Theorem zlem1lt 10696

Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)

Assertion

Ref	Expression
zlem1lt	|- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( M - 1 ) < N ) )

Proof of Theorem zlem1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano2zm 10688	. . 3 |- ( M e. ZZ -> ( M - 1 ) e. ZZ )
2		zltp1le 10694	. . 3 |- ( ( ( M - 1 ) e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) < N <-> ( ( M - 1 ) + 1 ) <_ N ) )
3	1, 2	sylan 471	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) < N <-> ( ( M - 1 ) + 1 ) <_ N ) )
4		zcn 10651	. . . . 5 |- ( M e. ZZ -> M e. CC )
5		ax-1cn 9340	. . . . 5 |- 1 e. CC
6		npcan 9619	. . . . 5 |- ( ( M e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
7	4, 5, 6	sylancl 662	. . . 4 |- ( M e. ZZ -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
8	7	adantr 465	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( M - 1 ) + 1 ) = M )
9	8	breq1d 4302	. 2 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( ( ( M - 1 ) + 1 ) <_ N <-> M <_ N ) )
10	3, 9	bitr2d 254	1 |- ( ( M e. ZZ /\ N e. ZZ ) -> ( M <_ N <-> ( M - 1 ) < N ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   class class class wbr 4292  (class class class)co 6091   CCcc 9280   1c1 9283   + caddc 9285   < clt 9418   <_ cle 9419   - cmin 9595   ZZcz 10646

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-n0 10580  df-z 10647

This theorem is referenced by:  nn0lem1lt  10707  nnlem1lt  10708  zbtwnre  10951  uzdisj  11531  fzon  11571  ssfzo12  11620  ceile  11688  cshwidxn  12445  bitsfzolem  13630  bitscmp  13634  bitsinv1lem  13637  hashdvds  13850  logf1o2  22095  ang180lem3  22207  lgsquadlem1  22693  fzsplit3  26078  ballotlemfc0  26875  ballotlemfcc  26876  ballotlemimin  26888  ballotlemfrceq  26911  ballotlemfrcn0  26912  irrapxlem3  29165  stoweidlem26  29821  fzoopth  30213  frgrawopreglem2  30638