +  =  ( +g  ` ring )
3231eqcomi 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  ` ring )  =  +
3332oveqi 6216 . . . . 5  |-  ( A ( +g  ` ring ) B )  =  ( A  +  B
)
3433opeq2i 4174 . . . 4  |-  <. 0 ,  ( A ( +g  ` ring ) B ) >.  =  <. 0 ,  ( A  +  B )
>.
3532oveqi 6216 . . . . 5  |-  ( C ( +g  ` ring ) D )  =  ( C  +  D
)
3635opeq2i 4174 . . . 4  |-  <. 1 ,  ( C ( +g  ` ring ) D ) >.  =  <. 1 ,  ( C  +  D )
>.
3734, 36preq12i 4070 . . 3  |-  { <. 0 ,  ( A
( +g  ` ring ) B ) >. ,  <. 1 ,  ( C ( +g  ` ring ) D ) >. }  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D ) >. }
3818a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
0  e.  _V )
3919a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
1  e.  _V )
40 ovex 6228 . . . . 5  |-  ( A ( +g  ` ring ) B )  e. 
_V
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A ( +g  ` ring ) B )  e.  _V )
42 ovex 6228 . . . . 5  |-  ( C ( +g  ` ring ) D )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( C ( +g  ` ring ) D )  e.  _V )
44 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )
45 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  0 ) )
4644, 45oveq12d 6221 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  0 ) ) )
477adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
48 fvpr1g 6035 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  A  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  A )
4938, 47, 24, 48syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0
)  =  A )
5011adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  ZZ )
51 fvpr1g 6035 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  B  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  0 )  =  B )
5238, 50, 24, 51syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  0
)  =  B )
5349, 52oveq12d 6221 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  0 ) )  =  ( A ( +g  ` ring ) B ) )
5446, 53sylan9eqr 2517 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  x  =  0 )  ->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( A ( +g  ` ring ) B ) )
55 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )
56 fveq2 5802 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  1 ) )
5755, 56oveq12d 6221 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  1 ) ) )
588adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  C  e.  ZZ )
59 fvpr2g 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  C  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
6039, 58, 24, 59syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1
)  =  C )
6112adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  ZZ )
62 fvpr2g 6036 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  D  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  1 )  =  D )
6339, 61, 24, 62syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  1
)  =  D )
6460, 63oveq12d 6221 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  1 ) )  =  ( C ( +g  ` ring ) D ) )
6557, 64sylan9eqr 2517 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  x  =  1 )  ->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( C ( +g  ` ring ) D ) )
6638, 39, 41, 43, 54, 65fmptpr 6015 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  ( A ( +g  ` ring ) B ) >. ,  <. 1 ,  ( C ( +g  ` ring ) D ) >. }  =  ( x  e.  { 0 ,  1 }  |->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) ) ) )
6737, 66syl5reqr 2510 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( x  e.  {
0 ,  1 } 
|->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) ) )  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D )
>. } )
6817, 30, 673eqtrd 2499 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .+  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   _Vcvv 3078   {cpr 3990   <.cop 3994    |-> cmpt 4461    Fn wfn 5524   ` cfv 5529  (class class class)co 6203    oFcof 6431   0cc0 9397   1c1 9398    + caddc 9400   ZZcz 10761   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   Ringcrg 16778  ℤringzring 18018   freeLMod cfrlm 18306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-of 6433  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-supp 6804  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-ixp 7377  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-fsupp 7735  df-sup 7806  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-ip 14379  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-hom 14385  df-cco 14386  df-0g 14503  df-prds 14509  df-pws 14511  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-subg 15801  df-cmn 16404  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-subrg 16996  df-sra 17386  df-rgmod 17387  df-cnfld 17954  df-zring 18019  df-dsmm 18292  df-frlm 18307
This theorem is referenced by:  zlmodzxzsub  30928  zlmodzxzequap  31196
  Copyright terms: Public domain W3C validator