MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  zgcdsq Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem zgcdsq 14695
Description: nn0gcdsq 14694 extended to integers by symmetry. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
zgcdsq  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  gcd  ( B ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem zgcdsq
StepHypRef Expression
1 gcdabs 14490 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  A
)  gcd  ( abs `  B ) )  =  ( A  gcd  B
) )
21eqcomd 2456 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  =  ( ( abs `  A )  gcd  ( abs `  B
) ) )
32oveq1d 6303 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A )  gcd  ( abs `  B
) ) ^ 2 ) )
4 nn0abscl 13368 . . 3  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( abs `  A )  e. 
NN0 )
5 nn0abscl 13368 . . 3  |-  ( B  e.  ZZ  ->  ( abs `  B )  e. 
NN0 )
6 nn0gcdsq 14694 . . 3  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  NN0  /\  ( abs `  B )  e.  NN0 )  -> 
( ( ( abs `  A )  gcd  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  gcd  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) ) )
74, 5, 6syl2an 480 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( abs `  A )  gcd  ( abs `  B ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  gcd  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) ) )
8 zre 10938 . . . . 5  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  RR )
98adantr 467 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  RR )
10 absresq 13358 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
119, 10syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  A
) ^ 2 )  =  ( A ^
2 ) )
12 zre 10938 . . . . 5  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  RR )
1312adantl 468 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  RR )
14 absresq 13358 . . . 4  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( abs `  B
) ^ 2 )  =  ( B ^
2 ) )
1513, 14syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( abs `  B
) ^ 2 )  =  ( B ^
2 ) )
1611, 15oveq12d 6306 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( ( abs `  A ) ^ 2 )  gcd  ( ( abs `  B ) ^ 2 ) )  =  ( ( A ^ 2 )  gcd  ( B ^ 2 ) ) )
173, 7, 163eqtrd 2488 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B ) ^ 2 )  =  ( ( A ^ 2 )  gcd  ( B ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1443    e. wcel 1886   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   RRcr 9535   2c2 10656   NN0cn0 10866   ZZcz 10934   ^cexp 12269   abscabs 13290    gcd cgcd 14461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-er 7360  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-sup 7953  df-inf 7954  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-rp 11300  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-dvds 14299  df-gcd 14462
This theorem is referenced by:  numdensq  14696
  Copyright terms: Public domain W3C validator