Theorem zindd 7427

Description: Principle of Mathematical Induction on all integers, deduction version. The first five hypotheses give the substitutions; the last three are the basis, the induction, and the extension to negative numbers. (Contributed by Paul Chapman, 17-Apr-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
zindd.1	|- (x = 0 -> (ph <-> ps))
zindd.2	|- (x = y -> (ph <-> ch))
zindd.3	|- (x = (y + 1) -> (ph <-> ta))
zindd.4	|- (x = -uy -> (ph <-> th))
zindd.5	|- (x = A -> (ph <-> et))
zindd.6	|- (ze -> ps)
zindd.7	|- (ze -> (y e. NN0 -> (ch -> ta)))
zindd.8	|- (ze -> (y e. NN -> (ch -> th)))

Assertion

Ref	Expression
zindd	|- (ze -> (A e. ZZ -> et))

Distinct variable groups:   x,A   ch,x   et,x   ph,y   ps,x   ta,x   th,x   x,y,ze

Proof of Theorem zindd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znegcl 7372	. . . . . . . . 9 |- (y e. ZZ -> -uy e. ZZ)
2		elznn0nn 7357	. . . . . . . . . . 11 |- (-uy e. ZZ <-> (-uy e. NN0 \/ (-uy e. RR /\ -u-uy e. NN)))
3	2	biimpi 168	. . . . . . . . . 10 |- (-uy e. ZZ -> (-uy e. NN0 \/ (-uy e. RR /\ -u-uy e. NN)))
4		simpr 350	. . . . . . . . . . 11 |- ((-uy e. RR /\ -u-uy e. NN) -> -u-uy e. NN)
5	4	orim2i 365	. . . . . . . . . 10 |- ((-uy e. NN0 \/ (-uy e. RR /\ -u-uy e. NN)) -> (-uy e. NN0 \/ -u-uy e. NN))
6	3, 5	syl 12	. . . . . . . . 9 |- (-uy e. ZZ -> (-uy e. NN0 \/ -u-uy e. NN))
7	1, 6	syl 12	. . . . . . . 8 |- (y e. ZZ -> (-uy e. NN0 \/ -u-uy e. NN))
8		zcn 7349	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. ZZ -> y e. CC)
9		negneg 6553	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. CC -> -u-uy = y)
10	8, 9	syl 12	. . . . . . . . . 10 |- (y e. ZZ -> -u-uy = y)
11	10	eleq1d 1963	. . . . . . . . 9 |- (y e. ZZ -> (-u-uy e. NN <-> y e. NN))
12	11	orbi2d 676	. . . . . . . 8 |- (y e. ZZ -> ((-uy e. NN0 \/ -u-uy e. NN) <-> (-uy e. NN0 \/ y e. NN)))
13	7, 12	mpbid 212	. . . . . . 7 |- (y e. ZZ -> (-uy e. NN0 \/ y e. NN))
14		zindd.1	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = 0 -> (ph <-> ps))
15	14	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = 0 -> ((ze -> ph) <-> (ze -> ps)))
16		zindd.2	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = y -> (ph <-> ch))
17	16	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = y -> ((ze -> ph) <-> (ze -> ch)))
18		zindd.3	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x = (y + 1) -> (ph <-> ta))
19	18	imbi2d 674	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = (y + 1) -> ((ze -> ph) <-> (ze -> ta)))
20		zindd.6	. . . . . . . . . . . 12 |- (ze -> ps)
21		zindd.7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (ze -> (y e. NN0 -> (ch -> ta)))
22	21	com12 14	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN0 -> (ze -> (ch -> ta)))
23	22	a2d 16	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN0 -> ((ze -> ch) -> (ze -> ta)))
24	15, 17, 19, 17, 20, 23	nn0ind 7424	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. NN0 -> (ze -> ch))
25	24	rgen 2159	. . . . . . . . . 10 |- A.y e. NN0 (ze -> ch)
26	17	cbvralv 2280	. . . . . . . . . 10 |- (A.x e. NN0 (ze -> ph) <-> A.y e. NN0 (ze -> ch))
