MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlmassa Structured version   Unicode version

Theorem zlmassa 18753
Description: The  ZZ-module operation turns a ring into an associative algebra over  ZZ. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlmod.w  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
Assertion
Ref Expression
zlmassa  |-  ( G  e.  Ring  <->  W  e. AssAlg )

Proof of Theorem zlmassa
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlmlmod.w . . . . 5  |-  W  =  ( ZMod `  G
)
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
31, 2zlmbas 18747 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  W )
43a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  ( Base `  G )  =  (
Base `  W )
)
51zlmsca 18750 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->ring  =  (Scalar `  W
) )
6 zringbas 18706 . . . 4  |-  ZZ  =  ( Base ` ring )
76a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  ZZ  =  ( Base ` ring ) )
8 eqid 2402 . . . . 5  |-  (.g `  G
)  =  (.g `  G
)
91, 8zlmvsca 18751 . . . 4  |-  (.g `  G
)  =  ( .s
`  W )
109a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  (.g `  G
)  =  ( .s
`  W ) )
11 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( .r
`  G )  =  ( .r `  G
)
121, 11zlmmulr 18749 . . . 4  |-  ( .r
`  G )  =  ( .r `  W
)
1312a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  ( .r
`  G )  =  ( .r `  W
) )
14 ringabl 17440 . . . 4  |-  ( G  e.  Ring  ->  G  e. 
Abel )
151zlmlmod 18752 . . . 4  |-  ( G  e.  Abel  <->  W  e.  LMod )
1614, 15sylib 196 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  W  e. 
LMod )
17 eqid 2402 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
181, 17zlmplusg 18748 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  W )
193, 18, 12ringprop 17444 . . . 4  |-  ( G  e.  Ring  <->  W  e.  Ring )
2019biimpi 194 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->  W  e. 
Ring )
21 zringcrng 18702 . . . 4  |-ring  e.  CRing
2221a1i 11 . . 3  |-  ( G  e.  Ring  ->ring  e.  CRing )
232, 8, 11mulgass2 17459 . . 3  |-  ( ( G  e.  Ring  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x (.g `  G ) y ) ( .r `  G
) z )  =  ( x (.g `  G
) ( y ( .r `  G ) z ) ) )
242, 8, 11mulgass3 17498 . . 3  |-  ( ( G  e.  Ring  /\  (
x  e.  ZZ  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( .r
`  G ) ( x (.g `  G ) z ) )  =  ( x (.g `  G ) ( y ( .r `  G ) z ) ) )
254, 5, 7, 10, 13, 16, 20, 22, 23, 24isassad 18184 . 2  |-  ( G  e.  Ring  ->  W  e. AssAlg
)
26 assaring 18181 . . 3  |-  ( W  e. AssAlg  ->  W  e.  Ring )
2726, 19sylibr 212 . 2  |-  ( W  e. AssAlg  ->  G  e.  Ring )
2825, 27impbii 188 1  |-  ( G  e.  Ring  <->  W  e. AssAlg )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5525   ZZcz 10825   Basecbs 14733   +g cplusg 14801   .rcmulr 14802   .scvsca 14805  .gcmg 16272   Abelcabl 17015   Ringcrg 17410   CRingccrg 17411   LModclmod 17724  AssAlgcasa 18170  ℤringzring 18700   ZModczlm 18730
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-addf 9521  ax-mulf 9522
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-oadd 7091  df-er 7268  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-10 10563  df-n0 10757  df-z 10826  df-dec 10940  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-mulr 14815  df-starv 14816  df-sca 14817  df-vsca 14818  df-tset 14820  df-ple 14821  df-ds 14823  df-unif 14824  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-cmn 17016  df-abl 17017  df-mgp 17354  df-ur 17366  df-ring 17412  df-cring 17413  df-oppr 17484  df-subrg 17639  df-lmod 17726  df-assa 18173  df-cnfld 18633  df-zring 18701  df-zlm 18734
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator