MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zleltp1 Structured version   Unicode version

Theorem zleltp1 10809
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zleltp1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  M  <  ( N  + 
1 ) ) )

Proof of Theorem zleltp1
StepHypRef Expression
1 zre 10764 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2 zre 10764 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3 1re 9499 . . . 4  |-  1  e.  RR
4 leadd1 9921 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) ) )
53, 4mp3an3 1304 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
61, 2, 5syl2an 477 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
7 peano2z 10800 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
8 zltp1le 10808 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( M  < 
( N  +  1 )  <->  ( M  + 
1 )  <_  ( N  +  1 ) ) )
97, 8sylan2 474 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  ( N  +  1 )  <-> 
( M  +  1 )  <_  ( N  +  1 ) ) )
106, 9bitr4d 256 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  M  <  ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9395   1c1 9397    + caddc 9399    < clt 9532    <_ cle 9533   ZZcz 10760
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-n0 10694  df-z 10761
This theorem is referenced by:  zltlem1  10811  nnleltp1  10813  nn0leltp1  10817  nn0lt10b  10820  suprzcl  10835  uzwo  11031  uzwoOLD  11032  flge  11775  flhalf  11794  om2uzlti  11893  seqf1olem1  11965  hashtpg  12307  fz1isolem  12335  prmind2  13895  prmreclem2  14099  plyco0  21796  plydivex  21899  logf1o2  22231  ang180lem3  22343  basellem3  22556  ppieq0  22650  chpeq0  22683  bposlem1  22759  bposlem6  22764  dchrvmasumiflem1  22886  mulog2sumlem2  22920  ballotlemfc0  27039  ballotlemfcc  27040  fdc  28809  irrapxlem1  29331  pellexlem5  29342  jm2.24  29474  chfacfisf  31360  chfacfisfcpmat  31361  chfacfscmulgsum  31366  chfacfpmmulgsum  31370
  Copyright terms: Public domain W3C validator