Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmodzxz0 Structured version   Unicode version

Theorem zlmodzxz0 30900
Description: The  0 of the  ZZ-module  ZZ  X.  ZZ. (Contributed by AV, 20-May-2019.) (Revised by AV, 10-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmodzxz.z  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
zlmodzxz.o  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
Assertion
Ref Expression
zlmodzxz0  |-  .0.  =  ( 0g `  Z )

Proof of Theorem zlmodzxz0
StepHypRef Expression
1 zlmodzxz.o . 2  |-  .0.  =  { <. 0 ,  0
>. ,  <. 1 ,  0 >. }
2 c0ex 9490 . . 3  |-  0  e.  _V
3 1ex 9491 . . 3  |-  1  e.  _V
4 xpprsng 30866 . . 3  |-  ( ( 0  e.  _V  /\  1  e.  _V  /\  0  e.  _V )  ->  ( { 0 ,  1 }  X.  { 0 } )  =  { <. 0 ,  0 >. ,  <. 1 ,  0
>. } )
52, 3, 2, 4mp3an 1315 . 2  |-  ( { 0 ,  1 }  X.  { 0 } )  =  { <. 0 ,  0 >. , 
<. 1 ,  0
>. }
6 zringrng 18010 . . 3  |-ring  e.  Ring
7 prex 4641 . . 3  |-  { 0 ,  1 }  e.  _V
8 zlmodzxz.z . . . 4  |-  Z  =  (ring freeLMod  { 0 ,  1 } )
9 zring0 18017 . . . 4  |-  0  =  ( 0g ` ring )
108, 9frlm0 18303 . . 3  |-  ( (ring  e. 
Ring  /\  { 0 ,  1 }  e.  _V )  ->  ( { 0 ,  1 }  X.  { 0 } )  =  ( 0g `  Z ) )
116, 7, 10mp2an 672 . 2  |-  ( { 0 ,  1 }  X.  { 0 } )  =  ( 0g
`  Z )
121, 5, 113eqtr2i 2489 1  |-  .0.  =  ( 0g `  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3076   {csn 3984   {cpr 3986   <.cop 3990    X. cxp 4945   ` cfv 5525  (class class class)co 6199   0cc0 9392   1c1 9393   0gc0g 14496   Ringcrg 16767  ℤringzring 18007   freeLMod cfrlm 18295
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4510  ax-sep 4520  ax-nul 4528  ax-pow 4577  ax-pr 4638  ax-un 6481  ax-cnex 9448  ax-resscn 9449  ax-1cn 9450  ax-icn 9451  ax-addcl 9452  ax-addrcl 9453  ax-mulcl 9454  ax-mulrcl 9455  ax-mulcom 9456  ax-addass 9457  ax-mulass 9458  ax-distr 9459  ax-i2m1 9460  ax-1ne0 9461  ax-1rid 9462  ax-rnegex 9463  ax-rrecex 9464  ax-cnre 9465  ax-pre-lttri 9466  ax-pre-lttrn 9467  ax-pre-ltadd 9468  ax-pre-mulgt0 9469  ax-addf 9471  ax-mulf 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2649  df-nel 2650  df-ral 2803  df-rex 2804  df-reu 2805  df-rmo 2806  df-rab 2807  df-v 3078  df-sbc 3293  df-csb 3395  df-dif 3438  df-un 3440  df-in 3442  df-ss 3449  df-pss 3451  df-nul 3745  df-if 3899  df-pw 3969  df-sn 3985  df-pr 3987  df-tp 3989  df-op 3991  df-uni 4199  df-int 4236  df-iun 4280  df-br 4400  df-opab 4458  df-mpt 4459  df-tr 4493  df-eprel 4739  df-id 4743  df-po 4748  df-so 4749  df-fr 4786  df-we 4788  df-ord 4829  df-on 4830  df-lim 4831  df-suc 4832  df-xp 4953  df-rel 4954  df-cnv 4955  df-co 4956  df-dm 4957  df-rn 4958  df-res 4959  df-ima 4960  df-iota 5488  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6160  df-ov 6202  df-oprab 6203  df-mpt2 6204  df-om 6586  df-1st 6686  df-2nd 6687  df-recs 6941  df-rdg 6975  df-1o 7029  df-oadd 7033  df-er 7210  df-map 7325  df-ixp 7373  df-en 7420  df-dom 7421  df-sdom 7422  df-fin 7423  df-sup 7801  df-pnf 9530  df-mnf 9531  df-xr 9532  df-ltxr 9533  df-le 9534  df-sub 9707  df-neg 9708  df-nn 10433  df-2 10490  df-3 10491  df-4 10492  df-5 10493  df-6 10494  df-7 10495  df-8 10496  df-9 10497  df-10 10498  df-n0 10690  df-z 10757  df-dec 10866  df-uz 10972  df-fz 11554  df-struct 14293  df-ndx 14294  df-slot 14295  df-base 14296  df-sets 14297  df-ress 14298  df-plusg 14369  df-mulr 14370  df-starv 14371  df-sca 14372  df-vsca 14373  df-ip 14374  df-tset 14375  df-ple 14376  df-ds 14378  df-unif 14379  df-hom 14380  df-cco 14381  df-0g 14498  df-prds 14504  df-pws 14506  df-mnd 15533  df-grp 15663  df-minusg 15664  df-sbg 15665  df-subg 15796  df-cmn 16399  df-mgp 16713  df-ur 16725  df-rng 16769  df-cring 16770  df-subrg 16985  df-lmod 17072  df-lss 17136  df-sra 17375  df-rgmod 17376  df-cnfld 17943  df-zring 18008  df-dsmm 18281  df-frlm 18296
This theorem is referenced by:  zlmodzxzldeplem3  31162
  Copyright terms: Public domain W3C validator