Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zindbi Structured version   Unicode version

Theorem zindbi 29313
Description: Inductively transfer a property to the integers if it holds for zero and passes between adjacent integers in either direction. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Oct-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
zindbi.1  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( ps 
<->  ch ) )
zindbi.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
zindbi.3  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  ch ) )
zindbi.4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  th ) )
zindbi.5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
Assertion
Ref Expression
zindbi  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( th 
<->  ta ) )
Distinct variable groups:    ph, y    x, A, y    ps, x    ch, x    th, x    ta, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)

Proof of Theorem zindbi
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 c0ex 9401 . . . 4  |-  0  e.  _V
2 zindbi.4 . . . 4  |-  ( x  =  0  ->  ( ph 
<->  th ) )
31, 2sbcie 3242 . . 3  |-  ( [.
0  /  x ]. ph  <->  th )
4 0z 10678 . . . . 5  |-  0  e.  ZZ
5 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
y  e.  ZZ  <->  0  e.  ZZ ) )
6 breq1 4316 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  (
y  <_  b  <->  0  <_  b ) )
75, 63anbi13d 1291 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b ) ) )
8 dfsbcq 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  0  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
98bibi1d 319 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  0  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [.
0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) )
107, 9imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  0  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_ 
b )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_  b )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) ) )
11 eleq1 2503 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  (
b  e.  ZZ  <->  A  e.  ZZ ) )
12 breq2 4317 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  (
0  <_  b  <->  0  <_  A ) )
1311, 123anbi23d 1292 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  A  ->  (
( 0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_  b )  <->  ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A ) ) )
14 dfsbcq 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  A  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
1514bibi2d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  A  ->  (
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [.
0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
1613, 15imbi12d 320 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  A  ->  (
( ( 0  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  0  <_ 
b )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( (
0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) ) )
17 dfsbcq 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  y  ->  ( [. a  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph ) )
1817bibi2d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  y  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. a  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph ) ) )
19 dfsbcq 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  b  ->  ( [. a  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )
2019bibi2d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  b  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. a  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) )
21 dfsbcq 3209 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( [. a  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
2221bibi2d 318 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. a  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
23 biidd 237 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. y  /  x ]. ph ) )
24 vex 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  y  e. 
_V
25 zindbi.2 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
2624, 25sbcie 3242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. y  /  x ]. ph  <->  ps )
27 dfsbcq 3209 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )
2826, 27syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( ps 
<-> 
[. b  /  x ]. ph ) )
29 ovex 6137 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  +  1 )  e. 
_V
30 zindbi.3 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  ( y  +  1 )  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3129, 30sbcie 3242 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( [. ( y  +  1 )  /  x ]. ph  <->  ch )
32 oveq1 6119 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  =  b  ->  (
y  +  1 )  =  ( b  +  1 ) )
33 dfsbcq 3209 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +  1 )  =  ( b  +  1 )  ->  ( [. ( y  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
3432, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  b  ->  ( [. ( y  +  1 )  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
3531, 34syl5bbr 259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  b  ->  ( ch 
<-> 
[. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
3628, 35bibi12d 321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  b  ->  (
( ps  <->  ch )  <->  (
[. b  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
37 zindbi.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  ZZ  ->  ( ps 
<->  ch ) )
3836, 37vtoclga 3057 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  e.  ZZ  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
39383ad2ant2 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) )
4039bibi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
4140biimpd 207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. ( b  +  1 )  /  x ]. ph ) ) )
4218, 20, 22, 20, 23, 41uzind 10754 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )
4310, 16, 42vtocl2g 3055 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
44433adant3 1008 . . . . . 6  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  (
( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) ) )
4544pm2.43i 47 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
464, 45mp3an1 1301 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  <_  A )  -> 
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
47 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  ZZ  <->  A  e.  ZZ ) )
48 breq1 4316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  (
y  <_  b  <->  A  <_  b ) )
4947, 483anbi13d 1291 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_  b )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_ 
b ) ) )
50 dfsbcq 3209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  A  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
5150bibi1d 319 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  A  ->  (
( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) )
5249, 51imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  A  ->  (
( ( y  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  y  <_ 
b )  ->  ( [. y  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_ 
b )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) ) ) )
53 eleq1 2503 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  0  ->  (
b  e.  ZZ  <->  0  e.  ZZ ) )
54 breq2 4317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  0  ->  ( A  <_  b  <->  A  <_  0 ) )
5553, 543anbi23d 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  0  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_  b )  <->  ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_ 
0 ) ) )
56 dfsbcq 3209 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  0  ->  ( [. b  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
5756bibi2d 318 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  0  ->  (
( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph )  <->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph )
) )
5855, 57imbi12d 320 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  0  ->  (
( ( A  e.  ZZ  /\  b  e.  ZZ  /\  A  <_ 
b )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. b  /  x ]. ph ) )  <->  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_ 
0 )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) ) ) )
5952, 58, 42vtocl2g 3055 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ )  ->  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_ 
0 )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) ) )
60593adant3 1008 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  ->  (
( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  -> 
( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) ) )
6160pm2.43i 47 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  0  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
624, 61mp3an2 1302 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  -> 
( [. A  /  x ]. ph  <->  [. 0  /  x ]. ph ) )
6362bicomd 201 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  <_  0 )  -> 
( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
64 0re 9407 . . . . 5  |-  0  e.  RR
65 zre 10671 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
66 letric 9496 . . . . 5  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( 0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
6764, 65, 66sylancr 663 . . . 4  |-  ( A  e.  ZZ  ->  (
0  <_  A  \/  A  <_  0 ) )
6846, 63, 67mpjaodan 784 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( [. 0  /  x ]. ph  <->  [. A  /  x ]. ph ) )
693, 68syl5bbr 259 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( th 
<-> 
[. A  /  x ]. ph ) )
70 zindbi.5 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
7170sbcieg 3240 . 2  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( [. A  /  x ]. ph  <->  ta ) )
7269, 71bitrd 253 1  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( th 
<->  ta ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   [.wsbc 3207   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303   1c1 9304    + caddc 9306    <_ cle 9440   ZZcz 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-n0 10601  df-z 10668
This theorem is referenced by:  jm2.25  29374
  Copyright terms: Public domain W3C validator