Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzadd Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zlmodzxzadd 40647
Description: The addition of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzadd  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .+  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D )
>. } )

Proof of Theorem zlmodzxzadd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxz.z . . 3  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
2 eqid 2471 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
3 zringring 19119 . . . 4  |-ring  e.  Ring
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->ring  e.  Ring )
5 prex 4642 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
7 simpl 464 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
8 simpl 464 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
91zlmodzxzel 40644 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
107, 8, 9syl2an 485 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
11 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
12 simpr 468 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
131zlmodzxzel 40644 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
1411, 12, 13syl2an 485 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
15 eqid 2471 . . 3  |-  ( +g  ` ring )  =  ( +g  ` ring )
16 zlmodzxzadd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Z )
171, 2, 4, 6, 10, 14, 15, 16frlmplusgval 19403 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .+  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  oF ( +g  ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } ) )
18 c0ex 9655 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
19 1ex 9656 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
2018, 19pm3.2i 462 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
)
227, 8anim12i 576 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
23 0ne1 10699 . . . . 5  |-  0  =/=  1
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
0  =/=  1 )
25 fnprg 5643 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  Fn  {
0 ,  1 } )
2621, 22, 24, 25syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
2711, 12anim12i 576 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
28 fnprg 5643 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  Fn  {
0 ,  1 } )
2921, 27, 24, 28syl3anc 1292 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
306, 26, 29offvalfv 40632 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  oF ( +g  ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  ( x  e.  {
0 ,  1 } 
|->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) ) ) )
31 zringplusg 19123 . . . . . . 7  |-  +  =  ( +g  ` ring )
3231eqcomi 2480 . . . . . 6  |-  ( +g  ` ring )  =  +
3332oveqi 6321 . . . . 5  |-  ( A ( +g  ` ring ) B )  =  ( A  +  B
)
3433opeq2i 4162 . . . 4  |-  <. 0 ,  ( A ( +g  ` ring ) B ) >.  =  <. 0 ,  ( A  +  B )
>.
3532oveqi 6321 . . . . 5  |-  ( C ( +g  ` ring ) D )  =  ( C  +  D
)
3635opeq2i 4162 . . . 4  |-  <. 1 ,  ( C ( +g  ` ring ) D ) >.  =  <. 1 ,  ( C  +  D )
>.
3734, 36preq12i 4047 . . 3  |-  { <. 0 ,  ( A
( +g  ` ring ) B ) >. ,  <. 1 ,  ( C ( +g  ` ring ) D ) >. }  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D ) >. }
3818a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
0  e.  _V )
3919a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
1  e.  _V )
40 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( A ( +g  ` ring ) B )  e. 
_V
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A ( +g  ` ring ) B )  e.  _V )
42 ovex 6336 . . . . 5  |-  ( C ( +g  ` ring ) D )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( C ( +g  ` ring ) D )  e.  _V )
44 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )
45 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  0 ) )
4644, 45oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  0 ) ) )
477adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
48 fvpr1g 6125 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  A  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  A )
4938, 47, 24, 48syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0
)  =  A )
5011adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  ZZ )
51 fvpr1g 6125 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  B  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  0 )  =  B )
5238, 50, 24, 51syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  0
)  =  B )
5349, 52oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  0 ) )  =  ( A ( +g  ` ring ) B ) )
5446, 53sylan9eqr 2527 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  x  =  0 )  ->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( A ( +g  ` ring ) B ) )
55 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )
56 fveq2 5879 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  1 ) )
5755, 56oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  1 ) ) )
588adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  C  e.  ZZ )
59 fvpr2g 6126 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  C  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
6039, 58, 24, 59syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1
)  =  C )
6112adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  ZZ )
62 fvpr2g 6126 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  D  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  1 )  =  D )
6339, 61, 24, 62syl3anc 1292 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  1
)  =  D )
6460, 63oveq12d 6326 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  1 ) )  =  ( C ( +g  ` ring ) D ) )
6557, 64sylan9eqr 2527 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  x  =  1 )  ->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( C ( +g  ` ring ) D ) )
6638, 39, 41, 43, 54, 65fmptpr 6105 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  ( A ( +g  ` ring ) B ) >. ,  <. 1 ,  ( C ( +g  ` ring ) D ) >. }  =  ( x  e.  { 0 ,  1 }  |->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) ) ) )
6737, 66syl5reqr 2520 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( x  e.  {
0 ,  1 } 
|->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) ) )  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D )
>. } )
6817, 30, 673eqtrd 2509 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .+  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   _Vcvv 3031   {cpr 3961   <.cop 3965    |-> cmpt 4454    Fn wfn 5584   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    oFcof 6548   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560   ZZcz 10961   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   Ringcrg 17858  ℤringzring 19116   freeLMod cfrlm 19386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-addf 9636  ax-mulf 9637
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-sup 7974  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-0g 15418  df-prds 15424  df-pws 15426  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-subg 16892  df-cmn 17510  df-mgp 17802  df-ur 17814  df-ring 17860  df-cring 17861  df-subrg 18084  df-sra 18473  df-rgmod 18474  df-cnfld 19048  df-zring 19117  df-dsmm 19372  df-frlm 19387
This theorem is referenced by:  zlmodzxzsub  40649  zlmodzxzequap  40800
  Copyright terms: Public domain W3C validator