Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmds Structured version   Unicode version

Theorem zlmds 28776
Description: Distance in a  ZZ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmlem2.1  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
zlmds.1  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
zlmds  |-  ( G  e.  V  ->  D  =  ( dist `  W
) )

Proof of Theorem zlmds
StepHypRef Expression
1 zlmlem2.1 . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2422 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2zlmval 19085 . . . 4  |-  ( G  e.  V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G
) >. ) )
43fveq2d 5885 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  ( dist `  W )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) ) )
5 dsid 15300 . . . . 5  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
6 5re 10695 . . . . . . 7  |-  5  e.  RR
7 1nn 10627 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
8 2nn0 10893 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
9 5nn0 10896 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
10 5lt10 10823 . . . . . . . 8  |-  5  <  10
117, 8, 9, 10declti 11083 . . . . . . 7  |-  5  < ; 1
2
126, 11gtneii 9753 . . . . . 6  |- ; 1 2  =/=  5
13 dsndx 15299 . . . . . . 7  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
14 scandx 15256 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1513, 14neeq12i 2709 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (Scalar `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  5
)
1612, 15mpbir 212 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (Scalar ` 
ndx )
175, 16setsnid 15164 . . . 4  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  ( G sSet  <.
(Scalar `  ndx ) ,ring >. ) )
18 6re 10697 . . . . . . 7  |-  6  e.  RR
19 6nn0 10897 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN0
20 6lt10 10822 . . . . . . . 8  |-  6  <  10
217, 8, 19, 20declti 11083 . . . . . . 7  |-  6  < ; 1
2
2218, 21gtneii 9753 . . . . . 6  |- ; 1 2  =/=  6
23 vscandx 15258 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
2413, 23neeq12i 2709 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx ) 
<-> ; 1
2  =/=  6 )
2522, 24mpbir 212 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
265, 25setsnid 15164 . . . 4  |-  ( dist `  ( G sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,ring >. ) )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
2717, 26eqtri 2451 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
284, 27syl6eqr 2481 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( dist `  W )  =  ( dist `  G
) )
29 zlmds.1 . 2  |-  D  =  ( dist `  G
)
3028, 29syl6reqr 2482 1  |-  ( G  e.  V  ->  D  =  ( dist `  W
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614   <.cop 4004   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1c1 9547   2c2 10666   5c5 10669   6c6 10670  ;cdc 11058   ndxcnx 15117   sSet csts 15118  Scalarcsca 15192   .scvsca 15193   distcds 15198  .gcmg 16671  ℤringzring 19037   ZModczlm 19070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-sets 15126  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ds 15211  df-zlm 19074
This theorem is referenced by:  zlmnm  28778  zhmnrg  28779
  Copyright terms: Public domain W3C validator