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Theorem zindbi 35865
Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zindbi.1  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( ps 
<->  ch ) )
zindbi.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
zindbi.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  ch ) )
zindbi.4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  th ) )
zindbi.5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
zindbi  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( th 
<->  ta ) )
Distinct variable groups:    ph, y    x, A, y    ps, x    ch, x    th, x    ta, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)

Proof of Theorem zindbi
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9655 . . . 4  |-  0  e.  _V
2 zindbi.4 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  th ) )
31, 2sbcie 3290 . . 3  |-  ( [.
0  /  x ]. ph  <->  th )
4 0z 10972 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
5 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  ZZ  <->  0  e.  ZZ ) )
6 breq1 4398 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
y  <_  b  <->  0  <_  b ) )
75, 63anbi13d 1367 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b ) ) )
8 dfsbcq 3257 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
98bibi1d 326 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [.
0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) )
107, 9imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_ 
b )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_  b )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) ) )
11 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  (
b  e.  ZZ  <->  A  e.  ZZ ) )
12 breq2 4399 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  (
0  <_  b  <->  0  <_  A ) )
1311, 123anbi23d 1368 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  A  ->  (
( 0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_  b )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) ) )
14 dfsbcq 3257 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
1514bibi2d 325 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  A  ->  (
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [.
0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
1613, 15imbi12d 327 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  (
( ( 0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) ) )
17 dfsbcq 3257 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  ( [. a  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph ) )
1817bibi2d 325 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. a  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph ) ) )
19 dfsbcq 3257 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( [. a  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )
2019bibi2d 325 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. a  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) )
21 dfsbcq 3257 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( [. a  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
2221bibi2d 325 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. a  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
23 biidd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph ) )
24 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
25 zindbi.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2624, 25sbcie 3290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  ps )
27 dfsbcq 3257 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )
2826, 27syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( ps 
<-> 
[. b  /  x ]. ph ) )
29 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  +  1 )  e. 
_V
30 zindbi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3129, 30sbcie 3290 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( y  +  1 )  /  x ]. ph  <->  ch )
32 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
y  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
3332sbceq1d 3260 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  ( [. ( y  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
3431, 33syl5bbr 267 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( ch 
<-> 
[. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
3528, 34bibi12d 328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  (
( ps  <->  ch )  <->  (
[. b  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
36 zindbi.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3735, 36vtoclga 3099 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
38373ad2ant2 1052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
3938bibi2d 325 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
4039biimpd 212 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
4118, 20, 22, 20, 23, 40uzind 11050 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )
4210, 16, 41vtocl2g 3097 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
43423adant3 1050 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  (
( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
4443pm2.43i 48 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
454, 44mp3an1 1377 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
46 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ZZ  <->  A  e.  ZZ ) )
47 breq1 4398 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  <_  b  <->  A  <_  b ) )
4846, 473anbi13d 1367 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_ 
b ) ) )
49 dfsbcq 3257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
5049bibi1d 326 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) )
5148, 50imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_ 
b )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_ 
b )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) ) )
52 eleq1 2537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  0  ->  (
b  e.  ZZ  <->  0  e.  ZZ ) )
53 breq2 4399 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  0  ->  ( A  <_  b  <->  A  <_  0 ) )
5452, 533anbi23d 1368 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  0  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_  b )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_ 
0 ) ) )
55 dfsbcq 3257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  0  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
5655bibi2d 325 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  0  ->  (
( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph )
) )
5754, 56imbi12d 327 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  0  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_ 
b )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_ 
0 )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) ) ) )
5851, 57, 41vtocl2g 3097 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_ 
0 )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) ) )
59583adant3 1050 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  -> 
( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) ) )
6059pm2.43i 48 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
614, 60mp3an2 1378 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  -> 
( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
6261bicomd 206 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  -> 
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
63 0re 9661 . . . . 5  |-  0  e.  RR
64 zre 10965 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
65 letric 9752 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
6663, 64, 65sylancr 676 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
6745, 62, 66mpjaodan 803 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
683, 67syl5bbr 267 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( th 
<-> 
[. A  /  x ]. ph ) )
69 zindbi.5 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
7069sbcieg 3288 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  ta ) )
7168, 70bitrd 261 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( th 
<->  ta ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   [.wsbc 3255   class class class wbr 4395  (class class class)co 6308   RRcr 9556   0cc0 9557   1c1 9558    + caddc 9560    <_ cle 9694   ZZcz 10961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962
This theorem is referenced by:  jm2.25  35925
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