Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmds Structured version   Unicode version

Theorem zlmds 26392
Description: Distance in a  ZZ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmlem2.1  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
zlmds.1  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
zlmds  |-  ( G  e.  V  ->  D  =  ( dist `  W
) )

Proof of Theorem zlmds
StepHypRef Expression
1 zlmlem2.1 . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2442 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2zlmval 17946 . . . 4  |-  ( G  e.  V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G
) >. ) )
43fveq2d 5694 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  ( dist `  W )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) ) )
5 dsid 14341 . . . . 5  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
6 5re 10399 . . . . . . 7  |-  5  e.  RR
7 1nn 10332 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
8 2nn0 10595 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
9 5nn0 10598 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
10 5lt10 10527 . . . . . . . 8  |-  5  <  10
117, 8, 9, 10declti 10779 . . . . . . 7  |-  5  < ; 1
2
126, 11gtneii 9485 . . . . . 6  |- ; 1 2  =/=  5
13 dsndx 14340 . . . . . . 7  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
14 scandx 14297 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1513, 14neeq12i 2619 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (Scalar `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  5
)
1612, 15mpbir 209 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (Scalar ` 
ndx )
175, 16setsnid 14215 . . . 4  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  ( G sSet  <.
(Scalar `  ndx ) ,ring >. ) )
18 6re 10401 . . . . . . 7  |-  6  e.  RR
19 6nn0 10599 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN0
20 6lt10 10526 . . . . . . . 8  |-  6  <  10
217, 8, 19, 20declti 10779 . . . . . . 7  |-  6  < ; 1
2
2218, 21gtneii 9485 . . . . . 6  |- ; 1 2  =/=  6
23 vscandx 14299 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
2413, 23neeq12i 2619 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx ) 
<-> ; 1
2  =/=  6 )
2522, 24mpbir 209 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
265, 25setsnid 14215 . . . 4  |-  ( dist `  ( G sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,ring >. ) )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
2717, 26eqtri 2462 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
284, 27syl6eqr 2492 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( dist `  W )  =  ( dist `  G
) )
29 zlmds.1 . 2  |-  D  =  ( dist `  G
)
3028, 29syl6reqr 2493 1  |-  ( G  e.  V  ->  D  =  ( dist `  W
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2605   <.cop 3882   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   1c1 9282   2c2 10370   5c5 10373   6c6 10374  ;cdc 10754   ndxcnx 14170   sSet csts 14171  Scalarcsca 14240   .scvsca 14241   distcds 14246  .gcmg 15413  ℤringzring 17882   ZModczlm 17931
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-iun 4172  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-10 10387  df-n0 10579  df-z 10646  df-dec 10755  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-sets 14179  df-sca 14253  df-vsca 14254  df-ds 14259  df-zlm 17935
This theorem is referenced by:  zlmnm  26394  zhmnrg  26395
  Copyright terms: Public domain W3C validator