MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zleltp1 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zleltp1 10987
Description: Integer ordering relation. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
Assertion
Ref Expression
zleltp1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  M  <  ( N  + 
1 ) ) )

Proof of Theorem zleltp1
StepHypRef Expression
1 zre 10941 . . 3  |-  ( M  e.  ZZ  ->  M  e.  RR )
2 zre 10941 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  RR )
3 1re 9642 . . . 4  |-  1  e.  RR
4 leadd1 10082 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_ 
( N  +  1 ) ) )
53, 4mp3an3 1353 . . 3  |-  ( ( M  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
61, 2, 5syl2an 480 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  ( M  +  1 )  <_  ( N  + 
1 ) ) )
7 peano2z 10978 . . 3  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( N  +  1 )  e.  ZZ )
8 zltp1le 10986 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  ( N  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( M  < 
( N  +  1 )  <->  ( M  + 
1 )  <_  ( N  +  1 ) ) )
97, 8sylan2 477 . 2  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <  ( N  +  1 )  <-> 
( M  +  1 )  <_  ( N  +  1 ) ) )
106, 9bitr4d 260 1  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  N  <->  M  <  ( N  + 
1 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    e. wcel 1887   class class class wbr 4402  (class class class)co 6290   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676   ZZcz 10937
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938
This theorem is referenced by:  zltlem1  10989  nnleltp1  10991  nn0leltp1  10995  nn0lt10bOLD  10999  suprzcl  11015  uzwo  11222  flge  12041  flhalf  12062  om2uzlti  12164  seqf1olem1  12252  fz1isolem  12624  hashtpg  12641  prmind2  14635  prmreclem2  14861  prmgaplem8  15028  chfacfisf  19878  chfacfisfcpmat  19879  chfacfscmulgsum  19884  chfacfpmmulgsum  19888  plyco0  23146  plydivex  23250  logf1o2  23595  ang180lem3  23740  basellem3  24009  ppieq0  24103  chpeq0  24136  bposlem1  24212  bposlem6  24217  dchrvmasumiflem1  24339  mulog2sumlem2  24373  1smat1  28630  ballotlemfc0  29325  ballotlemfcc  29326  poimirlem24  31964  poimirlem28  31968  fdc  32074  irrapxlem1  35666  pellexlem5  35677  jm2.24  35813  zltlesub  37495  dvnxpaek  37817  fourierdlem50  38020  zgeltp1eq  38717  nnsum3primesle9  38889
  Copyright terms: Public domain W3C validator