MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zleltp1 Structured version   Unicode version

Theorem zleltp1 10687
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zleltp1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  M  <  ( N  + 
1 ) ) )

Proof of Theorem zleltp1
StepHypRef Expression
1 zre 10642 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2 zre 10642 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3 1re 9377 . . . 4  |-  1  e.  RR
4 leadd1 9799 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) ) )
53, 4mp3an3 1303 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
61, 2, 5syl2an 477 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
7 peano2z 10678 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
8 zltp1le 10686 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( M  < 
( N  +  1 )  <->  ( M  + 
1 )  <_  ( N  +  1 ) ) )
97, 8sylan2 474 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  ( N  +  1 )  <-> 
( M  +  1 )  <_  ( N  +  1 ) ) )
106, 9bitr4d 256 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  M  <  ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410    <_ cle 9411   ZZcz 10638
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-n0 10572  df-z 10639
This theorem is referenced by:  zltlem1  10689  nnleltp1  10691  nn0leltp1  10695  nn0lt10b  10698  suprzcl  10713  uzwo  10909  uzwoOLD  10910  flge  11647  flhalf  11666  om2uzlti  11765  seqf1olem1  11837  hashtpg  12178  fz1isolem  12206  prmind2  13766  prmreclem2  13970  plyco0  21635  plydivex  21738  logf1o2  22070  ang180lem3  22182  basellem3  22395  ppieq0  22489  chpeq0  22522  bposlem1  22598  bposlem6  22603  dchrvmasumiflem1  22725  mulog2sumlem2  22759  ballotlemfc0  26827  ballotlemfcc  26828  fdc  28594  irrapxlem1  29116  pellexlem5  29127  jm2.24  29259
  Copyright terms: Public domain W3C validator