MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmlem Structured version   Unicode version

Theorem zlmlem 18066
Description: Lemma for zlmbas 18067 and zlmplusg 18068. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmbas.w  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
zlmlem.2  |-  E  = Slot 
N
zlmlem.3  |-  N  e.  NN
zlmlem.4  |-  N  <  5
Assertion
Ref Expression
zlmlem  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  W
)

Proof of Theorem zlmlem
StepHypRef Expression
1 zlmbas.w . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2zlmval 18065 . . . 4  |-  ( G  e.  _V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G
) >. ) )
43fveq2d 5796 . . 3  |-  ( G  e.  _V  ->  ( E `  W )  =  ( E `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) ) )
5 zlmlem.2 . . . . . 6  |-  E  = Slot 
N
6 zlmlem.3 . . . . . 6  |-  N  e.  NN
75, 6ndxid 14306 . . . . 5  |-  E  = Slot  ( E `  ndx )
85, 6ndxarg 14305 . . . . . . . 8  |-  ( E `
 ndx )  =  N
96nnrei 10435 . . . . . . . 8  |-  N  e.  RR
108, 9eqeltri 2535 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  e.  RR
11 zlmlem.4 . . . . . . . 8  |-  N  <  5
128, 11eqbrtri 4412 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  <  5
1310, 12ltneii 9591 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/=  5
14 scandx 14409 . . . . . 6  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1513, 14neeqtrri 2747 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  (Scalar `  ndx )
167, 15setsnid 14327 . . . 4  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) )
17 5lt6 10602 . . . . . . . 8  |-  5  <  6
18 5re 10504 . . . . . . . . 9  |-  5  e.  RR
19 6re 10506 . . . . . . . . 9  |-  6  e.  RR
2010, 18, 19lttri 9604 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( E `  ndx )  <  5  /\  5  <  6 )  ->  ( E `  ndx )  <  6 )
2112, 17, 20mp2an 672 . . . . . . 7  |-  ( E `
 ndx )  <  6
2210, 21ltneii 9591 . . . . . 6  |-  ( E `
 ndx )  =/=  6
23 vscandx 14411 . . . . . 6  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
2422, 23neeqtrri 2747 . . . . 5  |-  ( E `
 ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
257, 24setsnid 14327 . . . 4  |-  ( E `
 ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) )  =  ( E `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
2616, 25eqtri 2480 . . 3  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
274, 26syl6reqr 2511 . 2  |-  ( G  e.  _V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  W ) )
285str0 14323 . . 3  |-  (/)  =  ( E `  (/) )
29 fvprc 5786 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( E `  G )  =  (/) )
30 fvprc 5786 . . . . 5  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( ZMod `  G )  =  (/) )
311, 30syl5eq 2504 . . . 4  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  W  =  (/) )
3231fveq2d 5796 . . 3  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( E `  W )  =  ( E `  (/) ) )
3328, 29, 323eqtr4a 2518 . 2  |-  ( -.  G  e.  _V  ->  ( E `  G )  =  ( E `  W ) )
3427, 33pm2.61i 164 1  |-  ( E `
 G )  =  ( E `  W
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3071   (/)c0 3738   <.cop 3984   class class class wbr 4393   ` cfv 5519  (class class class)co 6193   RRcr 9385    < clt 9522   NNcn 10426   5c5 10478   6c6 10479   ndxcnx 14282   sSet csts 14283  Slot cslot 14284  Scalarcsca 14352   .scvsca 14353  .gcmg 15525  ℤringzring 18001   ZModczlm 18050
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-er 7204  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-sets 14291  df-sca 14365  df-vsca 14366  df-zlm 18054
This theorem is referenced by:  zlmbas  18067  zlmplusg  18068  zlmmulr  18069
  Copyright terms: Public domain W3C validator