MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zlem1lt Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zlem1lt 10985
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 13-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
zlem1lt  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  -  1 )  <  N ) )

Proof of Theorem zlem1lt
StepHypRef Expression
1 peano2zm 10977 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( M  -  1 )  e.  ZZ )
2 zltp1le 10983 . . 3  |-  ( ( ( M  -  1 )  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  - 
1 )  <  N  <->  ( ( M  -  1 )  +  1 )  <_  N ) )
31, 2sylan 474 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  - 
1 )  <  N  <->  ( ( M  -  1 )  +  1 )  <_  N ) )
4 zcn 10939 . . . . 5  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  CC )
5 ax-1cn 9594 . . . . 5  |-  1  e.  CC
6 npcan 9881 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
74, 5, 6sylancl 667 . . . 4  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
( M  -  1 )  +  1 )  =  M )
87adantr 467 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( M  - 
1 )  +  1 )  =  M )
98breq1d 4411 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( ( ( M  -  1 )  +  1 )  <_  N  <->  M  <_  N ) )
103, 9bitr2d 258 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  -  1 )  <  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   class class class wbr 4401  (class class class)co 6288   CCcc 9534   1c1 9537    + caddc 9539    < clt 9672    <_ cle 9673    - cmin 9857   ZZcz 10934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-nn 10607  df-n0 10867  df-z 10935
This theorem is referenced by:  nn0lem1lt  10998  nnlem1lt  10999  zbtwnre  11259  uzdisj  11864  nn0disj  11904  fzon  11936  ssfzo12  12001  ceile  12073  cshwidxn  12905  bitsfzolem  14400  bitsfzolemOLD  14401  bitscmp  14405  bitsinv1lem  14408  hashdvds  14716  logf1o2  23588  ang180lem3  23733  lgsquadlem1  24275  frgrawopreglem2  25766  fzsplit3  28363  ballotlemfc0  29318  ballotlemfcc  29319  ballotlemimin  29331  ballotlemfrceq  29354  ballotlemfrcn0  29355  ballotlemiminOLD  29369  ballotlemfrceqOLD  29392  ballotlemfrcn0OLD  29393  poimirlem23  31956  poimirlem24  31957  irrapxlem3  35662  hashnzfz2  36664  fzdifsuc2  37524  stoweidlem26  37880  fourierdlem12  37975  nnsum3primesle9  38883  evengpop3  38887  fzoopth  39050  zgtp1leeq  40306  m1modmmod  40311  nnolog2flm1  40388
  Copyright terms: Public domain W3C validator