Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zhmnrg Structured version   Unicode version

Theorem zhmnrg 28636
 Description: The -module built from a normed ring is also a normed ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 8-Nov-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
zlmlem2.1 Mod
Assertion
Ref Expression
zhmnrg NrmRing NrmRing

Proof of Theorem zhmnrg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2420 . . . . . . . 8
21a1i 11 . . . . . . 7 NrmRing
3 zlmlem2.1 . . . . . . . . 9 Mod
43, 1zlmbas 19013 . . . . . . . 8
54a1i 11 . . . . . . 7 NrmRing
6 eqid 2420 . . . . . . . . . 10
73, 6zlmplusg 19014 . . . . . . . . 9
87a1i 11 . . . . . . . 8 NrmRing
98oveqdr 6320 . . . . . . 7 NrmRing
102, 5, 9grppropd 16628 . . . . . 6 NrmRing
11 eqid 2420 . . . . . . . . 9
123, 11zlmds 28633 . . . . . . . 8 NrmRing
1312reseq1d 5115 . . . . . . 7 NrmRing
14 eqid 2420 . . . . . . . . 9 TopSet TopSet
153, 14zlmtset 28634 . . . . . . . 8 NrmRing TopSet TopSet
165, 15topnpropd 15287 . . . . . . 7 NrmRing
172, 5, 13, 16mspropd 21413 . . . . . 6 NrmRing
18 eqid 2420 . . . . . . . . 9
193, 18zlmnm 28635 . . . . . . . 8 NrmRing
205, 8grpsubpropd 16700 . . . . . . . 8 NrmRing
2119, 20coeq12d 5010 . . . . . . 7 NrmRing
2221, 12sseq12d 3490 . . . . . 6 NrmRing
2310, 17, 223anbi123d 1335 . . . . 5 NrmRing
24 eqid 2420 . . . . . 6
2518, 24, 11isngp 21534 . . . . 5 NrmGrp
26 eqid 2420 . . . . . 6
27 eqid 2420 . . . . . 6
28 eqid 2420 . . . . . 6
2926, 27, 28isngp 21534 . . . . 5 NrmGrp
3023, 25, 293bitr4g 291 . . . 4 NrmRing NrmGrp NrmGrp
31 eqid 2420 . . . . . . . 8
323, 31zlmmulr 19015 . . . . . . 7
3332a1i 11 . . . . . 6 NrmRing
345, 8, 33abvpropd2 28277 . . . . 5 NrmRing AbsVal AbsVal
3519, 34eleq12d 2502 . . . 4 NrmRing AbsVal AbsVal
3630, 35anbi12d 715 . . 3 NrmRing NrmGrp AbsVal NrmGrp AbsVal
37 eqid 2420 . . . 4 AbsVal AbsVal
3818, 37isnrg 21587 . . 3 NrmRing NrmGrp AbsVal
39 eqid 2420 . . . 4 AbsVal AbsVal
4026, 39isnrg 21587 . . 3 NrmRing NrmGrp AbsVal
4136, 38, 403bitr4g 291 . 2 NrmRing NrmRing NrmRing
4241ibi 244 1 NrmRing NrmRing
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1867   wss 3433   cxp 4843   ccom 4849  cfv 5592  cbs 15073   cplusg 15142  cmulr 15143  TopSetcts 15148  cds 15151  cgrp 16613  csg 16615  AbsValcabv 17972  Modczlm 18996  cmt 21257  cnm 21515  NrmGrpcngp 21516  NrmRingcnrg 21518 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-4 10659  df-5 10660  df-6 10661  df-7 10662  df-8 10663  df-9 10664  df-10 10665  df-n0 10859  df-z 10927  df-dec 11041  df-ndx 15076  df-slot 15077  df-base 15078  df-sets 15079  df-plusg 15155  df-mulr 15156  df-sca 15158  df-vsca 15159  df-tset 15161  df-ds 15164  df-rest 15273  df-topn 15274  df-0g 15292  df-mgm 16432  df-sgrp 16471  df-mnd 16481  df-grp 16617  df-minusg 16618  df-sbg 16619  df-mgp 17652  df-ring 17710  df-abv 17973  df-zlm 19000  df-top 19845  df-topon 19847  df-topsp 19848  df-xms 21259  df-ms 21260  df-nm 21521  df-ngp 21522  df-nrg 21524 This theorem is referenced by:  cnzh  28639  rezh  28640  qqhnm  28659
 Copyright terms: Public domain W3C validator