Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxzadd Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxzadd 33091
Description: The addition of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 22-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxzadd.p  |-  .+  =  ( +g  `  Z )
Assertion
Ref Expression
zlmodzxzadd  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .+  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D )
>. } )

Proof of Theorem zlmodzxzadd
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmodzxz.z . . 3  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
2 eqid 2457 . . 3  |-  ( Base `  Z )  =  (
Base `  Z )
3 zringring 18618 . . . 4  |-ring  e.  Ring
43a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->ring  e.  Ring )
5 prex 4698 . . . 4  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
65a1i 11 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { 0 ,  1 }  e.  _V )
7 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
8 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  C  e.  ZZ )
91zlmodzxzel 33088 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
107, 8, 9syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  e.  ( Base `  Z ) )
11 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  ZZ )
12 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  D  e.  ZZ )
131zlmodzxzel 33088 . . . 4  |-  ( ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
1411, 12, 13syl2an 477 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  e.  ( Base `  Z ) )
15 eqid 2457 . . 3  |-  ( +g  ` ring )  =  ( +g  ` ring )
16 zlmodzxzadd.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  Z )
171, 2, 4, 6, 10, 14, 15, 16frlmplusgval 18924 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .+  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  oF ( +g  ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } ) )
18 c0ex 9607 . . . . . 6  |-  0  e.  _V
19 1ex 9608 . . . . . 6  |-  1  e.  _V
2018, 19pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
2120a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )
)
227, 8anim12i 566 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ ) )
23 0ne1 10624 . . . . 5  |-  0  =/=  1
2423a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
0  =/=  1 )
25 fnprg 5648 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( A  e.  ZZ  /\  C  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  Fn  {
0 ,  1 } )
2621, 22, 24, 25syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
2711, 12anim12i 566 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )
28 fnprg 5648 . . . 4  |-  ( ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ )  /\  0  =/=  1
)  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  Fn  {
0 ,  1 } )
2921, 27, 24, 28syl3anc 1228 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. }  Fn  { 0 ,  1 } )
306, 26, 29offvalfv 33076 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  oF ( +g  ` ring ) { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } )  =  ( x  e.  {
0 ,  1 } 
|->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) ) ) )
31 zringplusg 18622 . . . . . . 7  |-  +  =  ( +g  ` ring )
3231eqcomi 2470 . . . . . 6  |-  ( +g  ` ring )  =  +
3332oveqi 6309 . . . . 5  |-  ( A ( +g  ` ring ) B )  =  ( A  +  B
)
3433opeq2i 4223 . . . 4  |-  <. 0 ,  ( A ( +g  ` ring ) B ) >.  =  <. 0 ,  ( A  +  B )
>.
3532oveqi 6309 . . . . 5  |-  ( C ( +g  ` ring ) D )  =  ( C  +  D
)
3635opeq2i 4223 . . . 4  |-  <. 1 ,  ( C ( +g  ` ring ) D ) >.  =  <. 1 ,  ( C  +  D )
>.
3734, 36preq12i 4116 . . 3  |-  { <. 0 ,  ( A
( +g  ` ring ) B ) >. ,  <. 1 ,  ( C ( +g  ` ring ) D ) >. }  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D ) >. }
3818a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
0  e.  _V )
3919a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
1  e.  _V )
40 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( A ( +g  ` ring ) B )  e. 
_V
4140a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( A ( +g  ` ring ) B )  e.  _V )
42 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( C ( +g  ` ring ) D )  e. 
_V
4342a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( C ( +g  ` ring ) D )  e.  _V )
44 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) )
45 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  0 ) )
4644, 45oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  0 ) ) )
477adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  A  e.  ZZ )
48 fvpr1g 6117 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  A  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0 )  =  A )
4938, 47, 24, 48syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  0
)  =  A )
5011adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  B  e.  ZZ )
51 fvpr1g 6117 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  B  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  0 )  =  B )
5238, 50, 24, 51syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  0
)  =  B )
5349, 52oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  0 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  0 ) )  =  ( A ( +g  ` ring ) B ) )
5446, 53sylan9eqr 2520 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  x  =  0 )  ->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( A ( +g  ` ring ) B ) )
55 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) )
56 fveq2 5872 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  x )  =  ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  1 ) )
5755, 56oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  (
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x
) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  1 ) ) )
588adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  C  e.  ZZ )
59 fvpr2g 6118 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  C  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1 )  =  C )
6039, 58, 24, 59syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  1
)  =  C )
6112adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  D  e.  ZZ )
62 fvpr2g 6118 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  e.  _V  /\  D  e.  ZZ  /\  0  =/=  1 )  ->  ( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  1 )  =  D )
6339, 61, 24, 62syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  B >. ,  <. 1 ,  D >. } `  1
)  =  D )
6460, 63oveq12d 6314 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  1 ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  1 ) )  =  ( C ( +g  ` ring ) D ) )
6557, 64sylan9eqr 2520 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  /\  x  =  1 )  ->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) )  =  ( C ( +g  ` ring ) D ) )
6638, 39, 41, 43, 54, 65fmptpr 6097 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  ->  { <. 0 ,  ( A ( +g  ` ring ) B ) >. ,  <. 1 ,  ( C ( +g  ` ring ) D ) >. }  =  ( x  e.  { 0 ,  1 }  |->  ( ( {
<. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) ) ) )
6737, 66syl5reqr 2513 . 2  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( x  e.  {
0 ,  1 } 
|->  ( ( { <. 0 ,  A >. , 
<. 1 ,  C >. } `  x ) ( +g  ` ring ) ( { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } `  x ) ) )  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D )
>. } )
6817, 30, 673eqtrd 2502 1  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( C  e.  ZZ  /\  D  e.  ZZ ) )  -> 
( { <. 0 ,  A >. ,  <. 1 ,  C >. }  .+  { <. 0 ,  B >. , 
<. 1 ,  D >. } )  =  { <. 0 ,  ( A  +  B ) >. ,  <. 1 ,  ( C  +  D )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109   {cpr 4034   <.cop 4038    |-> cmpt 4515    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    oFcof 6537   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512   ZZcz 10885   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   Ringcrg 17325  ℤringzring 18615   freeLMod cfrlm 18904
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-0g 14859  df-prds 14865  df-pws 14867  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-cmn 16927  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327  df-cring 17328  df-subrg 17554  df-sra 17945  df-rgmod 17946  df-cnfld 18548  df-zring 18616  df-dsmm 18890  df-frlm 18905
This theorem is referenced by:  zlmodzxzsub  33093  zlmodzxzequap  33244
  Copyright terms: Public domain W3C validator