Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zlmds Structured version   Unicode version

Theorem zlmds 28607
Description: Distance in a  ZZ-module (if present). (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zlmlem2.1  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
zlmds.1  |-  D  =  ( dist `  G
)
Assertion
Ref Expression
zlmds  |-  ( G  e.  V  ->  D  =  ( dist `  W
) )

Proof of Theorem zlmds
StepHypRef Expression
1 zlmlem2.1 . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2429 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
31, 2zlmval 19018 . . . 4  |-  ( G  e.  V  ->  W  =  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G
) >. ) )
43fveq2d 5885 . . 3  |-  ( G  e.  V  ->  ( dist `  W )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) ) )
5 dsid 15260 . . . . 5  |-  dist  = Slot  ( dist `  ndx )
6 5re 10688 . . . . . . 7  |-  5  e.  RR
7 1nn 10620 . . . . . . . 8  |-  1  e.  NN
8 2nn0 10886 . . . . . . . 8  |-  2  e.  NN0
9 5nn0 10889 . . . . . . . 8  |-  5  e.  NN0
10 5lt10 10816 . . . . . . . 8  |-  5  <  10
117, 8, 9, 10declti 11076 . . . . . . 7  |-  5  < ; 1
2
126, 11gtneii 9745 . . . . . 6  |- ; 1 2  =/=  5
13 dsndx 15259 . . . . . . 7  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
14 scandx 15216 . . . . . . 7  |-  (Scalar `  ndx )  =  5
1513, 14neeq12i 2720 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  (Scalar `  ndx )  <-> ; 1 2  =/=  5
)
1612, 15mpbir 212 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  =/=  (Scalar ` 
ndx )
175, 16setsnid 15128 . . . 4  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  ( G sSet  <.
(Scalar `  ndx ) ,ring >. ) )
18 6re 10690 . . . . . . 7  |-  6  e.  RR
19 6nn0 10890 . . . . . . . 8  |-  6  e.  NN0
20 6lt10 10815 . . . . . . . 8  |-  6  <  10
217, 8, 19, 20declti 11076 . . . . . . 7  |-  6  < ; 1
2
2218, 21gtneii 9745 . . . . . 6  |- ; 1 2  =/=  6
23 vscandx 15218 . . . . . . 7  |-  ( .s
`  ndx )  =  6
2413, 23neeq12i 2720 . . . . . 6  |-  ( (
dist `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx ) 
<-> ; 1
2  =/=  6 )
2522, 24mpbir 212 . . . . 5  |-  ( dist `  ndx )  =/=  ( .s `  ndx )
265, 25setsnid 15128 . . . 4  |-  ( dist `  ( G sSet  <. (Scalar ` 
ndx ) ,ring >. ) )  =  ( dist `  (
( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
2717, 26eqtri 2458 . . 3  |-  ( dist `  G )  =  (
dist `  ( ( G sSet  <. (Scalar `  ndx ) ,ring >. ) sSet  <. ( .s `  ndx ) ,  (.g `  G ) >.
) )
284, 27syl6eqr 2488 . 2  |-  ( G  e.  V  ->  ( dist `  W )  =  ( dist `  G
) )
29 zlmds.1 . 2  |-  D  =  ( dist `  G
)
3028, 29syl6reqr 2489 1  |-  ( G  e.  V  ->  D  =  ( dist `  W
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   <.cop 4008   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   1c1 9539   2c2 10659   5c5 10662   6c6 10663  ;cdc 11051   ndxcnx 15081   sSet csts 15082  Scalarcsca 15155   .scvsca 15156   distcds 15161  .gcmg 16623  ℤringzring 18973   ZModczlm 19003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-sets 15090  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ds 15174  df-zlm 19007
This theorem is referenced by:  zlmnm  28609  zhmnrg  28610
  Copyright terms: Public domain W3C validator