Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmds Structured version   Unicode version

Theorem zlmds 27609
Description: Distance in a  ZZ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmlem2.1  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
zlmds.1  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
zlmds  |-  ( G  e.  V  ->  D  =  ( dist `  W
) )

Proof of Theorem zlmds
StepHypRef Expression
1 zlmlem2.1 . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2467 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2zlmval 18348 . . . 4  |-  ( G  e.  V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G
) >. ) )
43fveq2d 5870 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  ( dist `  W )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) ) )
5 dsid 14659 . . . . 5  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
6 5re 10614 . . . . . . 7  |-  5  e.  RR
7 1nn 10547 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
8 2nn0 10812 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
9 5nn0 10815 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
10 5lt10 10742 . . . . . . . 8  |-  5  <  10
117, 8, 9, 10declti 11001 . . . . . . 7  |-  5  < ; 1
2
126, 11gtneii 9696 . . . . . 6  |- ; 1 2  =/=  5
13 dsndx 14658 . . . . . . 7  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
14 scandx 14615 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1513, 14neeq12i 2756 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (Scalar `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  5
)
1612, 15mpbir 209 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (Scalar ` 
ndx )
175, 16setsnid 14532 . . . 4  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  ( G sSet  <.
(Scalar `  ndx ) ,ring >. ) )
18 6re 10616 . . . . . . 7  |-  6  e.  RR
19 6nn0 10816 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN0
20 6lt10 10741 . . . . . . . 8  |-  6  <  10
217, 8, 19, 20declti 11001 . . . . . . 7  |-  6  < ; 1
2
2218, 21gtneii 9696 . . . . . 6  |- ; 1 2  =/=  6
23 vscandx 14617 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
2413, 23neeq12i 2756 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx ) 
<-> ; 1
2  =/=  6 )
2522, 24mpbir 209 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
265, 25setsnid 14532 . . . 4  |-  ( dist `  ( G sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,ring >. ) )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
2717, 26eqtri 2496 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
284, 27syl6eqr 2526 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( dist `  W )  =  ( dist `  G
) )
29 zlmds.1 . 2  |-  D  =  ( dist `  G
)
3028, 29syl6reqr 2527 1  |-  ( G  e.  V  ->  D  =  ( dist `  W
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   <.cop 4033   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   1c1 9493   2c2 10585   5c5 10588   6c6 10589  ;cdc 10976   ndxcnx 14487   sSet csts 14488  Scalarcsca 14558   .scvsca 14559   distcds 14564  .gcmg 15731  ℤringzring 18284   ZModczlm 18333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-10 10602  df-n0 10796  df-z 10865  df-dec 10977  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-sets 14496  df-sca 14571  df-vsca 14572  df-ds 14577  df-zlm 18337
This theorem is referenced by:  zlmnm  27611  zhmnrg  27612
  Copyright terms: Public domain W3C validator