27	25, 26	mpbir 207	. . . . . . . . 9 |- A.x e. NN0 (ze -> ph)
28		zindd.4	. . . . . . . . . . 11 |- (x = -uy -> (ph <-> th))
29	28	imbi2d 674	. . . . . . . . . 10 |- (x = -uy -> ((ze -> ph) <-> (ze -> th)))
30	29	rcla4v 2376	. . . . . . . . 9 |- (-uy e. NN0 -> (A.x e. NN0 (ze -> ph) -> (ze -> th)))
31	27, 30	mpi 55	. . . . . . . 8 |- (-uy e. NN0 -> (ze -> th))
32		nnnn0 7315	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. NN -> y e. NN0)
33	32, 24	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (y e. NN -> (ze -> ch))
34	33	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- (ze -> (y e. NN -> ch))
35		zindd.8	. . . . . . . . . 10 |- (ze -> (y e. NN -> (ch -> th)))
36	34, 35	mpdd 57	. . . . . . . . 9 |- (ze -> (y e. NN -> th))
37	36	com12 14	. . . . . . . 8 |- (y e. NN -> (ze -> th))
38	31, 37	jaoi 368	. . . . . . 7 |- ((-uy e. NN0 \/ y e. NN) -> (ze -> th))
39	13, 38	syl 12	. . . . . 6 |- (y e. ZZ -> (ze -> th))
40	39	rgen 2159	. . . . 5 |- A.y e. ZZ (ze -> th)
41		zcn 7349	. . . . . 6 |- (x e. ZZ -> x e. CC)
42		znegcl 7372	. . . . . 6 |- (x e. ZZ -> -ux e. ZZ)
43		negcl 6525	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. CC -> -ux e. CC)
44	43	adantr 425	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ y = -ux) -> -ux e. CC)
45		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (y = -ux -> (y e. CC <-> -ux e. CC))
46	45	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. CC /\ y = -ux) -> (y e. CC <-> -ux e. CC))
47	44, 46	mpbird 213	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ y = -ux) -> y e. CC)
48		negcon2 6571	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (x = -uy <-> y = -ux))
49	48, 29	syl6bir 232	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. CC /\ y e. CC) -> (y = -ux -> ((ze -> ph) <-> (ze -> th))))
50	49	ex 402	. . . . . . . . . . 11 |- (x e. CC -> (y e. CC -> (y = -ux -> ((ze -> ph) <-> (ze -> th)))))
51	50	com23 36	. . . . . . . . . 10 |- (x e. CC -> (y = -ux -> (y e. CC -> ((ze -> ph) <-> (ze -> th)))))
52	51	imp 377	. . . . . . . . 9 |- ((x e. CC /\ y = -ux) -> (y e. CC -> ((ze -> ph) <-> (ze -> th))))
53	47, 52	mpd 29	. . . . . . . 8 |- ((x e. CC /\ y = -ux) -> ((ze -> ph) <-> (ze -> th)))
54	53	bicomd 580	. . . . . . 7 |- ((x e. CC /\ y = -ux) -> ((ze -> th) <-> (ze -> ph)))
55	54	rcla4dv 2382	. . . . . 6 |- ((x e. CC /\ -ux e. ZZ) -> (A.y e. ZZ (ze -> th) -> (ze -> ph)))
56	41, 42, 55	syl11anc 524	. . . . 5 |- (x e. ZZ -> (A.y e. ZZ (ze -> th) -> (ze -> ph)))
57	40, 56	mpi 55	. . . 4 |- (x e. ZZ -> (ze -> ph))
58	57	rgen 2159	. . 3 |- A.x e. ZZ (ze -> ph)
59		zindd.5	. . . . 5 |- (x = A -> (ph <-> et))
60	59	imbi2d 674	. . . 4 |- (x = A -> ((ze -> ph) <-> (ze -> et)))
61	60	rcla4v 2376	. . 3 |- (A e. ZZ -> (A.x e. ZZ (ze -> ph) -> (ze -> et)))
62	58, 61	mpi 55	. 2 |- (A e. ZZ -> (ze -> et))
63	62	com12 14	1 |- (ze -> (A e. ZZ -> et))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   + caddc 6389  -ucneg 6446  NNcn 6449  NN0cn0 6450  ZZcz 6451

This theorem is referenced by:  gxcl 9388  gxcom 9392  gxinv 9393  gxid 9396  gxdi 9422

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345

Copyright terms: Public domain