MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmlmod Structured version   Unicode version

Theorem zlmlmod 18735
Description: The  ZZ-module operation turns an arbitrary abelian group into a left module over  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlmod.w  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
Assertion
Ref Expression
zlmlmod  |-  ( G  e.  Abel  <->  W  e.  LMod )

Proof of Theorem zlmlmod
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmlmod.w . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
31, 2zlmbas 18730 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  W )
43a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  W )
)
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
61, 5zlmplusg 18731 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  W )
76a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  W ) )
81zlmsca 18733 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->ring  =  (Scalar `  W
) )
9 eqid 2454 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
101, 9zlmvsca 18734 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  ( .s
`  W )
1110a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  (.g `  G
)  =  ( .s
`  W ) )
12 zringbas 18689 . . . 4  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
1312a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  ZZ  =  ( Base ` ring ) )
14 zringplusg 18690 . . . 4  |-  +  =  ( +g  ` ring )
1514a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  +  =  ( +g  ` ring ) )
16 zringmulr 18692 . . . 4  |-  x.  =  ( .r ` ring )
1716a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  x.  =  ( .r ` ring ) )
18 zring1 18694 . . . 4  |-  1  =  ( 1r ` ring )
1918a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  1  =  ( 1r ` ring ) )
20 zringring 18686 . . . 4  |-ring  e.  Ring
2120a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->ring  e.  Ring )
223, 6ablprop 17008 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  W  e.  Abel )
23 ablgrp 17002 . . . 4  |-  ( W  e.  Abel  ->  W  e. 
Grp )
2422, 23sylbi 195 . . 3  |-  ( G  e.  Abel  ->  W  e. 
Grp )
25 ablgrp 17002 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  ->  G  e. 
Grp )
262, 9mulgcl 16358 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x (.g `  G ) y )  e.  ( Base `  G ) )
2725, 26syl3an1 1259 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x (.g `  G ) y )  e.  ( Base `  G ) )
282, 9, 5mulgdi 17034 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x (.g `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( ( x (.g `  G ) y ) ( +g  `  G
) ( x (.g `  G ) z ) ) )
292, 9, 5mulgdir 16366 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( x  +  y ) (.g `  G ) z )  =  ( ( x (.g `  G ) z ) ( +g  `  G
) ( y (.g `  G ) z ) ) )
3025, 29sylan 469 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x  +  y ) (.g `  G
) z )  =  ( ( x (.g `  G ) z ) ( +g  `  G
) ( y (.g `  G ) z ) ) )
312, 9mulgass 16371 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ( Base `  G ) ) )  ->  ( ( x  x.  y ) (.g `  G ) z )  =  ( x (.g `  G ) ( y (.g `  G ) z ) ) )
3225, 31sylan 469 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ZZ  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x  x.  y ) (.g `  G
) z )  =  ( x (.g `  G
) ( y (.g `  G ) z ) ) )
332, 9mulg1 16348 . . . 4  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  ->  ( 1 (.g `  G ) x )  =  x )
3433adantl 464 . . 3  |-  ( ( G  e.  Abel  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
1 (.g `  G ) x )  =  x )
354, 7, 8, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 24, 27, 28, 30, 32, 34islmodd 17713 . 2  |-  ( G  e.  Abel  ->  W  e. 
LMod )
36 lmodabl 17752 . . 3  |-  ( W  e.  LMod  ->  W  e. 
Abel )
3736, 22sylibr 212 . 2  |-  ( W  e.  LMod  ->  G  e. 
Abel )
3835, 37impbii 188 1  |-  ( G  e.  Abel  <->  W  e.  LMod )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   1c1 9482    + caddc 9484    x. cmul 9486   ZZcz 10860   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   .rcmulr 14785   .scvsca 14788   Grpcgrp 16252  .gcmg 16255   Abelcabl 16998   1rcur 17348   Ringcrg 17393   LModclmod 17707  ℤringzring 18683   ZModczlm 18713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-seq 12090  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-mulg 16259  df-subg 16397  df-cmn 16999  df-abl 17000  df-mgp 17337  df-ur 17349  df-ring 17395  df-cring 17396  df-subrg 17622  df-lmod 17709  df-cnfld 18616  df-zring 18684  df-zlm 18717
This theorem is referenced by:  zlmassa  18736  zlmclm  21761  nmmulg  28183  cnzh  28185  rezh  28186
  Copyright terms: Public domain W3C validator