MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmassa Structured version   Unicode version

Theorem zlmassa 18090
Description: The  ZZ-module operation turns a ring into an associative algebra over  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlmod.w  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
Assertion
Ref Expression
zlmassa  |-  ( G  e.  Ring  <->  W  e. AssAlg )

Proof of Theorem zlmassa
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmlmod.w . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
31, 2zlmbas 18084 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  W )
43a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  W )
)
51zlmsca 18087 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->ring  =  (Scalar `  W
) )
6 zringbas 18024 . . . 4  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
76a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  ZZ  =  ( Base ` ring ) )
8 eqid 2454 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
91, 8zlmvsca 18088 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  ( .s
`  W )
109a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  (.g `  G
)  =  ( .s
`  W ) )
11 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( .r
`  G )  =  ( .r `  G
)
121, 11zlmmulr 18086 . . . 4  |-  ( .r
`  G )  =  ( .r `  W
)
1312a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  ( .r
`  G )  =  ( .r `  W
) )
14 rngabl 16807 . . . 4  |-  ( G  e.  Ring  ->  G  e. 
Abel )
151zlmlmod 18089 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  W  e.  LMod )
1614, 15sylib 196 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  W  e. 
LMod )
17 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
181, 17zlmplusg 18085 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  W )
193, 18, 12rngprop 16811 . . . 4  |-  ( G  e.  Ring  <->  W  e.  Ring )
2019biimpi 194 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  W  e. 
Ring )
21 zringcrng 18020 . . . 4  |-ring  e.  CRing
2221a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->ring  e.  CRing )
232, 8, 11mulgass2 16825 . . 3  |-  ( ( G  e.  Ring  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (.g `  G ) y ) ( .r `  G
) z )  =  ( x (.g `  G
) ( y ( .r `  G ) z ) ) )
242, 8, 11mulgass3 16862 . . 3  |-  ( ( G  e.  Ring  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( .r
`  G ) ( x (.g `  G ) z ) )  =  ( x (.g `  G ) ( y ( .r `  G ) z ) ) )
254, 5, 7, 10, 13, 16, 20, 22, 23, 24isassad 17527 . 2  |-  ( G  e.  Ring  ->  W  e. AssAlg
)
26 assarng 17525 . . 3  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
2726, 19sylibr 212 . 2  |-  ( W  e. AssAlg  ->  G  e.  Ring )
2825, 27impbii 188 1  |-  ( G  e.  Ring  <->  W  e. AssAlg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5529   ZZcz 10761   Basecbs 14296   +g cplusg 14361   .rcmulr 14362   .scvsca 14365  .gcmg 15537   Abelcabel 16403   Ringcrg 16778   CRingccrg 16779   LModclmod 17081  AssAlgcasa 17514  ℤringzring 18018   ZModczlm 18067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-inf2 7962  ax-cnex 9453  ax-resscn 9454  ax-1cn 9455  ax-icn 9456  ax-addcl 9457  ax-addrcl 9458  ax-mulcl 9459  ax-mulrcl 9460  ax-mulcom 9461  ax-addass 9462  ax-mulass 9463  ax-distr 9464  ax-i2m1 9465  ax-1ne0 9466  ax-1rid 9467  ax-rnegex 9468  ax-rrecex 9469  ax-cnre 9470  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472  ax-pre-ltadd 9473  ax-pre-mulgt0 9474  ax-addf 9476  ax-mulf 9477
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-tpos 6858  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539  df-sub 9712  df-neg 9713  df-nn 10438  df-2 10495  df-3 10496  df-4 10497  df-5 10498  df-6 10499  df-7 10500  df-8 10501  df-9 10502  df-10 10503  df-n0 10695  df-z 10762  df-dec 10871  df-uz 10977  df-fz 11559  df-fzo 11670  df-seq 11928  df-struct 14298  df-ndx 14299  df-slot 14300  df-base 14301  df-sets 14302  df-ress 14303  df-plusg 14374  df-mulr 14375  df-starv 14376  df-sca 14377  df-vsca 14378  df-tset 14380  df-ple 14381  df-ds 14383  df-unif 14384  df-0g 14503  df-mnd 15538  df-grp 15668  df-minusg 15669  df-mulg 15671  df-subg 15801  df-cmn 16404  df-abl 16405  df-mgp 16724  df-ur 16736  df-rng 16780  df-cring 16781  df-oppr 16848  df-subrg 16996  df-lmod 17083  df-assa 17517  df-cnfld 17954  df-zring 18019  df-zlm 18071
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator